[PDF] Géométrie vectorielle 1.3 activité 3 : (relation

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Géométrie vectorielle

Table des matières

1 activités2

1.1 activité 1 :(vecteurs égaux et parallèlogramme). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

1.2 activité 2 :(somme de vecteurs et milieux). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

1.3 activité 3 :(relation de Chasles, calcul vectoriel, colinéarité de vecteurs). . . . . . .2

1.4 activité 4 :(relation de Chasles, calcul vectoriel ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

1.5 activité 5 :(décomposition dans une base et alignement ). . . . . . . . . . . . . . . .2

1.6 activité 6 :(décomposition dans une base et alignement ). . . . . . . . . . . . . . . .2

2 corrigés activités3

2.1 corrigé activité 1 :(vecteurs égaux et parallèlogramme). . . . . . . . . . . . . . . . . .3

2.2 corrigé activité 2 :(somme de vecteurs et milieux). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

2.3 corrigé activité 3 :(relation de Chasles, calcul vectoriel, colinéarité de vecteurs). .4

2.4 corrigé activité 4 :(relation de Chasles, calcul vectoriel ). . . . . . . . . . . . . . . .5

2.5 corrigé activité 5 :(décomposition dans une base et alignement ). . . . . . . . . . . .6

2.6 corrigé activité 6 :(décomposition dans une base et alignement ). . . . . . . . . . . .7

3 à retenir8

3.1 notion de vecteur et vecteurs égaux . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .8

3.2 somme de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .9

3.3 multiplication d"un vecteur par un nombre réel . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .9

3.4 vecteurs colinéaires, parallélisme de droites et alignement de points. . . . . . . . . .10

3.5 décomposition d"un vecteur selon une base . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .10

4 exercices11

5 corrigés exercices13

6 évaluation14

7 corrigé évaluation16

8 évaluation19

9 corrigé évaluation21

10 devoir maison23

10.1 corrigé devoir maison 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .24

11 tp25

1

1 activités1.1 activité 1 :(vecteurs égaux et parallèlogramme)

ABCest un triangle

DetEsont tels que--→BD=-→ACet-→AE=--→BA

1. faire une figure

2. quelle est la nature deADCE?

1.2 activité 2 :(somme de vecteurs et milieux)

ABCest un triangle

D,EetFsont tels que--→AD=--→AB+-→AC,-→AE=--→BA+-→AC,--→BF=--→BA--→AC

1. faire une figure

2. démontrer queCest le milieu de[DE]

1.3 activité 3 :(relation de Chasles, calcul vectoriel, colinéarité de vecteurs)

ABCest un triangle quelconque

Iest le milieu du segment[AB]

Jest le milieu du segment[AC]

Mest tel queABJMest un parallèlogramme

Nest tel queAICNest un parallèlogramme

Pest le milieu de[MN]

Que dire des droites(AP)et(BC)?

?A B CI JM P N en utilisant le repère(B;--→BC;--→BA)

1. exprimer les vecteurs

BCet-→AP

en fonction des vecteurs de base et montrer que-→AP=3

4--→BC

2. conclure

1.4 activité 4 :(relation de Chasles, calcul vectoriel )

on sait queAB= 10cm et queGest tel que2-→GA+ 3--→GB=-→0

1. montrer que

AG=3

5--→AB

2. faire une figure

1.5 activité 5 :(décomposition dans une base et alignement )

ABCest un triangle

Dest tel que--→AD= 3--→AB-2-→AC

1. faire une figure et estimer siB,CetDsont alignés

2. exprimer--→BCet--→BDen fonction de--→ABet-→ACet conclure

1.6 activité 6 :(décomposition dans une base et alignement )

ABCest un triangle

Iest tel que-→AI=--→AB+ 2-→AC

Jest tel que-→AJ= 3-→AC+ 2--→BC

1. faire une figure et estimer si(BC)et(IJ)sont parallèles

2. exprimer

IJet--→BCen fonction de--→ABet-→ACet conclure

2 corrigés activités2.1 corrigé activité 1 :(vecteurs égaux et parallèlogramme)

ABCest un triangle

DetEsont tels que--→BD=-→ACet-→AE=--→BA

1. figure

ABC D E

2. quelle est la nature deADCE?

Il semble que ce soit un parallèlogramme

démonstration :

BD=-→AC

ABDC parallèlogramme--→BA=--→DC--→BA=-→AE

AE=--→DCADCE parallèlogramme(P1)

(P1)(énoncé) (énoncé) (transitivité) (P1)

2.2 corrigé activité 2 :(somme de vecteurs et milieux)

ABCest un triangle

D,EetFsont tels que--→AD=--→AB+-→AC,-→AE=--→BA+-→AC,--→BF=--→BA--→AC

1. faire une figure

ABC DE F

2. démontrons queCest le milieu de[DE]

AD=--→AB+-→AC

ABDC parallèlogramme--→AB=--→CD-→AE=--→BA+-→AC (P4)(P1)(énoncé) (énoncé) (transitivité)-→AE=--→BCABCE parallèlogramme

AB=--→EC

C milieu de [DE]

(P2)(P1)

EC=--→CD

(Chasles)(P1)

2.3 corrigé activité 3 :(relation de Chasles, calcul vectoriel, colinéarité de vecteurs)

ABCest un triangle quelconque

(H1):Iest le milieu du segment[AB] (H2):Jest le milieu du segment[AC] (H3):Mest tel queABJMest un parallèlogramme (H4):Nest tel queAICNest un parallèlogramme (H5):Pest le milieu de[MN]

Que dire des droites(AP)et(BC)?

?A B CI JM P N en utilisant le repère(B;--→BC;--→BA)

1.--→BC= 1--→BC+ 0--→BA

AP=--→AB+--→BC+-→IA+1

2--→NM

AP=--→AB+--→BC+1

2--→BA+12--→NM

AP=--→AB+--→BC+1

2--→BA+12(--→NA+--→AM)

AP=--→AB+--→BC+1

2--→BA+12(-→CI+-→BJ)

AP=--→AB+--→BC+1

2--→BA+12-→CI+12-→BJ

AP=--→AB+--→BC+1

2--→BA+12(--→CB+12--→BA) +12(12(--→BC+--→BA))

AP=--→AB+--→BC+1

AP=---→BA+--→BC+1

AP= (-1 +1

2+14+14)--→BA+ (1-12+14)--→BC

AP= 0--→BA+3

4--→BC

AP=3

4--→BC

donc

APet--→BCsont colinéaires

2. donc(BC)et(AP)sont parallèles

2.4 corrigé activité 4 :(relation de Chasles, calcul vectoriel )

on sait queAB= 10cm et queGest tel que2-→GA+ 3--→GB=-→0

1.2-→GA+ 3--→GB=-→0

2

GA+ 3(-→GA+--→AB) =-→0

2

GA+ 3-→GA+ 3--→AB=-→0

5

GA+ 3--→AB=-→0

5

GA=-3--→AB

GA=-3

5--→AB

AG=-3

5--→AB

AG=3

5--→AB

2. faire une figure

???? ??ABG

2.5 corrigé activité 5 :(décomposition dans une base et alignement )

ABCest un triangle

Dest tel que--→AD= 3--→AB-2-→AC

1. faire une figure et estimer siB,CetDsont alignés

A BC D

B,CetDsemblent alignés

2. exprimer

BCet--→BDen fonction de--→ABet-→ACet conclure d"une part :

BC=--→BA+-→AC

BC=---→AB+-→AC

d"autre part :

BD=--→BA+--→AD

BD=---→AB+ 3--→AB-2-→AC

BD= 2--→AB-2-→AC

on remarque que : BD= 2--→AB-2-→AC=-2(---→AB+-→AC) =-2--→BC donc

BDet--→BCsont colinéaires

doncB,CetDsont alignés

2.6 corrigé activité 6 :(décomposition dans une base et alignement )

ABCest un triangle

Iest tel que-→AI=--→AB+ 2-→AC

Jest tel que-→AJ= 3-→AC+ 2--→BC

1. faire une figure et estimer si(BC)et(IJ)sont parallèles

A BC I ?J

2. exprimer

IJet--→BCen fonction de--→ABet-→ACet conclure

IJ=-→IA+-→AJ

IJ=--→AI+-→AJ

IJ=-(--→AB+ 2-→AC) + (3-→AC+ 2--→BC) IJ=---→AB-2-→AC+ 3-→AC+ 2--→BC IJ=---→AB-2-→AC+ 3-→AC+ 2(--→BA+-→AC) IJ=---→AB-2-→AC+ 3-→AC+ 2--→BA+ 2-→AC IJ=---→AB-2-→AC+ 3-→AC-2--→AB+ 2-→AC

IJ=-3--→AB+ 3-→AC

d"autre part :

BC=--→BA+-→AC

BC=---→AB+-→AC

on remarque que :

IJ= 3--→BC

donc

IJet--→BCsont colinéaires

donc(IJ)et(BC)sont parallèles

3 à retenir3.1 notion de vecteur et vecteurs égaux

définition 1 :(même direction ou colinéaires)

Quels que soient les pointsA?=BetC?=D,?

ABet--→CDont même direction??(AB)//(CD)

A B--→ABD C--→CD

(parallèles) définition 2:(même sens)

Quels que soient les pointsA?=BetC?=D,

et le sens "deAversB" est "le même" que le sens "deCversD"

A B--→ABC D--→CD

définition 3:(même norme)

Quels que soient les pointsA?=BetC?=D,?

???--→ABet--→CDont même norme??AB=CD

A B--→ABD

C--→CD

définition 4:(opposés)

Quels que soient les pointsA?=BetC?=D,

et le sens "deAversB" est "le sens contraire " du sens "deCversD" et ABet--→CDont même normeA B--→ABD C--→CD définition 5:(égalité de vecteurs)

Quels que soient les pointsA?=BetC?=D,

AB=--→CD???????--→ABet--→CDont même direction--→ABet--→CDont même sens--→ABet--→CDont même norme

A B--→ABC D--→CD

propriété 1:(égalité de vecteurs et parallélogramme) quels que soient les pointsA?=B,C?=D,A, BetCnon alignés? ???ABDCest un parallélogramme??--→AB=--→CD (attention à l"ordre des lettres) A BDC propriété 2:(égalité de vecteurs et milieu d"un segment) quels que soient les pointsA?=B, etI?

AI=-→IB??Iest le milieu du segment[AB]

(attention à l"ordre des lettres)A IB

3.2 somme de vecteurs

définition 6 :(somme de vecteurs ) quels que soient les pointsA, B, CetD soitEun point quelconque E XF A B CD soitXtel que--→EX=--→AB soitFtel que--→XF=--→CD le vecteur--→EFest appelé "vecteur somme" de--→ABet--→CDet on note :????

EF=--→AB+--→CD

propriété 3:(commutativité de la somme de vecteurs) quels que soient les pointsA, B, CetD A B CD

AB+--→CD=--→CD+--→AB

propriété 4:(somme de vecteurs et parallélogramme) quels que soient les pointsA, B, CetDavecA,BetDnon alignés? ???ABCDest un parallélogramme??-→AC=--→AB+--→AD

A BCD(attention à l"ordre des lettres)

propriété 5:(milieu et somme de vecteurs) quels que soient les pointsA, BetIavecA?=B? ???Iest le milieu du segment[AB]??-→IA+-→IB=-→0 A IB (attention à l"ordre des lettres) propriété 6:(relation de Chasles) quels que soient les pointsA,BetC?

AB+--→BC=-→AC

A BC remarques :

i.-→AA=--→BB=...=-→0est appelé levecteur nul, il n"a pas de direction et pas de sens.

3.3 multiplication d"un vecteur par un nombre réel

définition 7 :(produit d"un vecteur par un nombre) quels que soient les pointsAetB,A?=B quel que soit le nombre réel non nulk?R soitCun point quelconque A B

EF= 2--→ABE F

CD=-2--→ABD C

CDa pour sens?

le sens de--→ABsik >0 le sens contraire de celui de--→ABsik <0 CDa pour longueur la la longueur de--→ABmultipliée par|k|

le vecteur--→CDest appelé "vecteur produit" de--→ABparket on note :????--→CD=k--→AB

propriété 7:(milieu et produit d"un vecteur par un réel) quels que soient les pointsA, BetIavecA?=B? Iest le milieu du segment[AB]??-→AI=12--→AB A IB propriété 8:(somme de vecteurs, produit par un réel et milieu) quels que soient les pointsA, BetC? ???Iest le milieu de[BC]??-→AI=12(--→AB+-→AC)A BDC I propriété 9:(opérations sur les vecteurs) quels que soient les vecteurs-→uet-→v quels que soient les réelsk?Retl?R??????

???k(-→u+-→v) =k-→u+k-→v????k(l-→u) = (kl)-→u????(k+l)-→u=k-→u+l-→u

???1-→u=-→u????0-→u=-→0????k-→0 =-→0???? -→0 +-→u=-→u

3.4 vecteurs colinéaires, parallélisme de droites et alignement de points.

propriété 10 :(vecteurs colinéaires) quels que soient les vecteurs non nuls-→u?=-→0et-→v?=-→0? ???-→uet-→vsont colinéaires??il existe un réel non nulk?R?tel que-→v=k-→u propriété 11:(droites parallèles) quels que soient les pointsA?=BetC?=D? ???les droites(AB)et(CD)sont parallèles??--→ABet--→CDsont colinéaires

AB--→CDA

BC D propriété 12 :(points alignés) quels que soient les pointsA?=BetA?=C? ???les pointsA,BetCsont alignés??--→ABet-→ACsont colinéaires

AB-→ACA

B

C3.5 décomposition d"un vecteur selon une base

propriété 13 :(base de vecteurs du plan ) quels que soient les tois points du planA,BetCnon alignés quel que soit le pointMdu plan il existe un couple unique de réels(x;y)tels que????

AM=x--→AB+y-→AC

A--→AB-→AC

M AM BC on dit que AMa pour coordonnées(x;y)dans la base(--→AB;-→AC) on dit queMa pour coordonnées(x;y)dans le repère(A;--→AB;-→AC)

4 exercices

exercice 1 : ABCest un triangle etMest le point tel que--→MB= 3-→CA+ 4--→MA

1. essayer de faire une figure et remarquer qu"il n"est pas aisé de placer le pointMcar il

apparaît dans deux vecteurs

2.(a) en utilisant la relation de Chasles, démontrer que :--→MB= 3-→CA+ 4--→MA??--→BM=-→CA+4

3--→BA

(b) construire grâce à cette nouvelle égalité le pointMsur la figure exercice 2 :

ABCest un triangle.

DetEsont des points tels que--→AD=2

3-→ACet-→AE=32--→AB

1. faire une figure.

2. que semble t-il pour les droites(DB)et(CE)?

3.(a) en utilisant la relation de Chasles et les hypothèses, démontrer que :--→CE=3

2--→AB--→AC

(b) de même, montrer que :

DB=--→AB-2

3-→AC

(c) démontrer que CE=3

2--→DB

(d) qu"en déduire pour les vecteurs

CEet--→DB?

puis pour les droites(CE)et(DB)? exercice 3 : SoitABCun triangle etGun point tel que-→GA+--→GB+--→GC=-→0

1.(a) montrer que

AG=1

3--→AB+13-→AC

(b) placer le pointGsur la figure (Gest appelé le "centre de gravité" du triangleABC)

2. soitI=m([BC])le milieu du segment[BC]

(a) montrer que AI=1

2--→AB+12-→AC

(b) en déduire que

AGet-→AIsont colinéaires

(donner un coefficient de proportionnalité) (c) que dire alors des pointsA,GetI? (d) plaçerIsur la figure et vérifier la cohérence

3. où se trouve le centre de gravité par rapport à une quelconque des médianes d"un

triangle? exercice 4 :

ABCDest un parallèlogramme

Pest tel que-→AP=1

3--→AD

Iest le milieu de[BA]

Eest le symétrique deCpar rapport àD

1. faire une figure

2.(a) exprimer-→IPet-→IEen fonction de--→BAet--→BC

(b) en déduire queI,PetEsont alignés(justifier)

3. soitFtel que--→BF=1

3--→BC

(a) placerFsur la figure (b) démontrer que(FD)et(IE)sont parallèles (utiliser la décomposition dans un repère ainsi que la colinéarité) exercice 5 :

ABCun triangle

1. SoitGtel que-→GA+ 2--→GB+--→GC=-→0

(a) soitIle milieu de[AC]

Démontrer que-→GA+--→GC= 2-→GI

(b) en déduire queG=m([BI])et construieG

2.(a) contruireDtel que--→AD= 2--→AB+-→AC

(b) démontrer queA,GetDsont alignés exercice 6 : (59 page 183)

ABCDun parallélogramme quelconque

1. SoientItel que2-→BI=--→ABetJtel que-→AJ= 3--→AD

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