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Dimension du commutant Références : Oraux X ENS Algèbre 2

on restreint le système aux matrices triangulaires supérieures il reste n(n+1). 2 inconnues. Comme AX ? XA est triangulaire supérieure



Commutant d’une matrice

Dans cette partie on étudie le commutant des matrices élémentaires et on en triangulaire si i = j



Fiche dexercices Th`eme : Matrices

??Commutant d'une matrice diagonale. ??Montrer que si une matrice triangulaire supérieure `a coefficients réels commute avec sa transposée.



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(b) Même question avec les matrices commutant avec toutes celles de GLn(K). Soit T ? Mn(R) une matrice triangulaire supérieure.



Commutant dune matrice

Soit M une matrice commutant avec toutes les matrices orthogonales de Mn(IK). On triangulaire si i = j et dans tous les cas ses coefficients diagonaux ...



Le commutant est trigonalisable

17 août 2017 de Toeplitz Triangulaires Supérieures ) T(t1..



MATRICES

4 oct. 2013 Inversibilité des matrices triangulaires et des matrices diagonales ... Commutant d'une matrice ou d'un ensemble de matrices.



CCP 2011. Option MP. Mathématiques 2. EXERCICE Commutant d

Commutant d'une matrice (a) Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est triangulaire supérieure (avec pour diagonale le “produit”.



Séance de soutien PCSI2 numéro 7 : Calcul matriciel - Correction

Exercice 9 : Soit T une matrice triangulaire supérieure de taille n. Montrer triangulaire supérieure commutant avec sa transposée. Nous avons.



1 Dimension du commutant Théorème 1. Soit E un K-espace

Dimension du commutant La matrice de g dans la base ? = ?1 ? . ... triangulaires supérieures commutant à T. On va montrer que dimK(Com(T) ? Tn(K)) ...



Dimension du commutant - agreg-mathsfr

n(K) une matrice triangulaire sup erieure Int eressons nous alors a C K(A)T n(K) Si Xest triangulaire sup erieure c’est un el ement du commutant si et seulement si AX XA= 0 ce qui donne n(n+ 1) 2 equations Cependant les equations donn ees par la diago-nale sont toujours v eri ees puisqu’on a prit Xet Atriangulaires sup erieures



Exercice : Commutant d'une matrice

1)Montrer que C(A) est une sous alg ebre de M n(K) 2)Montrer que si A est diagonale d’ el ements diagonaux deux a deux distincts alors C(A) = D n(K) l’alg ebre des matrices diagonales de M n(K) ET-TAHRI FOUAD Exercice : Commutant d’une matrice



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1 Une matrice symétrique est diagonalisable en base orthonormale Écrire la dé?-nition de la positivité à une famille orthogonale de vecteurs propres 2 Se servir de l’inégalité arithmético-géométrique rappelée en début de problème 3 a Prouver la symétrie et la positivité séparément en revenant aux dé?nitions

Qu'est-ce que le commutant d'une matrice ?

Le commutant d’une matrice est l’ensemble des matrices de même taille qui commutent avec : C’est un sous-espace vectoriel de ; il s’agit d’ailleurs du noyau de l’endomorphisme de . Les exercices portant sur le commutant demandent souvent de le déterminer explicitement pour une matrice précise, souvent diagonalisable.

Comment calculer le déterminant d'une matrice triangulaire à coefficients?

Si l'anneau R est commutatif, le déterminant d'une matrice triangulaire à coefficients dans R est le produit de ses coefficients diagonaux : (Si la matrice est triangulaire supérieure, développer suivant les mineurs de la première colonne et raisonner par récurrence sur la taille de la matrice.

Comment appelle-t-on le commutant d’une matrice?

ET-TAHRI FOUAD Exercice : Commutant d’une matrice Enonce Soit n 2 et A 2M n(K). On appelle commuatant de A, note C(A) l’ensemble des matrices de M

Quelle est la valeur propre d'une matrice triangulaire supérieure?

La matrice A A étant triangulaire supérieure, ses valeurs propres sont données par les éléments de la diagonale. La seule valeur propre de A A est donc ? ? .

????A2 Mn(K)? ?? ????(A)?? ????? ??? ?????? ??A? J=0 B @11 ???(1)??? 111
C A? ???????J:A:J=(A):J? M=a b c d 2 M 2(R) ????0dcba??b+ca+d? ???? ????n2? ?? ???? M n=anbn c ndn b n+cnan+dn? A=0 @1 0 1 0 4 2

0 0 161

A

A+A1= In?

????A= (ai;j)2 Mn(K)? ??????? ???

8B2 Mn(K);AB=BA() 92K;A=:In?

M n(K)?

C(A) =M2 Mn(C);AM=MA?

??????? ???(Ak)0kn1??? ??? ???? ??C(A)? ????n2N????n2?

A2 Mn(R)8M2GLn(R);AM=MA=In2R?

8M;N2 Mn(R);A=MN=)A=NM?

??????? ????? ??????2R??? ???A=In ??????D= diag(a1;:::;an)2 Mn(K)?? ':M2 Mn(K)7!DMMD? A=0 @1 1 1 0 1 1

0 0 11

A ?? ?? ????B=AI? A=0 @1 1 0 0 1 1

0 0 11

A A=12 3 4 X

23X+ 2?

A=0 B

BBB@1 1

0 1 00 11 C

CCCA2 M

n(R)? A=a b c d 2 M 2(K)? A

2(a+d)A+ (adbc)I= 0?

???A=0 @1 01 2 13

1 0 21

A???B=0

@1 0 1 21 1
1 111

A???C=0

@1 11 2 0 1 2 111 A A=0 B @1 (1) 0 11 C

A2 Mn(R)

??????n2Nn f0;1g??!= exp2in

A=!(k1)(`1)

1k;`n2 Mn(C)?

A=0 @21 2 53 3
1 021 A ????A= (1i;j)2 Mn(R)

B= (IA)(I+A)1?

??? ??????? B= (I+A)1(IA)?

ABC= On?

A=0 B

B@0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 01

C CA ???A=0 B

BBB@1a(0)

???a (0) 11 C CCCA ???B=0 B @1 (1) (0) 11 C

A???C=0

B

BBB@1 2n

???2 (0) 11 C CCCA M n(R)?

M(a;b;c) =0

@a b c 0a b 0 0a1 A ????a;b;c2R?

P() = (i;(j))1i;jn2 Mn(R)

8(;0)2 S2n;P(0) =P()P(0)?

tP()=P(1)?

A=a+b b

b ab ????(a;b)2K2?

8(i;j)2J1;nK2;an+1i;n+1j=ai;j?

f:R3!R2 (x;y;z)7!(x+y;y2x+z) f:R3!R3 (x;y;z)7!(y+z;z+x;x+y)???f:R3[X]!R3[X]

P7!P(X+ 1)

f:R3[X]!R4

P7!P(1);P(2);P(3);P(4)

P=(x;y;z)2R3x+ 2yz= 0??D= Vect(w)??w= (1;0;1)?

? ??????? ??????? ?? p????B? a i;j=j1 i1 ??????a2C??f:C!C?????? ???f(z) =z+az? (1;i)? 0 @0 0 0 1 0 0

0 1 01

A f n= 0??fn16= 0?

B=x;f(x);f2(x);:::;fn1(x)????? ??? ???? ??E?

g2 L(E)gf=fg= Vect(Id;f;f2;:::;fn1)? A=0 @211 1 01 11 01 A A=0 @211 1 21 11 21 A f???? ????? ????? ??fn16= 0? Mat

B(f) =0

B

BBB@0 1 0

???1 0 01 C CCCA? ?????y=x+f2(x)??z=f2(x)?

E= KerfKer(f2+ Id)?

????? ??dimKer(f2+ Id)1? ??????? ???? ??x2Ker(f2+ Id)n f0g????? (x;f(x))??? ??? ??????? ????? ??Ker(f2+ Id)??????? ? ???det(Id)? ?? ???????dimKer(f2+ Id) = 2? 0 @0 0 0 0 01

0 1 01

A A=0 @3 13 1 1 1 1 111 A ?? ????"1= (1;1;1);"2= (1;1;0);"3= (1;0;1)??B0= ("1;"2;"3)? ?????? ?? ??????? ?? f???? ????? ????? 0 @2 11 0 1 0

1 1 01

A ???? C= ("1;"2;"3)????"1= (1;0;1);"2= (1;1;0);"3= (1;1;1)? ??????? ???C??? ??? ????? A=0 @21 0 2 12

1 1 31

A 8<

1=e1+e2e3

2=e1e3

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??? ??????? B0??? ??? ???? ??E?? ?????? ?? ???????D??f????B0? A=0 @422 1 01 3211
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0 0 21

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0= 0??8n2N;8

:x n+1= 4xn2(yn+zn) y n+1=xnzn z n+1= 3xn2ynzn? ??P?? ??????? ?? ??????? ??b?B? ????x2E? ?????? v= Matbx??V= MatBx? ????? ?f2 L(E)?? m= Matbf??M= MatBf? ????f2 L(E)???? ?? ??????? ???? ?? ????e??? A=0 @0 1 1 0 1 0

1 1 21

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A

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(0) ???b b(0)a1 C CCCA ??????n2N??M2 Mn(R)?????? ??? M=0 B

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0 1 1 0 ??????1

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0 0 01

A ???????BA=I2? ???F=(x;y;z)2R3x+my+z= 0 mx+y+mz= 0 ???F=(x;y;z)2R38< :x+y+mz= 0 x+my+z= 0 mx+y+z= 0

F=(x;y;z)2R3x+my+z= 0??mx+ymz= 0

G=(x;y;z)2R3xmy+z= 0?

???8 :xy+z=m x+myz= 1 xyz= 1 ???8 :mx+y+z= 1 x+my+z=m x+y+mz=m2 8 :mx+y+z+t= 1 x+my+z+t=m x+y+mz+t=m+ 1 8< :ax+by+z= 1 x+aby+z=b x+by+az= 1?

8>>>>><

>>>>:x

1+x2+x3++xn= 1

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1+x2+x3= 0

x

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8>>< >:ax+y+z+t= 1 x+ay+z+t=b x+y+az+t=b2 x+y+z+at=b3? ????A;B2 Mn(K)? f(AB) =f(A)f(B)? ??????A;B2 Mn(K)? rg(UA+BV) = min(n;rgA+ rgB)? ?? ???? ???rgA+ rgBn? ??????? ????? ??????U;V2GLn(K)???? ???

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rgA B= rgA() 9U2 Mn(K);B=AU? AC 2 M ??????? ?? ?????? ??A? rgAC = rgA() 9V2 Mn(K);C=V A? rg A B C D = rgA() 9U;V2 Mn(K);A B C D =A AU

V A V AU

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M=A On;p

O p;nB 2 M n+p(K)? rgM= rgA+ rgB? ??????B2 Mn;p(K)??C2 Mp(K)? rgInB O p;nC =n+ rgC? ??????A2 Mn(K)?B2 Mp(K)?C2 Mn;p(K)?? M=A C O p;nB 2 M n+p(K)? rgM=p()A=On? ??????A2GLp(R)?B2 Mp;q(R)?C2 Mq(R)?? M=A B O q;pC 2 M p+q(R)? ??????A2 Mn(K)?? B=OnA I nOn 2 M

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2n(K)?

A=0 B

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f

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M=ABBA?

???? ????M2 Mn(K)?'(M) = tr(AM)?

Ker(tr) = Vectf[A;B]jA;B2Eg

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