[PDF] Géométrie vectorielle et analytique dans le plan

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DERNIÈRE IMPRESSION LE5 février 2019 à 10:32Géométrie vectorielle et analytique dans le planPlan vectorielDéfinition vecteurOpérations sur les vecteursColinéarité de deux vecteursRepèresGéométrie analytiqueThalès et centre de gravitéVecteur.

Représentant.

Norme.

Égalité de 2 vecteurs.Addition de 2 vecteurs

Relation de Chasles.

Construction.

Propriétés.Produit par un réel

Définition.

Propriétés.Définition.

Parallélisme.

Alignement.Repère quelconque.

Repère orthogonal.

Repère orthonormé.Coordonnées

d"un vecteur. du milieu. somme et produit par un réel de 2 vec- teurs.Déterminant de deux vecteurs.

Condition de colinéarité.

Distance de deux points.Caractérisation vectorielle du th. de Thalès.Caractérisation du centre de gravité d"un triangle.PAUL MILAN1SECTION S

1. VECTEUR

1

V ecteur

La notion de vecteur découle de la représentation d"une force en physique à la seule différence qu"une force possède un point d"application. 1.1

Définition

Un vecteur géométrique, noté

~u, est un outil mathématique caractérisé par : une direction (la droite support du vecteur); un sens, (sens de parcours sur la droite); une longueur, la norme du vecteur, notée??~u??. Remarque :Un vecteur n"a pas de point d"application dans le plan. Pour pouvoir le représenter dans le plan, on prend un représentant du vecteur ~uà l"aide de deux points A et B, qui possèdent les mêmes caractéristiques de direction, de sens et de longueur. On appelle alors ce représentant un bipoint et on le note???AB . Un vecteur représente l"ensemble de ses représentants (classe d"équivalence).AB

CDdirection

Représentation du vecteur

~u BPar abus de langage, dans la suite, on appellera indifféremment vecteur :~uou???AB .

On écrira alors :

~u????AB . La norme du vecteur???AB correspond alors à la distance AB :?????AB?? ?AB. 1.2

Égalité de deux vecteurs Deux vecteurs

???AB et???CD sont égaux, ssi le quadrilatère ABDC est un parallélogramme.

AB????CD?ABDC est un parallélogrammeRemarque :Un parallélogramme est associé à l"égalité de deux vecteurs, car un vecteur

possède deux informations une sur la direction et une autre sur la longueur ce qui carac- térise deux côtés parallèles et de même longueur. Un parallélogramme, vu sous l"angle vectoriel, montre la simplicité de l"outil vectoriel qui en fait toute sa richesse.PAUL MILAN2SECTION S

2. OPÉRATIONS SUR LES VECTEURS

2

Opérations sur les vecteurs

Les opérations sur les vecteurs représentent un progrès réel par rapport à la géométrie

euclidienne pour sa simplicité d"emploi et sa forme très synthétique. Elles simplifient alors les démonstrations. 2.1

Addition de deux vecteurs Relation de Chasles

Soit deux vecteurs

??uet~vde représentants???AB et???BC . On définit l"addition des deux vecteurs??uet~vpar la relation :

AB????BC????AC d"où~u?~v????AC~

u~ v~ u?~vAB C Remarque :Cette opération peut toujours se faire car l"on peut toujours déplacer le deuxième vecteur pour qu"il commence où finit le premier. BLa norme de la somme n"est pas la somme des normes en général : ~u?~v?? ? ??~u?????~v??inégalité triangulaire 2.2

Somme de deux vecteurs de même origine

On utilise la configuration du parallélogramme pour additionner deux vecteurs de même origine

ABDC parallélogramme, alors

???AC????BD , et donc : u~ v~ u?~vAB CD? 2.3

Propriétés de l"addition de deux vecteurs

L"addition de deux vecteurs :

est commutative :~u?~v?~v?~u; est associative :?~u?~v??~w?~u??~v?~w? ?~u?~v?~w; possède un élément neutre :??0 .

Tout vecteur~upossède un opposé, noté?~uRemarques :On retrouve les mêmes propriétés que possède l"addition de deux réels

La commutativité se vérifie dans la configuration du parallélogramme. L"ordre des vecteurs est bien indifférent. On peut visualiser l"associativité par les figures ci-après : additionner les deux pre-

miers au troisième revient à additionner le premier avec les deux derniers.PAUL MILAN3SECTION S

2. OPÉRATIONS SUR LES VECTEURS

u~ v~ w~ u?~v? ~u?~v??~w~ u~ v~ w~ v?~w~ u??~v?~w?D"après la relation de Chasles :???AB????BA????AA On décide d"appeler un vecteur de longueur nulle, le vecteur nul, noté :??0 .

BLe vecteur??0 n"a pas de direction.

On décide de noter :???BA? ????AB , le vecteur opposé à???AB . 2.4

Applications de la relation de Chasles

Simplification :Pour tous points O, A, B et C, on a :

Montrer une propriété :

???MA????MB????MC????MD???0

ABCD parallélogramme alors

???DC????AB , on a donc : 2.5

Multiplication par un réel Soit un vecteur

~uet un réelk. Le vecteurk~uest tel que : Lalongueurde~uestmultipliépar?k?:??k~u?? ? ?k????~u??

Sik?0 même direction et même sens que~u

Sik?0 même direction et sens contraire à~u

Sik?0 0~u???0~

u2 ~u? 32
~uLes points A, B C, D et E sont définis sur la droite graduée ci-dessous. DEACB

On a alors les relations :

???AB? ?3???AE ,???AD?52 ???AE ,???CD? ?32 ???ABPAUL MILAN4SECTION S

2. OPÉRATIONS SUR LES VECTEURS

2.6 Propriétés de la multiplication par un réel

La multiplication d"un vecteur par un scalaire, obéit à la bilinéarité, c"est à dire :

k?~u?~v? ?k~u?k~vet?k?k??~u?k~u?k?~uRemarque :Ces deux propriétés permettent de développer des expressions vectorielles

comme des équations numériques. Elles permettent alors de résoudre des équations vec-

torielles, c"est à dire permettent à la géométrie d"avoir accès à la performance de l"algèbre.

On peut généraliser les propriétés de l"addition et de la multiplication par un réel à

d"autres ensembles que le plan vectoriel. Les ensembles munie d"une addition et d"une

multiplication par un réel, ayant les mêmes propriétés que les vecteurs géométriques,

porte le nom d"espace vectorielet ses éléments sont appelés vecteurs. Par exemple l"en- semble des fonctions affines est un espace vectoriel. Cette structure d"espace vectoriel joue un rôle très important dans les mathématiques actuelles. 2.7

Application

A et B sont deux points tels que AB = 6 cm.

Placer les points M et N définis par les relations suivantes : 2 ???AM????BM???0 et 2???NA?5???NB???0

On exprime les vecteurs

???AM et???AN à l"aide du vecteur???AB :

Pour le point M

2 ???AM????BM???0 2 ???AM?????BA????AM? ???0 3 ???AM? ????BA ???AM?13 ???ABPour le point N 2 ???NA?5???NB???0 2 ???NA?5????NA????AB? ???0 2 ???AN?5???NA?5???AB???0 ?3???NA?5???AB 3 ???AN?5???AB ???AN?53 ???ABABMN Remarque :On pourrait, tout autant, privilégier le point B et exprimer???BM et???BN à l"aide du vecteur???BA . On obtiendrait alors : BM?23 ???BA et???BN? ?23 ???BAPAUL MILAN5SECTION S

3. COLINÉARITÉ DE DEUX VECTEURS

3

Colinéarité de deux vecteurs

3.1 Définition et théorème On dit que les vecteurs ~uet~vsontcolinéairessi, et seulement si :

?k?Rtel que~v?k~uRemarque :Cela découle directement de la définition du produit d"un vecteur par un

réel, car ~uetk~uont même direction. BOn ne parle pas de parallélisme pour des vecteurs car un vecteur n"a pas de point d"application seulement une direction.Parallélisme et alignement Deux droites (AB) et (CD) sontparallèlessi, et seulement si les vecteurs???AB et???CD sont colinéaires c"est à dire que : ?AB????CD? ? ?k?Rtel que???CD?k???AB Les point A, B et C sontalignéssi, et seulement si les vecteurs???AB et???AC sont colinéaires c"est à dire que : A, B, C alignés? ?k?Rtel que???AC?k???AB3.2Applications ?ABC est un triangle et P le point défini par : 5???AB?4???PC???0

Montrer que ABPC est un trapèze.

Pour montrer que ABPC est un trapèze, il faut mon- trer que les droites (CP) et (AB) sont parallèles, c"est à dire que les vecteurs???CP et???AB sont colinéaires. 5 ???AB?4???PC???0?4???PC? ?5???AB? ?4???CP? ?5???AB????CP?54 ???AB

Les vecteurs

???CP et???AB sont colinéaires, donc les droites (CP) et (AB) sont parallèles et donc ABPC est un trapèze.A B C P ?ABC est un triangle. M et N sont les points tels que :???AC? ?2???AM et???CN?3???AB Placer les point M et N puis montrer que les points B, M et N sont alignés. On place les point M et N à l"aide des relations : ???AM? ?12 ???AC et???CN?3???AB On obtient la figure ci-après :PAUL MILAN6SECTION S

3. COLINÉARITÉ DE DEUX VECTEURS

Les points B, M et N sont alignés ssi les vec-

teurs???BM et???BN sont colinéaires.

Pour cela, on exprime ces deux vecteurs à

l"aide des vecteurs???AB et???AC . On a alors :

BM????BA????AM??

AM??12

??AC? ???BM? ????AB?12 ???AC? ?2???BM?2???AB????AC

De mêmeAB

C MN BN????BA????AC????CN??CN?3??AB????BN? ????AB????AC?3???AB????BN?2???AB????AC

On obtient alors la relation :

???BN? ?2???BM . Les vecteurs???BN et???BM sont colinéaires et donc les points M, B et N sont alignés.PAUL MILAN7SECTION S

4. REPÈRES

4

Repères

4.1

Repère quelconque

On peut définir un repère par :

Trois points A, B , C non alignés : repère?A,???AB ,???AC?. Un point origine O et deux vecteurs non colinéaire~ıet~â: repère?O,~ı,~â?. On repère un point M du plan par les relations :

AM?x???AB?y???AC ou???OM?x~ı?y~â

Le couple?x,y?s"appelle lescoordonnéesdu point M ou des vecteurs???AM ou???OM .ABCM xy 4.2

Application

Lire les coordonnées des points de A à H et les vecteurs ?2?11234 u~ v~ w~ zO ABC DE FG H A?3;?1?, B?2;2?, C?2;3?, D?0;2?, E??1;2?, F?2;0?, G??2;0?, H?3;?2? u??1;3?,~v??2;?1?,~w?3;?2?,~z?5;?2? 4.3

Repères orthogonaux et orthonormée

O,~ı,~â?est un repèreorthogonalsi~ı?~â?2?11234 ?2?1123 O~ â?O,~ı,~â?est un repèreorthonormési~ı?~â et si l"unité est la même sur les deux axes.?2?11234 ?2?1123 O~

âPAUL MILAN8SECTION S

5. GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE

5

Géométrie analytique

Le but le la géométrie analytique est de résoudre numériquement un problème de géo-

métrie. Cela suppose la notion de coordonnées et de repère. Le progrès qu"a apporté la

géométrie analytique est énorme car il a permit de faire un " pont » entre l"algèbre et la

géométrie qui jusque là était deux disciplines bien séparées. Depuis l"apparition de l"ordinateur, la géométrie analytique devient indispensable pour visualiser des figures géométriques. 5.1 Coordonnées d"un vecteur Soit deux points A?xA,yA?et B?xB,yB?dans un repère?O,~ı,~â?.

On a alors les relations suivantes :

Coordonnées du vecteur???AB :?xB?xA,yB?yA?

Les coordonnées du milieu I du segment [AB] sont :?xA?xB2 ;yA?yB2 ?Soit les points A?1 ,?5?et B?3 ,?9?. Déterminer les coordonnées du vecteur???AB et du milieu I de [AB].

AB??3?1

?9???5?? ??2 ?4? et I??1?32 ,?5?92 ? ?2 ,?7? 5.2 Opérations sur les coordonnées Soit deux vecteurs ~u?x,y?et~v?x?,y?? ~u?~vsi, et seulement six?x?ety?y?

Les coordonnées de~u?~vsont :?x?x?,y?y??

Les coordonnées dek~u, aveck?Rsont :?k x,ky?SoientABCuntriangle,IetJlesmilieuxrespectifsde[BC]et[AI].Danslerepère?A,???AB ,???AC?.

Calculer les coordonnées de I et J puis du vecteur ~utel que :~u?2??JA???JB?2??JC .

Dans?A,???AB ,???AC?: A?0,0?, B?1,0?et C?0,1?.

On obtient alors :

I?? ??1?02 0?12 ??12 12 ??J?? ??12 ?12 12 ?12 ??14 14 ??A B C?I?J u?2??JA???JB?2??JC?2? ??0?14 0?14? ??1?14 0?14? ???2? ??0?14 1?14? ???12 12? ??34 14? ???12 32?
???14 34?
??PAUL MILAN9SECTION S

5. GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE

5.3

Colinéarité de deux vecteurs

Ledéterminantde 2 vecteurs~u?x,y?et~v?x?,y??est le nombre noté det?~u,~v?tel que : det?~u,~v? ?xx ? y y ?xy??x?y?1rediagonale - 2ndediagonale?On donne ~u?3,5?et~v??2,1?: det?~u,~v? ?3?2 5 1 ?3?1???2??5?3?10?13.Deux vecteurs ~u?x,y?et~v?x?,y??sont colinéaires si, et seulement si : det?~u,~v? ?0?xy??x?y?0On donne les vecteurs ~u?10 ,?5?et~v??4 , 2?. Les vecteurs~uet~vsont-il colinéaires? det?~u,~v? ?10?4 ?5 2 ?10?2???4????5? ?20?20?0

Le déterminant est nul, donc les vecteurs

~uet~vsont colinéaires. Remarque :Les vecteurs~uet~vsont colinéaires si leurs coordonnées sont proportion- nelles. Parfois le calcul du déterminant ne s"impose pas car le rapport est immédiat. C"est le cas par exemple de : ~u?2,4?et~v?4,8?où l"on observe que~v?2~u 5.4

Applications

?On donne les points M?4 ,?1?, N?7 ,?3?, P??5 , 5?.

Les points M, N et P sont-ils alignés?

det?????MN ,???MP? ?7?4?5?4 ?3???1?5???1? ?3?9 ?2 6 ?18?18?0

Le déterminant de

????MN et???MP est nul donc les vecteurs????MN et???MP sont colinéaires et donc les points M, N et P sont alignés. ?ABC est un triangle, P est un point de (AB), Q un pointquotesdbs_dbs43.pdfusesText_43

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