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C'est quoi un vecteur en géométrie ?
un vecteur est un objet mathématique qui est caractérisé par sa direction, son sens, sa norme. Plus concrètement, on peut considérer un vecteur comme une translation. Par exemple, l'image du point A par le vecteur AB est le point B . De même l'image du point B par la translation de vecteur BC est le point C.Comment représenter un vecteur dans l'espace ?
Un vecteur dans l'espace à trois dimensions peut être écrit sous forme de composantes, ( , , ) , ou en fonction des vecteurs unitaires, ? + ? + ? .Vecteur normal
1en faisant le produit vectoriel de deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan;2à partir d'une équation cartésienne du plan. Si le plan a pour équation cartésienne ax+by+cz=d, alors un vecteur normal du plan est le vecteur de coordonnées (a,b,c).
Géométrie Vectorielle
1MRenfJean-Philippe Javet
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http://www.javmath.chTable des matières
1 Vecteurs, composantes - points, coordonnées 1
1.1 Les vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.1 La notion de vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.2 Opérations sur les vecteurs du plan ou de l"espace . . . . . . . . . . . . . . .
41.1.3 La géométrie vectorielle pour démontrer... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121.1.4 Tests de colinéarité et de coplanarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131.2 Bases et composantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
161.2.1 Dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
161.2.2 Dans l"espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
201.2.3 Tests de colinéarité et de coplanarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
221.3 Repères et coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
271.3.1 Dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
271.3.2 Dans l"espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
321.3.3 Point milieu et centre de gravité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
342 Norme et produit scalaire 37
2.1 Norme d"un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
372.2 Produit scalaire et perpendicularité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
422.3 Applications du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
502.3.1 Projections orthogonales (plan - espace) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
502.3.2 Angle de deux vecteurs (plan - espace) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
522.3.3 Calculs d"aires (plan) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
553 Produit vectoriel 57
3.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
573.2 Applications du produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
603.2.1 Produit vectoriel et calcul d"angles (espace) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
613.2.2 Calculs d"aires (espace) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
623.2.3 Test de coplanarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
643.2.4 Calculs de volumes (espace) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66Bibliographie69
I IIA Quelques éléments de solutions I
A.1 Vecteurs, composantes - points, coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I A.2 Norme et produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI II A.3 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIVIndexXVIIIMalgré le soin apporté lors de sa conception et surtout parce qu"il n"a jamais été utilisé en classe, le polycopié que
vous avez entre les mains contient certainement quelques erreurs et coquilles. Merci de participer à son amélioration
en m"envoyant un mail : javmath.ch@gmail.comMerci;-)
1Vecteurs, composantes - points, coordonnées
1.1 Les vecteurs
1.1.1 La notion de vecteurDéfinition:Unvecteurnon nul est caractérisé par la donnée de trois éléments :
unedirection, unsenset unelongueur(appelée aussinorme). Pour dessiner un vecteur, on choisit un point à partir duquel on trace une flèche qui a la direction, le sens et la longueur souhaités. de même directionde même sensde même longueur Unvecteur nulest un vecteur de longueur zéro. Sa direction et son sens ne sont pas définis. Un tel vecteur se dessine à l"aide d"un point. On note généralement les vecteurs à l"aide de minuscules surmontées d"une flèche :# - a,# - b, ...,# - u,# - v, ... Pour deux pointsAetB, on note# - ABle vecteur qui peut se dessiner à l"aide d"une flèche joignantAàB.Le vecteur nul est noté
# - 0. Pour tout pointP, on a# - PP"# - 0. 12 CHAPITRE 1. VECTEURS, COMPOSANTES - POINTS, COORDONNÉES
Définition:On noteV2l"ensemble de tous les vecteurs du plan etV3l"ensemblede tous les vecteurs de l"espace.3 critères:Citons trois critères exprimant l"égalité entre deux vecteurs :
AB"# - DCðñABCDest un parallélogramme (éventuellement dégénéré). ðñLa translation qui envoieAsurBenvoie aussiDsurC. ðñLes segmentsrACsetrBDsont le même point milieu. De cette manière, un vecteur peut être considéré comme unensemble de flèchesqui ont : a)même direction, b)même sens, c)même longueur. Généralement, on dessine un tel vecteur à l"aide d"une seuleflèche, appeléereprésentant.Exemple 1: SoitABCDun parallélogramme. Regrouper tous les représentants de chaque vecteur que l"on peut définir à l"aide des lettres de cette figure. CHAPITRE 1. VECTEURS, COMPOSANTES - POINTS, COORDONNÉES 3 Exercice 1.1:Pour chaque paire de flèches, dire si elles sont le représentant d"un même vecteur ou pas. Justifier vos réponses en termes de : "direction" "sens" et "longueur". a)b) c)d)Exercice 1.2:
Donner un représentant pour chaque vecteur pouvant se définir à l"aide des sommets de chacune des figures ci-dessous. a)ParallélogrammeABCDEFb)Pyramide à base carréeABE DC Dans la figure qui suit, donner le nombre de représentants différents que l"on peut définir à l"aide des différentes lettres. c)Hexagone régulierOAEF BD C4 CHAPITRE 1. VECTEURS, COMPOSANTES - POINTS, COORDONNÉES
1.1.2 Opérations sur les vecteurs du plan ou de l"espace
Définition:Soit# - aet# - bdeux vecteurs.
'Lasomme(addition)# - a`# - b:On choisit un pointA, et l"on note parBle point tel que# - AB"# - aet parCcelui pour lequel# - BC"# - b.
Ainsi # - a`# - b"# - AC: 'L"opposé´# - ade# - a: On choisit un pointA, on note parBle point tel que# - a"# - AB. Ainsi, le vecteur opposé, noté´# - a, sera défini par :´# - a"# - BA. 'Ladifférence(soustraction)# - a´# - b: À l"aide de ce qui précède, on définit lasoustractionpar : a´# - b"# - a` p´# - bqExercice 1.3: a)Construire la somme des trois vecteurs ci-dessous. b) Représenter trois vecteurs non nuls, n"ayant pas la même direc- tion, et dont la somme est le vecteur nul.# - a# - b# - c CHAPITRE 1. VECTEURS, COMPOSANTES - POINTS, COORDONNÉES 5 Exercice 1.4:Construire dans chacun des deux cas le vecteur demandé.# - a# - c# - b# - a# - b# -ca)le vecteur# - v"# - a`# - b`# - cb)le vecteur# - w"# - b´# - c`# - ac)le vecteur# - z"# - a´ p# - b`# - cqd)le vecteur# - xtel que# - x`# - a"# - b
6 CHAPITRE 1. VECTEURS, COMPOSANTES - POINTS, COORDONNÉES
Propriétés:
Michel Chasles
(1793 - 1880)Pour tous pointsA,BetC, on a : # - AB`# - BC"# - AC(règle de Chasles)´ # - AB"# - BA
Quels que soient les vecteurs
# - a,# - bet# - c, on a : # - a`# - b"# - b`# - a(commutativité) p # - a`# - bq `# - c"# - a` p# - b`# - cq(associativité) # - a`# - 0"# - a(# - 0est élément neutre)# - a` p´# - aq "# - 0(´# - aest l"opposé de# - a)Justification:Les deux premières égalités découlent immédiatement des définitions.
Les autres sont illustrées ci-dessous :
'commutatitivé :# - a# - b# - b# - a# - a`# - b# - b`# - a'associativité :# - a`# - b# - b`# - c# - b# - ap # - a`# - bq `# - c# - a` p# - b`# - cq# - c'élément neutre : évident. 'opposé :# - a´ # - a CHAPITRE 1. VECTEURS, COMPOSANTES - POINTS, COORDONNÉES 7 Exemple 2:SoientA,B,C,Ddes points quelconques de l"espace. Simplifier l"expression :# - AC´# - AD`# - CB´# - DBExercice 1.5: SoitA,B,C,DetEdes points quelconques du plan ou de l"es- pace. En utilisant la règle de Chasles, simplifier le plus possible les expressions suivantes : a) # - BD`# - AB`# - DCb)# - BC`# - DE`# - DC`# - AD`# - EB c)# - DA´# - DB´# - CD´# - BCd)# - EC´# - ED`# - CB´# - DBExercice 1.6:
On considère le parallélépipèdeABCD EFGHreprésenté sur la figure. Exprimer plus simplement les vecteurs suivants : a) # - a"# - AB`# - FG b)# - b"# - AG`# - CD c) # - c"# - EB`# - CA d)# - d"# - EH`# - DC`# - GA e) # - e"# - AH`# - EB f)# - f"# - AB`# - CC`# - BH`# - GFDAEH CBGF8 CHAPITRE 1. VECTEURS, COMPOSANTES - POINTS, COORDONNÉES
Définition:Soit# - aun vecteur etkun nombre réel. Le vecteurk¨# - a(que l"on peut également écrirek# - a) est défini par : a)la direction du vecteur# - a, b)le sens du vecteur# - asiką0et le sens opposé sikă0, c) une longueur égale au produit de celle du vecteur# - apar la valeur absolue dek.Propriétés: Quels que soient les vecteurs# - a,# - bet les nombres réelsk,m, on a : 'kp# - a`# - bq "k# - a`k# - b' p´1q# - a" ´# - a ' pk`mq# - a"k# - a`m# - a'kp´# - aq " p´kq# - a" ´pk# - aq 'kpm# - aq " pkmq# - a'0# - a"# - 0 '1# - a"# - a'k# - 0"# - 0Exercice 1.7: Reproduire le vecteur# - vdans votre cahier puis construire (règle et compas) les vecteurs : a"12 # - v# - v# - b" ´3# - v# - v# - c" ´35 # - v# - v# - d"?2 # - v# - v# - e"?3 # - v# - v CHAPITRE 1. VECTEURS, COMPOSANTES - POINTS, COORDONNÉES 9 Exercice 1.8:Représenter le pointPpour lequel les égalités vectorielles ci-dessous sont vérifiées : a) # - AP" ´3# - ABA Bb) # - PA"12 # - ABA B c) # - AP" ´2# - PBA Bd) # - PA" ´12 # - PBA B Exercice 1.9:Reprendre les vecteurs de l"exercice 1.4 et représenter le vecteur : v"# - a`2# - b´32# - cDéfinition:On dit que le vecteur# - aestcombinaison linéairedes vecteurs# - e1, ...,# - en, s"il existe des nombres réelsa1, ...,antels que :
a"a1# - e1`...`an# - en Les nombresa1,...,ans"appellent lescoefficientsde la combinaison linéaire.10 CHAPITRE 1. VECTEURS, COMPOSANTES - POINTS, COORDONNÉES
Exemple 3:Construire ci-dessous les vecteurs# - vet# - wdéfinis par les combinaisons linéaires suivantes : v"3# - a´32 # - bet# - w"2# - a`# - b# - b# - a Exprimer ensuite les vecteurs# - aet# - bcomme combinaisons linéaires des vecteurs# - vet# - w.Exemple 4:
Décomposer graphiquement le vecteur# - xcomme combinaison li- néaire des vecteurs# - aet# - b.# - a# - b# - x CHAPITRE 1. VECTEURS, COMPOSANTES - POINTS, COORDONNÉES 11 Exercice 1.10:Par rapport aux vecteurs de la figure ci-dessous : a)Exprimer# - cpuis# - dcomme combinaison linéaire de# - aet# - b. b)On considère le vecteur# - x" ´12 # - c´5# - d.Exprimer
# - xcomme combinaison linéaire de# - aet# - b. c)Exprimer# - apuis# - bcomme combinaison linéaire de# - cet# - d.# - d# - b# - c# - aExercice 1.11:SoitABCD EFGHun cube pour lequel on pose :# - a"# - AB,# - b"# - ADet# - c"# - AE.SoitMle milieu derFGs,Ncelui derHGsetPle centre deABCD.
Exprimer les vecteurs suivants comme combinaisons linéaires de# - a,# - bet# - c:# - EP,# - EM,# - EN,# - NM,# - PN,# - NP,# - PMExercice 1.12:SoitABCDun parallélogramme pour lequel on pose :
# - a"# - ABet# - b"# - AD. SoitMle milieu derBCsetPun point tel que# - PA" ´2# - PC. Exprimer les vecteurs# - PB,# - PMet# - DMcomme combinaisons li- néaires de# - aet# - b.Exercice 1.13: Représenter un carréOABC, puis construire les pointsE,F,GetHtels que :
# - AE"# - AC`# - BC,# - AF"12 # - AO´# - OCCG"2# - CB`12
# - BO,# - OH" ´?2 # - OB12 CHAPITRE 1. VECTEURS, COMPOSANTES - POINTS, COORDONNÉES
Exercice 1.14:Exprimer# - ven fonction de# - aet de# - bsi :3p# - a´2# - vq ´6# - b" ´7ˆ157
# - v´3# - b˙ `12# - a1.1.3 La géométrie vectorielle pour démontrer...Exemple 5:SoitABCDun quadrilatère quelconque. On désigne parMetN
les points milieux respectifs derADsetrBCs. Montrer que : MN"12 # - AC`# - DB¯Exercice 1.15: SoitABCDun parallélogramme. SoitEle milieu derBCs,Fle milieu derDCs. Montrer que :AE`# - AF"32
# - ACExercice 1.16: On donne le quadrilatèreABCD. SoitP,Q,RetSles milieux respectifs derABs,rBCs,rCDsetrDAs. a)Montrer l"égalité vectorielle# - PQ"12 # - AC"# - SR b)Que peut-on en déduire au sujet du quadrilatèrePQRS?Exercice 1.17:ABCD est un parallélogramme. Les pointsM,N,PetQsont tels que : # - AM"2# - AB# - BN"2# - BC# - CP"2# - CD# - DQ"2# - DA. Montrer que le quadrilatèreMNPQest un parallélogramme.Exercice 1.18: Montrer que si le quadrilatèreABCDadmet des diagonales qui secoupent enI, leur point milieu alorsABCDest un parallélogramme.Exercice 1.19:Soit cinq pointsO,A,B,CetDtels que :
# - OA`# - OC"# - OB`# - OD Montrer que le quadrilatèreABCDest un parallélogramme. CHAPITRE 1. VECTEURS, COMPOSANTES - POINTS, COORDONNÉES 131.1.4 Tests de colinéarité et de coplanarité
Définition:Des vecteurs du plan ou de l"espace sont ditscolinéairess"il estpossible de les représenter sur une même droite.Exemple 6:Les vecteurs listés ci-dessous sont-ils colinéaires?
a) # - aet# - b b) # - a,# - bet# - c c) # - aet# - d d)# - det# - 0# - c# - b# - a# - dCritère: Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si l"un d"entre eux peut s"écrire commele produit de l"autre par un nombre réel.Exemple 7:BMNCALD
Sur le rectangle proposé, donner un représentant de chaque vecteur colinéaire au vecteur# - AD.Exercice 1.20: Sur le parallélogramme de la figure ci-dessous, les pointsGetF divisent le segmentrHEsen trois parties égales, les pointsBetC divisentrADsen trois parties égales etMest le milieu derBCs. Donner un représentant de chaque vecteur colinéaire à# - HG.ABMCDEFGHRemarque:
Les vecteurs# - ABet# - ACsont colinéaires si et seulement si les trois pointsA,BetCsont alignés.14 CHAPITRE 1. VECTEURS, COMPOSANTES - POINTS, COORDONNÉES
Définition:Des vecteurs de l"espace sontcoplanairess"il est possible de lesreprésenter dans un même plan.Exemple 8:Les vecteurs listés ci-dessous sont-ils coplanaires?
a) # - aet# - b b) # - a,# - bet# - c c) # - a,# - bet# - d# - b# - c# - a# - dRemarque:'Deux vecteurs de l"espace sont toujours coplanaires. Trois vecteurs de l"espace, dont deux sont colinéaires, sont toujours coplanaires.Critère: Trois vecteurs de l"espace sont coplanaires si et seulement si l"un de ces trois vecteurs peut s"écrire comme combinaison linéaire des deux autres.Exemple 9: Considérons le parallélépipèdeABCDEFGHet notonsI,Jles milieux des segmentsrABsetrEHsrespectivement.Montrer que les vecteurs
# - CG,# - JIet# - FHsont coplanaires.E AF BHG CD IJ CHAPITRE 1. VECTEURS, COMPOSANTES - POINTS, COORDONNÉES 15 Exercice 1.21:On considère le parallélépipèdeABCD EFGH. Dans chacun des cas suivants, déterminer graphiquement si les trois vecteurs donnés sont coplanaires. Si tel est le cas, exprimer le premier vecteur proposé comme combinaison linéaire des deux autres. a) # - GH,# - AE,# - DGDAEHCBGFb)
# - DB,# - EG,# - ABDAEH CBGF c) # - GF,# - EB,# - CDDAEHCBGFd)
# - DF,# - EC,# - GHDAEH CBGFExercice 1.22:
On considère le prismeABCDEF GHIJKLdont les bases sont des hexagones réguliers. Dans chacun des cas suivants, déterminer graphiquement si les trois vecteurs donnés sont coplanaires. Si tel est le cas, exprimer le premier vecteur proposé comme combinaison linéaire des deux autres. a) # - AJ,# - EK,# - BCABCDE FIHGLJKb)
# - LG,# - ID,# - KBABCDE FI HGLJK16 CHAPITRE 1. VECTEURS, COMPOSANTES - POINTS, COORDONNÉES
Exercice 1.23:Même consigne que l"exercice précédent a) # - AF,# - JD,# - HIABCDE FIHGLJKb)
# - KF,# - CH,# - GDABCDE FI HGLJK1.2 Bases et composantes
1.2.1 Dans le planConsidérons, dans le plan, deux droites non parallèlesd1,d2concou-
rantes et les deux vecteurs# - e1,# - e2situés selon la figure ci-dessous.Soit encore un vecteur# - aquelconque.d
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