Dimension du commutant Références : Oraux X ENS Algèbre 2
on restreint le système aux matrices triangulaires supérieures il reste n(n+1). 2 inconnues. Comme AX ? XA est triangulaire supérieure
Commutant d’une matrice
Dans cette partie on étudie le commutant des matrices élémentaires et on en triangulaire si i = j
Fiche dexercices Th`eme : Matrices
??Commutant d'une matrice diagonale. ??Montrer que si une matrice triangulaire supérieure `a coefficients réels commute avec sa transposée.
calcul-matriciel.pdf
(b) Même question avec les matrices commutant avec toutes celles de GLn(K). Soit T ? Mn(R) une matrice triangulaire supérieure.
Commutant dune matrice
Soit M une matrice commutant avec toutes les matrices orthogonales de Mn(IK). On triangulaire si i = j et dans tous les cas ses coefficients diagonaux ...
Le commutant est trigonalisable
17 août 2017 de Toeplitz Triangulaires Supérieures ) T(t1..
MATRICES
4 oct. 2013 Inversibilité des matrices triangulaires et des matrices diagonales ... Commutant d'une matrice ou d'un ensemble de matrices.
CCP 2011. Option MP. Mathématiques 2. EXERCICE Commutant d
Commutant d'une matrice (a) Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est triangulaire supérieure (avec pour diagonale le “produit”.
Séance de soutien PCSI2 numéro 7 : Calcul matriciel - Correction
Exercice 9 : Soit T une matrice triangulaire supérieure de taille n. Montrer triangulaire supérieure commutant avec sa transposée. Nous avons.
1 Dimension du commutant Théorème 1. Soit E un K-espace
Dimension du commutant La matrice de g dans la base ? = ?1 ? . ... triangulaires supérieures commutant à T. On va montrer que dimK(Com(T) ? Tn(K)) ...
Dimension du commutant - agreg-mathsfr
n(K) une matrice triangulaire sup erieure Int eressons nous alors a C K(A)T n(K) Si Xest triangulaire sup erieure c’est un el ement du commutant si et seulement si AX XA= 0 ce qui donne n(n+ 1) 2 equations Cependant les equations donn ees par la diago-nale sont toujours v eri ees puisqu’on a prit Xet Atriangulaires sup erieures
Exercice : Commutant d'une matrice
1)Montrer que C(A) est une sous alg ebre de M n(K) 2)Montrer que si A est diagonale d’ el ements diagonaux deux a deux distincts alors C(A) = D n(K) l’alg ebre des matrices diagonales de M n(K) ET-TAHRI FOUAD Exercice : Commutant d’une matrice
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1 Une matrice symétrique est diagonalisable en base orthonormale Écrire la dé?-nition de la positivité à une famille orthogonale de vecteurs propres 2 Se servir de l’inégalité arithmético-géométrique rappelée en début de problème 3 a Prouver la symétrie et la positivité séparément en revenant aux dé?nitions
Qu'est-ce que le commutant d'une matrice ?
Le commutant d’une matrice est l’ensemble des matrices de même taille qui commutent avec : C’est un sous-espace vectoriel de ; il s’agit d’ailleurs du noyau de l’endomorphisme de . Les exercices portant sur le commutant demandent souvent de le déterminer explicitement pour une matrice précise, souvent diagonalisable.
Comment calculer le déterminant d'une matrice triangulaire à coefficients?
Si l'anneau R est commutatif, le déterminant d'une matrice triangulaire à coefficients dans R est le produit de ses coefficients diagonaux : (Si la matrice est triangulaire supérieure, développer suivant les mineurs de la première colonne et raisonner par récurrence sur la taille de la matrice.
Comment appelle-t-on le commutant d’une matrice?
ET-TAHRI FOUAD Exercice : Commutant d’une matrice Enonce Soit n 2 et A 2M n(K). On appelle commuatant de A, note C(A) l’ensemble des matrices de M
Quelle est la valeur propre d'une matrice triangulaire supérieure?
La matrice A A étant triangulaire supérieure, ses valeurs propres sont données par les éléments de la diagonale. La seule valeur propre de A A est donc ? ? .
![Le commutant est trigonalisable Le commutant est trigonalisable](https://pdfprof.com/Listes/18/2391-18LeCommutantesttrigonalisable.pdf.pdf.jpg)
Lecommutantesttrigonalisable
parpatrickTELLER r permutationdelabase. minimalestscindéAvertissement1.
Avertissement2.
vousfrayerunchemin. (((((J(t1) J (t2) J (tp))OndésigneraiciparJ(k)lamatrice(
((((010...0001......
......0......0.........1
000...0)
))))deMk(C),elleestnilpotented"indiceket e1←-e2←-.......←-ek
A 0? (tilignes,tjcolonnesavec t i?tj),oùlesQijsontdespolynomes. 1Exemple3.
LamatricesuivanteestdeToeplitz(
((1839 2183-4218
5-421)
)),lestroissuivantessontTTS( (0124 0012 0001) ((12 01 00 00) (156 015 001)Exemple4.(
(0124 0012 0001) ((56 05 00 00) (05 00 00) (0124 0012 0001) ((01789 0017800017
00001)
(001922 0001900001)
matriceTTSdeMtj,ti(C):Exemple5.(
(0124 0012 0001) ((124 012 001 000) ));onpeutlaréalisercommesuit (001 010 100)(0124 0012 0001) ((0001 0010 0100
1000)
))suivid"unetransposition.
2MatricesenblocsdeToeplitz
tivesti×tj.Exemple6.(
((((((((((((120340010110100300010
567890121314
05078001213
0000000012
151617181920212223
015017180202122
000017002021
0000000020)
))))))))))))?T(2,3,4).3LecommutantdeΓ=(
(((((J(t1) J (t2) J (tp)) )))))estT(t1,..,tp)
mDémonstration.
1)Cerésultatestplusqueclassique.
2)Considéronsd"abordlecasr m d"oùondéduit Théorème8.
LecommutantdeΓ=(
(((((J(t1) J (t2) J (tp)) )))))estT(t1,..,tp)[3] 4Trigonalisabilité
4.1Définitionsnécessaires
t t t 2+...+tq-1+k.
tientàuneséquencedetypeIouII. tientàunintervalledetypeIouII. danscecaslamatrice( ((((((m m ))))))estappelée lecoeurdelaséquence. Exemple10.Trigonalisabilité3
M=( 0a00b00c000k0000t
dddffffffgggggg0mmmmmm00uuuuuu 0d0fff0ggg00mmm000uuu
0000f00g000m0000u
hhhiiiiiijjjjjj0nnnnnn00vvvvvv 0h0iii0jjj00nnn000vvv
0000i00j000n0000v
pppqqqqqqrrrrrrssssssssss0wwwwwwwwww 0p0qqq0rrr0ssssss00wwwwww
0000q00r00sss000www
00000000000s0000w
AAABBBBBBCCCCCCDDDDDDDDDDTTTTTTTTTTTTTTT
0A0BBB0CCC0DDDDDD0TTTTTTTTTT
0000B00C00DDD00TTTTTT
00000000000D000TTT
0000000000000000T)
))))))))))))))))))))))))))))?T(2,3, 3,4,5)
lesvaleursdesnoeudscomplexes. lamatrice?fg ij? estlecoeurdelaséquence(3,3) Proposition11.Unordresurlabasecanonique
Ondiraqueei,k?ej,llorsquek Remarque12.Cetordreestassezintutif:
blesauxcoeurs. 4.2Latrigonalisation
Lemme13.SoitN=(nk,l)?Tti,tj
t i?tj Démonstration.
D"oùlerésultat.
Proposition14.
alors Démonstration.
1ercas:(zj,1,zj,1)estunnoeudsimple
t i?tj,c"estàdirekExemple15.(
((((((((((aaa0bbb0ccc 0a00b00c
dddffffffgggggg 0d0fff0ggg
0000f00g
hhhiiiiiijjjjjj 0h0iii0jjj
0000i00j)
))))))))))?T(2,3,3) Théorème16.
basecanonique. s z. r citéssontégalesà1. r 2)s2-s1,...,rzsz-sz-1).
(delagaucheversladroite). ParexemplelaformedeU=(
((((a.......... 0bbb0...
...ccc0... ......0d0 .........0e) ))))est(1,2,1,1). Théorème19.
4.3Lecommutantd"unematriceA
guité. i=1r(X-λi)nialorsPest semblableàlamatricediagonaleparblocs? sommedeblocsdeJordannilpotents. Proposition22.SoitA=?
i=1rAi,c"estàdire( ((((A 10......0
0A2.........
00.........
............0 00......Ar)
(Mij)(i,j)?{1,...,r}×{1,.,r}. i)MestlamatricediagonaleparblocsM=( ((M 110......
0M22......
...0...... .........Mrr) ii)?i?{1,...,r},AiMii=MiiAi. Laréciproqueestévidente.?
Théorème24.
quotesdbs_dbs30.pdfusesText_36
Théorème8.
LecommutantdeΓ=(
(((((J(t1) J (t2) J (tp)) )))))estT(t1,..,tp)[3]4Trigonalisabilité
4.1Définitionsnécessaires
t t t2+...+tq-1+k.
tientàuneséquencedetypeIouII. tientàunintervalledetypeIouII. danscecaslamatrice( ((((((m m ))))))estappelée lecoeurdelaséquence.Exemple10.Trigonalisabilité3
M=(0a00b00c000k0000t
dddffffffgggggg0mmmmmm00uuuuuu0d0fff0ggg00mmm000uuu
0000f00g000m0000u
hhhiiiiiijjjjjj0nnnnnn00vvvvvv0h0iii0jjj00nnn000vvv
0000i00j000n0000v
pppqqqqqqrrrrrrssssssssss0wwwwwwwwww0p0qqq0rrr0ssssss00wwwwww
0000q00r00sss000www
00000000000s0000w
AAABBBBBBCCCCCCDDDDDDDDDDTTTTTTTTTTTTTTT
0A0BBB0CCC0DDDDDD0TTTTTTTTTT
0000B00C00DDD00TTTTTT
00000000000D000TTT
0000000000000000T)
))))))))))))))))))))))))))))?T(2,3,3,4,5)
lesvaleursdesnoeudscomplexes. lamatrice?fg ij? estlecoeurdelaséquence(3,3)Proposition11.Unordresurlabasecanonique
Ondiraqueei,k?ej,llorsquek Remarque12.Cetordreestassezintutif:
blesauxcoeurs. 4.2Latrigonalisation
Lemme13.SoitN=(nk,l)?Tti,tj
t i?tj Démonstration.
D"oùlerésultat.
Proposition14.
alors Démonstration.
1ercas:(zj,1,zj,1)estunnoeudsimple
t i?tj,c"estàdirekExemple15.(
((((((((((aaa0bbb0ccc Remarque12.Cetordreestassezintutif:
blesauxcoeurs.4.2Latrigonalisation
Lemme13.SoitN=(nk,l)?Tti,tj
t i?tjDémonstration.
D"oùlerésultat.
Proposition14.
alorsDémonstration.
1ercas:(zj,1,zj,1)estunnoeudsimple
t i?tj,c"estàdirek0a00b00c
dddffffffgggggg0d0fff0ggg
0000f00g
hhhiiiiiijjjjjj0h0iii0jjj
0000i00j)
))))))))))?T(2,3,3)Théorème16.
basecanonique. s z. r citéssontégalesà1. r2)s2-s1,...,rzsz-sz-1).
(delagaucheversladroite).ParexemplelaformedeU=(
((((a..........0bbb0...
...ccc0... ......0d0 .........0e) ))))est(1,2,1,1).Théorème19.
4.3Lecommutantd"unematriceA
guité. i=1r(X-λi)nialorsPest semblableàlamatricediagonaleparblocs? sommedeblocsdeJordannilpotents.Proposition22.SoitA=?
i=1rAi,c"estàdire( ((((A10......0
0A2.........
00.........
............000......Ar)
(Mij)(i,j)?{1,...,r}×{1,.,r}. i)MestlamatricediagonaleparblocsM=( ((M110......
0M22......
...0...... .........Mrr) ii)?i?{1,...,r},AiMii=MiiAi.Laréciproqueestévidente.?
Théorème24.
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