[PDF] Fiche dexercices Th`eme : Matrices

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Fiche d"exercicesMPSI 3- 2004/2005Th`eme : MatricesChapitre : 16Si rien n"est pr´ecis´e,Kd´esigne un corps commutatif quelconque.Calcul matriciel, structure

1. ?Le centre deMn(K). (a) SoitA?Mn(K). On appelle commutant deAl"ensembleC(A) ={M?Mn(K), AM=MA}.

Montrer queC(A) est une sous-alg`ebre deMn(K).

(b) Soit (i,j)?[[1,n]]2. D´ecrire `a quelles conditions une matriceMest dansC(Eij). En d´eduire la

dimension deC(Eij) ainsi qu"une base. (c) Le centre de l"alg`ebreMn(K) est l"ensemble des matrices qui commutent avec toutes les autres.

Montrer que ce centre est ´egal `a?

1?i,j?nC(Eij) puis pr´eciser cette intersection.

(d) D´eterminer l"ensemble des matrices qui commutent avec toutes les matrices diagonales.2. ?Famille li´ee.SoitA?Mn(K),n?2. Montrer que la famille (In,A,A2,...,An2-1) est li´ee.3. ??Commutant d"une matrice diagonale. SoitD?Mn(K) une matrice diagonale. Calculer la dimension du commutant deD. On pourra commencer par le cas o`u les coefficients diagonaux deDsont deux `a deux distincts.4. ?Conjugaison. SoitP?GLn(K). Montrer que l"applicationM?→P-1MPest un automorphisme d"alg`ebre de M n(K).5. ?Matrices en damier. SoitM= (aij)?Mn(K). On dit queMesten damiersiaij= 0 pourj-iimpair. On noteD l"ensemble des matricesn×nen damier. Montrer queDest une sous-algbre deMn(K). Quelle est sa dimension ?6. ?Une construction du corps des complexes.

On poseC=??a-b

b a? ,(a,b)?R2? (a) Montrer queCest un sous-espace vectoriel deM2(R) et pr´eciser sa dimension. (b) Montrer qu"en faitCest une sous-alg`ebre deM2(R) et qu"elle est commutative.

(c) Montrer que tout ´el´ement non nul deCest inversible dansC. En d´eduire queCest un corps.

(d) Montrer que l"applicationa+ib?→?a-b b a? est un isomorphisme de corps deCsurC. On aurait donc pu construire le corps des complexes de cette mani`ere ! 7. ?Le corps des quaternions. Le corps des quaternions, construit par Hamilton en 1843, est un corps non commutatif, et uneR- alg`ebre de dimension4. Il admet une base(1,i,j,k)avec les propri´et´esi2=j2=k2=-1,ij=-ji= k,jk=-kj=ietki=-ik=j. Une mani`ere simple de construire cette alg`ebre et qui ´evite les

v´erifications fastidieuses (par exemple de l"associativit´e du produit) consiste `a utiliser les matrices.

On consid`ere le sous-ensembleHdeM2(C) constitu´e des matriceshde la formeh=?z1-¯z2 z

2¯z1?

avec (z1,z2)?C2. On consid`ere les quatre ´el´ements suivants deH: e

0=?1 0

0 1? , e 1=?i0 0-i? , e 2=?0i i0? , e

3=?0-1

1 0? (a) Quelle est la dimension deM2(C) regard´ee commeR-alg`ebre? Montrer queHest uneR-sous- alg`ebre deM2(C) de dimension 4. Montrer que (e0,e1,e2,e3) est uneR-base deH.On dit queH est l"alg`ebre des quaternions. (b) Dresser un tableau de tous les produitseiej. L"alg`ebreHest-elle commutative ? (c) Pourh?Hde la forme ci-dessus on pose¯h=?¯z1¯z2 -z2z1? . Montrer que l"application qui `a hassocie¯hest un endomorphisme involutif duR-espace vectorielH. Ecrire sa matrice dans la

base (e0,e1,e2,e3). Calulerh¯het en d´eduire que tout ´el´ement non nul deHest inversibledans

H. Que peut-on en d´eduire?8.

??Une sous-alg`ebre de matrices.

On noteU=(

(1...1

1...1)

)?Mn(R) etA={aU+bI, a,b?R}(n?2). (a) Montrer queAest une sous algbre commutative deMn(R). (b) SoitM=aU+bI? A. Montrer queMposs`ede un inverse dansAsi et seulement sib(b+na)?= 0, et le cas ´ech´eant, donnerM-1. (c) Montrer que sib(b+na) = 0, alorsMn"est pas inversible dansMn(R). (d) Trouver les matricesM? Av´erifiantMn=In.9.Calculs de puissances. (a) ?Calculer les puissances de la matrice( (1 1 0 0 0 1

0 0 1)

(b) ??SoitA=?5 4 4-3? . CalculerA100. (c) ??CalculerAnpour tout entierndans les cas suivants : A=( (0a a2 1/a0a

1/a21/a0)

a?C?;A=( (a+b0a 0b0 a0a+b) (a,b)?C210. ?SoitA?Mn(R) telle queAtAA=In. Montrer queA3=In.(Oral ENSI) 11.

??Montrer que si une matrice triangulaire sup´erieure `a coefficients r´eels commute avec sa transpos´ee,

alors elle est diagonale.(Oral Centrale)12.

??Soient (A,B)?Mn(C)2,λ?Ctels queλAB+A+B= 0. Montrer queAetBcommutent.(X)13.D´eterminant pour les matrices de taille2×2.

Cette notion sera g´en´eralis´ee et ´etudi´ee dans un chapitre ult´erieur.

A toute matriceA=?a b

c d? ?M2(K) on associe sond´eterminantdetA=ad-bc. (a) Montrer que :?(A,B)?M2(K)2, det(AB) = detAdetB.

(b) V´erifier queA2-Tr(A)A+ det(A)I= 0.Cela est conforme au th´eor`eme g´en´eral de Cayley-

Hamilton.

(c) ?En d´eduire queAest inversible si et seulement si det(A)?= 0 et calculer dans ce casA-1.On retiendra d"ores et d´ej`a cette formule.Trace 14. ?Le dual deMn(K).

La trace est une forme lin´eaire surMn(K). En fait, toutes les formes lin´eaires surMn(K)peuvent

s"exprimer `a l"aide de la trace. (a) SoitAune matrice deMn(K) telle que?M?Mn(K),Tr(AM) = 0. Montrer queA= 0.Prendre pourMles matricesEij... (b) PourA?Mn(K), on d´efinitfA:Mn(K)→KparfA(M) =Tr(AM). V´erifier quefAest une forme lin´eaire surMn(K). (c) Prouver que l"applicationf:Mn(K)→Mn(K)?qui `a une matriceAassocie la forme lin´eairefA est un isomorphisme deMn(K) sur son dual. (d) Caract´eriser les formes lin´eairesf?Mn(K)?v´erifiant :?(M,N)?Mn(K),f(MN) =f(NM).15. ??Quelques ´equations avec la trace.Ces exercices sont des tr`es grands classiques. SoientA,BdansMn(C). Discuter et r´esoudre les ´equations suivantes d"inconnueM?Mn(C) : (a)M+Tr(M)A=B (b)M+tM=Tr(M)A.16. ??Sur la propri´et´e de la trace. Soit (A,B,C)?Mn(K)3. Montrer queTr(ABC) =Tr(BCA) =Tr(CAB) et queTr(ACB) =

Tr(CBA) =Tr(BAC). Montrer par un exemple qu"on n"a pas n´ecessairementTr(ABC) =Tr(ACB).17.Trace d"un projecteur.

IciEest unC-espace vectoriel de dimension finienetpest un projecteur deE. (a) ?Montrer qu"il existe une baseBdeEdans laquelle la matrice depestJro`ur= rg (p). En d´eduire que rg (p) =Tr(p).Voici une application de ce r´esultat. (b) ???SoitGun sous-groupe fini deGLn(C) etS=?

M?GM. Montrer que si Tr(S) = 0 alorsS= 0.

18. ???Un calcul de trace.SoitA?Mn(K),B?Mp(K). On consid´ere l"endomorphismeψdeMn,p(K) qui `aMassocieAMB. Montrer que Trψ= TrA×TrB.Matrices et applications lin´eaires

19. On se place dansR3. Ecrire la matrice dans la base canonique de la projection sur le plan d"´equation

x+y+ 2z= 0 parall`element `a la droite dirig´ee par (1,2,1).20. ?Op´erateur de d´erivation.

SoitEle sous-espace vectoriel deC∞(R,R) engendr´e parB= (cos,sin,sh,ch) etDl"op´erateur de

d´erivation deC∞(R,R). (a) Montrer queBest une base deEet en d´eduire la dimension deE. Montrer queEest stable par

D. On notedla restriction deD`aE.

(b) Ecrire la matriceMdeddans la baseB. CalculerMnpour tout entiern?N. (c) Montrer quedest un automorphisme deEet calculerM-1.21. ?Matrices triangulaires. SoitEunK-espace vectoriel de dimensionn,B= (e1,...,en) une base deE,u? L(E) etAla matrice

deudans la baseB. Montrer queAest triangulaire sup´erieure si et seulement si Vect (e1,...,ek) est

stable parupour toutk?[[1,n]].22. ?Matrices triangulaires nilpotentes. (a) Montrer que siA?Mn(K) est triangulaire avec une diagonale nulle, alorsAest nilpotente. (b) Donner un exemple de matriceA?Mn(K) nilpotente et non triangulaire.

23.Cellule de Jordan.

On noteJ= (aij)?Mn(K) la matrice d´efinie parai,i+1= 1 pour 1?i?n-1 etaij= 0 sinon. (a)

?Calculer les puissances deJ. V´erifier queJest nilpotente et pr´eciser son indice de nilpotence.

(b) ??Inverser les matrices suivantes apr`es les avoir exprim´ees en fonction deJ: ((((((1 1... ...1

0 1 1...1

0......1 1

0... ...0 1)

))))))et( ((((((1 2 3... n

0 1 2... n-1

0......1 2

0... ...0 1)

(c) ???SoitM?Mn(K) nilpotente. Montrer queMn= 0. On suppose de plus queMn-1?= 0.

Montrer queMest semblable `aJ.

(d) D´eterminer le commutant deJet calculer sa dimension.24. ??SoitA?Mn(K) etf:Mn(K)→Mn(K) d´efinie parf(M) =MA. Montrer quefest un endomor- phisme deMn(K) et ´ecrire sa matrice dans la base canonique deMn(K) ordonn´ee judicieusement.quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32

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