[PDF] Séance de soutien PCSI2 numéro 7 : Calcul matriciel - Correction

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Séance de soutien PCSI2 numéro 7 : Calcul

matriciel - Correction des exercices

Tatiana Labopin-Richard

21 janvier 2015

1 Somme et produit

Exercice 1 :PourA?Mn(K), on noteσ(A)la somme des termes deA. On pose J=( ((1···1...(1)...

1···.1)

Vérifier queJAJ=σ(A)J.

Correction :σ(A) =n?

k=1n l=1a k,l. Par produit, nous avonsB=AJa pour terme généralbi,j=n l=1a i,let doncC=JAJa pour terme généralci,j=n k=1b k,j= n k=1n l=1a k,l=σ(A).

Exercice 2 :SoitM=?a b

c d?

Pour toutn≥2, note :Mn=?anbn

c ndn? .Démontrer que pour toutn≥2, on a b n+cn=an+dn. Correction :Pour toutn≥1, en exploitantMn+1+M×Mn, on a 1 a n+1=aan+bcn b n+1=abn+bdn c n+1=can+dcn d n+1=cbn+ddn

Par suite,

a n+1+dn+1-(bn+1+cn+1) = (a-c)(an-bn) + (b-d)(cn-dn). Sachant quea≥cetb≥d, il suffit d"établir quean≥bnetcn≥dnpour conclure. Pourn= 1la proposition est vérifiée. Pourn≥2, exploitonsMn=Mn-1M: a n=an-1a+bn-1c b n=an-1b+bn-1d c n=cn-1a+dn-1c d n=cn-1b+dn-1d

On a alors

a n-bn=an-1(a-b) +bn-1(c-d) et c n-bn=cn-1(a-b) +dn-1(c-d) On montre par récurrence quean,bn,cnetdnsont positifs, ce qui merpet de conclure puisquea-b≥0etc-d≥0. Exercice 3 :Que peut-on dire d"une matrice qui vérifieTr(AAT) = 0? Correction :NotonsB=AT. Par définition, on a doncbi,j=aj,i. Notons

C=AB. Nous avons alors

c i,j=n k=1a i,kaj,k et doncci,i=n k=1a2i,k.

Ainsi,

Tr(AAT) =n

i=1n k=1a2i,k. 2 C"est donc la somme des carrées de tous les coefficients deA. Ainsi, si cette somme est nulle, cela signifie que chacun des termes est nul et donc que la matrice

Aest nulle.

Exercice 3bis :Calculer les puissances nième des matrices suivantes :

A=?1 1

0 2? , A=?a b 0a? , A=?cos(θ)-sin(θ) sin(θ) cos(θ)?

Correction :1)An=?1an

0 2 n? avecan+1= 1 + 2ance qui implique que a n= 2n-1.

2) Par récurrence, on montre queAn=?annan-1b

0an?

3) Par récurrence, on montre queAn=?cos(nθ)-sin(nθ)

sin(nθ) cos(nθ)?

2 L"anneauxMn(K)est non commutatif et pos-

sèdes des diviseurs de 0 (pourn≥2)

Exercice 4 :SoitA=(

(1 2 6 0 1 2

0 0 1)

). Calculer la puissance nième deApour tout n.

Correction :Nous avonsA=I3+NavecN=A=(

(0 2 6 0 0 2

0 0 0)

). La matrice Nest niloptente d"indice 3 et elle commute avec la matriceI3. On peut donc appliquer la binôme de Newton qui nous donne : A n=n? k=0? n k? N kIn-k3=2? k=0? n k? N k=( (1 2n2n(n+ 2)

0 1 2n

0 0 1)

Exercice 5 :SoientAetBdeux matrices de taillesnvérifiantAB-BA=A.

Montrer que pout tout entier naturel non nulk,

A k+1B-BAk+1= (k+ 1)Ak+1. Correction :Montrons le résultat par récurrence. 3 Initialisation : Lorsquek= 1, nous avonsAB-BA=Apar hypothèse. Hérédité : Supposons la propriété vraie au rangk. Nous avons alors : A k+1B-BAk+1=A(AkB-BAk) +ABAk-BAk+1 =AkAk+ (AB-BA)Ak =kAk+1+Ak+1 = (k+ 1)Ak+1 On retiendra la technique classique qui consiste, à la première ligne des équa- tions à faire apparaître les termes dont on a besoin, puis à compenser en les enlevant tout de suite après. Exercice 6 :SoitM?GLnK. Montrer l"existence d"un polynômeQ?K[X] tel queQ(X) = 0etQn"admet pas 0 pour racine (on admettra l"existence de

P?K[X]non nul tel queP(M) = 0).

Correction :SoitP, on écritP=XrQavecrentier naturel etQn"admettant pas 0 pour racine. On a alors M rQ(M) =P(M) = 0. En simplifiant par la matrice inversibleMr, on obtientQ(M) = 0. Exercice 7 :SoitAsymétrique inversible de taillen. Montrer que l"inverse deAest symétrique. Correction :Nous avons par hypothèsesAT=AetAA-1=In. Ainsi (AA-1)T= (A-1A)T=In (A-1)TAT=AT(A-1)T=In (A-1)TA=A(A-1)T=In

Donc(A-1)T=A-1par unicité de l"inverse deA.

Exercice 8 :Démontrer le dernière ligne du tableau. Trouver un contre- exemple lorsqu"on regarde le produit de trois matrices.

Correction :

Tr(AB) =n

i=1? n? k=1a i,kbk,i? =n k=1? n? i=1b k,iai,k? =Tr(BA).

Par ailleurs, pour

A=?1 1

3 0? , B=?1 1 2 1? , C=?1 1 0 1? 4 on obtientTr(ABC) = 10etTr(CBA) = 14. Exercice 9 :SoitTune matrice triangulaire supérieure de taillen. Montrer queTcommute avec sa transposée, ei et seulement si elle est diagonale.

Correction :Par récurrance surn≥1.

Initialisation :n= 1immédiat.

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rangn≥1. SoitT?Mn+1(K) triangulaire supérieure commutant avec sa transposée. Nous avons

T=?α XT

0 n,1S? avecαun scalaire,δtriangulaire supérieure,X?Mn,1(K)etS?Mn(K). Ainsi,TTT=TTTimplique d"une part, en identifiant les coefficients(1,1)que

2=α2+XTX. DoncX= 0. Et d"autre part,STS=SST. Par hypothèse de

récurrence, nous en déduisons alors queSest diagonale. DoncTest diagonale. Exercice 10 :Existe-il des matricesAetBtelles queAB-BA=In? Correction :Non, carTr(AB) =Tr(BA)impliqueTr(AB-BA) = 0?=

Tr(In).

Exercice 11 :Soient(A,B)?Mn(K)tels queAB-BA=A. CalculerTr(Ap) pour tout entier non nulp.

Correction :

Tr(A) =Tr(AB-BA) =Tr(AB)-Tr(BA) = 0

Tr(Ap) =Tr(Ap-1(AB-BA))

=Tr(ApB)-Tr(AP-1BA) Or

Tr(Ap-1BA) =Tr((Ap-1B)A) =Tr(A(Ap-1B)) =Tr(ApB)

et doncTr(Ap= 0). Exercice 12 :Calculer le produit de deux matrices élémentaires.

A=Ei,jEk,l= (ap,q)p,qalors

a p,q=?r= 1n(δp,iδr,j)(δr,kδq,l) =δj,kδp,iδq,l, et donc : 5 E i,jEk,l=δj,kEi,l.

Exercice 13 :SoitA?Mn(K). Montrer que :

?B?Mn(K), AB=BA? ?λ?K, A=λIn. Correction :SiAest solution, alorsAEi,j=Ei,jAdoncai,i=aj,jpour tout (i,j)etai,k= 0pour toutk?=i. DoncA=λIn. Réciproque immédiate. Exercice 14 :Quelles sont les matrices carrées qui commutent avec toutes les matrices carrées? Correction :SoitMvérifiant. Alors pouri?=j,Ei,jM=MEi,j. l"égalité en indice(i,i)donnemj,i= 0et l"égalité en indice(i,j)donnemj,j=mi,i. Donc

M=λIn.

Exercice 15 :Soitn≥2.

a) Montrer que{A?Mn(R)/?M?GLn(R), AM=MA}={λIn, λ?R}. b) SoitA?Mn(R). On suppose que ?M,N?Mn(R), A=MN?A=NM.

Montrer qu"il existeλ?Rtel queA=λIn.

Correction :

a) SoitAcommutant avec toutes les matrices inversibles. Soiti?=j. Pour M=In+Ei,j,AM=MAdonneAEi,j=Ei,jA. On retombe sur l"exercice précédent. b) SoitBune matrice inversible. Nous avonsA= (AB-1)Bce qui implique queA=B(AB-1)et donc queAB=BA. Ainsi,Acommute avec toutes les matrices inversibles et on retourne à la question 1. Exercice 16 :SoitAetBdeux matrices carrées de taillentelles que pour toute matrice carrée de taillen,Tr(AX) =Tr(BX). Montrer queA=B. Correction :Nous avonsAEi,jqui est la matrice avec des 0 partout sauf sur la colonnej, où peut lire la ième colonne deA. Donc,Tr(AEi,j) =aj,i. Ainsi, nous avonsaj,i=bj,ipour tout(i,j)doncA=B. 6

3 Inverser une matrice

3.1 Le pivot de Gauss

Exercice 17 :Calculer l"inverse de la matriceA=(

(1 1-1 1 1 0

2 1 1)

Correction :Par le pivot de Gauss, on trouveA-1=(

(1-2 1 -1 3-1 -1 1 0)

3.2 Mais il y a d"autres méthodes

Exercice 18 :Justifier l"existence et calculer l"inverse de la matriceAtrian- gulaire supérieure ayant des1sur la diagonale et des-1au dessus. Correction :dans ce cas, il est plus facile d"écrire le système : ?????x

1-(x2+···+xn) =y1

x n-1-xn=yn-1 x n=yn(1) ce qui se résoud en n=yn x n-1=yn-1+yn x n-2=yn-2+yn-1+ 2yn x

1=y1+y2+ 2y3+···+ 2n-2yn(2)

et doncA-1=( ((((((((((1 1 2...2n-2 .........2 ......1 ...1)

Exercice 19 :Calculer l"inverse de la matriceA=(

(2-1 2 5-3 3 -1 0-2) 7 Correction :Nous avons(A+I)3= 03. DoncA3+ 3A2+ 3A+I= 0. Ainsi,

Aest inversible etA-1=-(A2+ 3A+I).

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