Dimension du commutant Références : Oraux X ENS Algèbre 2
on restreint le système aux matrices triangulaires supérieures il reste n(n+1). 2 inconnues. Comme AX ? XA est triangulaire supérieure
Commutant d’une matrice
Dans cette partie on étudie le commutant des matrices élémentaires et on en triangulaire si i = j
Fiche dexercices Th`eme : Matrices
??Commutant d'une matrice diagonale. ??Montrer que si une matrice triangulaire supérieure `a coefficients réels commute avec sa transposée.
calcul-matriciel.pdf
(b) Même question avec les matrices commutant avec toutes celles de GLn(K). Soit T ? Mn(R) une matrice triangulaire supérieure.
Commutant dune matrice
Soit M une matrice commutant avec toutes les matrices orthogonales de Mn(IK). On triangulaire si i = j et dans tous les cas ses coefficients diagonaux ...
Le commutant est trigonalisable
17 août 2017 de Toeplitz Triangulaires Supérieures ) T(t1..
MATRICES
4 oct. 2013 Inversibilité des matrices triangulaires et des matrices diagonales ... Commutant d'une matrice ou d'un ensemble de matrices.
CCP 2011. Option MP. Mathématiques 2. EXERCICE Commutant d
Commutant d'une matrice (a) Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est triangulaire supérieure (avec pour diagonale le “produit”.
Séance de soutien PCSI2 numéro 7 : Calcul matriciel - Correction
Exercice 9 : Soit T une matrice triangulaire supérieure de taille n. Montrer triangulaire supérieure commutant avec sa transposée. Nous avons.
1 Dimension du commutant Théorème 1. Soit E un K-espace
Dimension du commutant La matrice de g dans la base ? = ?1 ? . ... triangulaires supérieures commutant à T. On va montrer que dimK(Com(T) ? Tn(K)) ...
Dimension du commutant - agreg-mathsfr
n(K) une matrice triangulaire sup erieure Int eressons nous alors a C K(A)T n(K) Si Xest triangulaire sup erieure c’est un el ement du commutant si et seulement si AX XA= 0 ce qui donne n(n+ 1) 2 equations Cependant les equations donn ees par la diago-nale sont toujours v eri ees puisqu’on a prit Xet Atriangulaires sup erieures
Exercice : Commutant d'une matrice
1)Montrer que C(A) est une sous alg ebre de M n(K) 2)Montrer que si A est diagonale d’ el ements diagonaux deux a deux distincts alors C(A) = D n(K) l’alg ebre des matrices diagonales de M n(K) ET-TAHRI FOUAD Exercice : Commutant d’une matrice
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1 Une matrice symétrique est diagonalisable en base orthonormale Écrire la dé?-nition de la positivité à une famille orthogonale de vecteurs propres 2 Se servir de l’inégalité arithmético-géométrique rappelée en début de problème 3 a Prouver la symétrie et la positivité séparément en revenant aux dé?nitions
Qu'est-ce que le commutant d'une matrice ?
Le commutant d’une matrice est l’ensemble des matrices de même taille qui commutent avec : C’est un sous-espace vectoriel de ; il s’agit d’ailleurs du noyau de l’endomorphisme de . Les exercices portant sur le commutant demandent souvent de le déterminer explicitement pour une matrice précise, souvent diagonalisable.
Comment calculer le déterminant d'une matrice triangulaire à coefficients?
Si l'anneau R est commutatif, le déterminant d'une matrice triangulaire à coefficients dans R est le produit de ses coefficients diagonaux : (Si la matrice est triangulaire supérieure, développer suivant les mineurs de la première colonne et raisonner par récurrence sur la taille de la matrice.
Comment appelle-t-on le commutant d’une matrice?
ET-TAHRI FOUAD Exercice : Commutant d’une matrice Enonce Soit n 2 et A 2M n(K). On appelle commuatant de A, note C(A) l’ensemble des matrices de M
Quelle est la valeur propre d'une matrice triangulaire supérieure?
La matrice A A étant triangulaire supérieure, ses valeurs propres sont données par les éléments de la diagonale. La seule valeur propre de A A est donc ? ? .
C A? ???????J:A:J=(A):J? M=a b c d 2 M 2(R) ????0dcba??b+ca+d? ???? ????n2? ?? ???? M n=anbn c ndn b n+cnan+dn? A=0 @1 0 1 0 4 2
0 0 161
AA+A1= In?
????A= (ai;j)2 Mn(K)? ??????? ???8B2 Mn(K);AB=BA() 92K;A=:In?
M n(K)?C(A) =M2 Mn(C);AM=MA?
??????? ???(Ak)0kn1??? ??? ???? ??C(A)? ????n2N????n2?A2 Mn(R)8M2GLn(R);AM=MA=In2R?
8M;N2 Mn(R);A=MN=)A=NM?
??????? ????? ??????2R??? ???A=In ??????D= diag(a1;:::;an)2 Mn(K)?? ':M2 Mn(K)7!DMMD? A=0 @1 1 1 0 1 10 0 11
A ?? ?? ????B=AI? A=0 @1 1 0 0 1 10 0 11
A A=12 3 4 X23X+ 2?
A=0 BBBB@1 1
0 1 00 11 CCCCA2 M
n(R)? A=a b c d 2 M 2(K)? A2(a+d)A+ (adbc)I= 0?
???A=0 @1 01 2 131 0 21
A???B=0
@1 0 1 21 11 111
A???C=0
@1 11 2 0 1 2 111 A A=0 B @1 (1) 0 11 CA2 Mn(R)
??????n2Nn f0;1g??!= exp2inA=!(k1)(`1)
1k;`n2 Mn(C)?
A=0 @21 2 53 31 021 A ????A= (1i;j)2 Mn(R)
B= (IA)(I+A)1?
??? ??????? B= (I+A)1(IA)?ABC= On?
A=0 BB@0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 01
C CA ???A=0 BBBB@1a(0)
???a (0) 11 C CCCA ???B=0 B @1 (1) (0) 11 CA???C=0
BBBB@1 2n
???2 (0) 11 C CCCA M n(R)?M(a;b;c) =0
@a b c 0a b 0 0a1 A ????a;b;c2R?P() = (i;(j))1i;jn2 Mn(R)
8(;0)2 S2n;P(0) =P()P(0)?
tP()=P(1)?A=a+b b
b ab ????(a;b)2K2?8(i;j)2J1;nK2;an+1i;n+1j=ai;j?
f:R3!R2 (x;y;z)7!(x+y;y2x+z) f:R3!R3 (x;y;z)7!(y+z;z+x;x+y)???f:R3[X]!R3[X]P7!P(X+ 1)
f:R3[X]!R4P7!P(1);P(2);P(3);P(4)
P=(x;y;z)2R3x+ 2yz= 0??D= Vect(w)??w= (1;0;1)?
? ??????? ??????? ?? p????B? a i;j=j1 i1 ??????a2C??f:C!C?????? ???f(z) =z+az? (1;i)? 0 @0 0 0 1 0 00 1 01
A f n= 0??fn16= 0?B=x;f(x);f2(x);:::;fn1(x)????? ??? ???? ??E?
g2 L(E)gf=fg= Vect(Id;f;f2;:::;fn1)? A=0 @211 1 01 11 01 A A=0 @211 1 21 11 21 A f???? ????? ????? ??fn16= 0? MatB(f) =0
BBBB@0 1 0
???1 0 01 C CCCA? ?????y=x+f2(x)??z=f2(x)?E= KerfKer(f2+ Id)?
????? ??dimKer(f2+ Id)1? ??????? ???? ??x2Ker(f2+ Id)n f0g????? (x;f(x))??? ??? ??????? ????? ??Ker(f2+ Id)??????? ? ???det(Id)? ?? ???????dimKer(f2+ Id) = 2? 0 @0 0 0 0 010 1 01
A A=0 @3 13 1 1 1 1 111 A ?? ????"1= (1;1;1);"2= (1;1;0);"3= (1;0;1)??B0= ("1;"2;"3)? ?????? ?? ??????? ?? f???? ????? ????? 0 @2 11 0 1 01 1 01
A ???? C= ("1;"2;"3)????"1= (1;0;1);"2= (1;1;0);"3= (1;1;1)? ??????? ???C??? ??? ????? A=0 @21 0 2 121 1 31
A 8<1=e1+e2e3
2=e1e3
3=e1e2?
??? ??????? B0??? ??? ???? ??E?? ?????? ?? ???????D??f????B0? A=0 @422 1 01 3211A ??D=0 @0 0 0 0 1 0
0 0 21
A ????C????D? ?? ??????? ? ?????? ??????? ??? ?????? (xn)n2N;(yn)n2N??(zn)n2N??????? ??? ?8< :x 0= 1 y 0= 0 z0= 0??8n2N;8
:x n+1= 4xn2(yn+zn) y n+1=xnzn z n+1= 3xn2ynzn? ??P?? ??????? ?? ??????? ??b?B? ????x2E? ?????? v= Matbx??V= MatBx? ????? ?f2 L(E)?? m= Matbf??M= MatBf? ????f2 L(E)???? ?? ??????? ???? ?? ????e??? A=0 @0 1 1 0 1 01 1 21
A ?? ????e01=e1+e3?e02=e1+e2??e03=e1+e2+e3? ???????B??f????e0? ????f2 L(E)???? ?? ??????? ???? ?? ????B??? A=0 @0 2 1 1 2 10 1 11
A ?? ????"1=e1+e3?"2=e1+e2??"3=e1+e2+e3? f????B0? A=0 @32 2 1 2 01 1 11
A1;2??3?
???(x1;x2;x3)????x1= (1;1;0);x2= (1;0;1)??x3= (0;1;1) ???(x1;x2;x3)????x1= (2;1;1);x2= (1;2;1)??x3= (1;1;2) ???(x1;x2;x3)????x1= (1;2;1);x2= (1;0;3)??x3= (1;1;2)? ???f:K3!K3?????? ??? f(x;y;z) = (x+y+z;xy+z;x+yz)? ???f:K3!K3?????? ??? f(x;y;z) = (xy;yz;zx)? ???f:K4!K4?????? ??? f(x;y;z;t) = (x+yt;x+z+ 2t;2x+yz+t;x+ 2y+z)? 0 @1 1 1 b+c c+a a+b bc ca ab1 A 0 @1 coscos2 coscos2cos3 cos2cos3cos41 A???0 BBBB@a b(0)
(0) ???b b(0)a1 C CCCA ??????n2N??M2 Mn(R)?????? ??? M=0 BBBBBBB@1 1 00
0 1 1 0 ??????11 00 11
C ??????A2 M3;2(R)??B2 M2;3(R)?????? ??? AB=0 @1 0 0 0 1 00 0 01
A ???????BA=I2? ???F=(x;y;z)2R3x+my+z= 0 mx+y+mz= 0 ???F=(x;y;z)2R38< :x+y+mz= 0 x+my+z= 0 mx+y+z= 0F=(x;y;z)2R3x+my+z= 0??mx+ymz= 0
G=(x;y;z)2R3xmy+z= 0?
???8 :xy+z=m x+myz= 1 xyz= 1 ???8 :mx+y+z= 1 x+my+z=m x+y+mz=m2 8 :mx+y+z+t= 1 x+my+z+t=m x+y+mz+t=m+ 1 8< :ax+by+z= 1 x+aby+z=b x+by+az= 1?8>>>>><
>>>>:x1+x2+x3++xn= 1
x1+ 2x2+ 2x3++ 2xn= 1
x1+ 2x2+ 3x3++ 3xn= 1
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a i??? ?? ?????? ??[zi;zi+1]??an??? ?? ?????? ??[zn;z1]? 8< :ax+ 2by+ 2z= 12x+aby+ 2z=b
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8>>< >:ax+y+z+t= 1 x+ay+z+t=b x+y+az+t=b2 x+y+z+at=b3? ????A;B2 Mn(K)? f(AB) =f(A)f(B)? ??????A;B2 Mn(K)? rg(UA+BV) = min(n;rgA+ rgB)? ?? ???? ???rgA+ rgBn? ??????? ????? ??????U;V2GLn(K)???? ???UA+BV2GLn(R)?
????A??? ??????? ?????? ?? ???? ?? ??????? ????? ??????2K??? ???A2=A? ????H2 Mn(C)??? ??????? ?? ???? ?? H2= tr(H)H?
(I n+H)1= In11 + trHH? ????? ?A2GLn(K)????? ???tr(HA1)6=1? ??????? ???A+H??? ??????? ??? ?? ???????XitYj ??????A;B;C;D2 Mn(K)?B? ?????? ?? ?????? ??A?
rgA B= rgA() 9U2 Mn(K);B=AU? AC 2 M ??????? ?? ?????? ??A? rgAC = rgA() 9V2 Mn(K);C=V A? rg A B C D = rgA() 9U;V2 Mn(K);A B C D =A AUV A V AU
??????A2 Mn(K)?B2 Mp(K)??M?? ???????M=A On;p
O p;nB 2 M n+p(K)? rgM= rgA+ rgB? ??????B2 Mn;p(K)??C2 Mp(K)? rgInB O p;nC =n+ rgC? ??????A2 Mn(K)?B2 Mp(K)?C2 Mn;p(K)?? M=A C O p;nB 2 M n+p(K)? rgM=p()A=On? ??????A2GLp(R)?B2 Mp;q(R)?C2 Mq(R)?? M=A B O q;pC 2 M p+q(R)? ??????A2 Mn(K)?? B=OnA I nOn 2 M2n(K)?
??????A;B;C;D2 Mn(K)?? M=A B C D 2 M2n(K)?
A=0 BB@11 0 0
0 1 0 0
0 01 1
0 0 011
C CA? ????A;B2 Mn(K)? M=A A A BABBA=In?
f2= tr(f)f?
'(M) =MA?M=ABBA?
???? ????M2 Mn(K)?'(M) = tr(AM)?Ker(tr) = Vectf[A;B]jA;B2Eg
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