SUITES NUMERIQUES I) Définition dune suite II) Sens de variation
Remarque : Une suite récurrente est définie par son premier terme et la relation de récurrence un+1 = g(un) ; un n'est pas directement lié à n. Alors u1 = g(u0)
Définition dune suite récurrente à laide de la fonction ln Sommaire
Titre – Définition d'une suite récurrente à l'aide de la fonction ln. Thèmes – fonction ln théorème des valeurs intermédiaires
Définition dune suite récurrente à laide de la fonction ln 1 Travail
Définition d'une suite récurrente à l'aide de la fonction ln. Thèmes. fonction ln théorème des valeurs intermédiares
Suites numériques
08-Nov-2011 La notion de convergence a une définition mathématique que vous devez ... Une suite récurrente est définie par la donnée de u0 ? R et la ...
Notes de Cours
Définition : Une suite numérique est une fonction de N dans R définie `a partir d'un certain rang n0 ? N. La 2. un+1 = f(un) (suite récurrente) :.
Chaînes de Markov.
Une suite récurrente aléatoire sur un espace E est une suite de v.a. DÉFINITION (MATRICE DE TRANSITION) ... DÉFINITION (CHAÎNE DE MARKOV (?P)).
Suites récurrentes linéaires : terme général et idempotents
Définition 1.4. Soit u une suite dans S(K). On dit que u est une suite récurrente linéaire à coefficients constants dans K
Résumé : les suites numériques
Théorème 0.4 (Bolzano-Weirestrass) Toute suite réelle bornée admet une sous-suite convergente. Définition (Suite récurrente). Soit I un intervalle de R et f ?
Leçon 226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de
Algorithme du gradient `a pas optimal Suite récurrente : convergence lente. Définition 2 (Gourdon). On appelle suite récurrente d'ordre k une suite.
Rappels sur les suites
Une suite est dite récurrente quand le terme un+1 est donné sous la forme un+1 = Pour paraphraser cette définition ”sans ?” on veut que si n est assez ...
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1) Définition Une suite définie par récurrence est une suite définie par son premier terme et par une relation de récurrence qui définit chaque terme à
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5 Suites récurrentes Définition Monotonie de la fonction associée Points fixes d'une fonction Fonctions lipschitziennes/contractantes
[PDF] Rappels sur les suites
Une suite est dite récurrente quand le terme un+1 est donné sous la forme un+1 = f(un) dans ce cas on peut calculer tous les terme sde la suite `a partir du
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Rappel : Ces suites sont définies par leur(s) premier(s) terme(s) et une relation de récurrence qui peut être de la forme un+1 = f (un) où f désigne une
[PDF] ETUDE des SUITES RECURRENTES 1 Intervalle stable par f
On appelle suite récurrente toute suite (un)n?N telle qu'il existe une fonction réelle f : I ? R telle que : Définition - Intervalle stable par f
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Suites récurrentes 1 Position du problème Si une telle suite converge il est important d'estimer sa dans l'ensemble de définition de f et que
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Vidéo ? partie 5 Suites récurrentes Définition d'une suite On applique la définition de limite (définition 4) à la suite (vn)n? pour ?? = ?
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général d'une suite récurrente ainsi définie • En informatique une telle relation provient – des définitions inductives
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Définition On dit que l'intervalle J est stable par f si f(J) ? J Remarque Pour montrer qu'un
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I 4 Suites récurrentes Définition : Une suite numérique est une fonction de N dans R Définition : Soit (un)n une suite de nombres réels
Comment définir une suite récurrente ?
En mathématiques, une suite définie par récurrence est une suite définie par son (ou ses) premier(s) terme(s) et par une relation de récurrence, qui définit chaque terme à partir du précédent ou des précédents lorsqu'ils existent.Comment définir une suite ?
Une suite (un ) est une suite définie par récurrence si elle est définie par la donnée de son 1er terme permettant de calculer chaque terme en fonction du précédent (ou parfois des précédents) appelée relation de récurrence.Qu'est-ce qu'un intervalle stable par une fonction ?
En mathématiques, un ensemble est stable ou invariant par une application ou par diverses opérations si les images de ses éléments appartiennent toutes à ce même ensemble. En analyse réelle, la notion d'intervalle stable par une fonction permet de définir par récurrence une suite dans cet intervalle.- Si le signe de la différence est positif ou nul pour tout n, la suite est croissante. Si le signe de la différence est négatif ou nul pour tout n, la suite est décroissante. Si la différence change de signe en fonction de la valeur de n, la suite n'est pas monotone.
1) Définition
Définition : Une suite est une " succession » de nombres réels. Ces nombres réels sont les termes de la suite. Une suite (u
n) associe, à tout entier n, un nombre réel noté un et appelé le terme général de la suite. La notation u
n est la notation indicielle, n est appelé l'indice ou le rang.Remarque : Il arrive qu'une suite ne soit pas définie sur tout N; on dit alors que la suite est définie à partir du rang...
2) Deux types de suites
Définition : Lorsque le terme général est une fonction connue de l'entier n, on dit que la suite est définie explicitement par son terme général.
Remarque : On a alors une relation du type un = f(n) où un est directement lié à n. On dit aussi que la suite est une suite de
valeurs de fonction.Définition : Lorsqu'une suite est définie par son premier terme et par une relation qui permet de calculer tous les termes successifs de proche en proche, on dit que la suite est définie par récurrence.
Remarque : Une suite récurrente est définie par son premier terme et la relation de récurrence un+1 = g(un) ; un n'est pas
directement lié à n. Alors u1 = g(u0), puis u2 = g(u1) , ...
II) Sens de variation
1) Croissance, décroissance...
Définition : la suite (u
n) est : · croissante si et seulement si pour tout n, un+1 ? un ; · décroissante si et seulement si pour tout n, un+1 ; un ; · constante ou stationnaire si pour tout n, un+1 = un ; · monotone si la suite est croissante ou décroissante.
2) Méthodes pour étudier le sens de variation d'une suite
a) La suite est une suite de valeurs de fonction du type un = f(n).La connaissance du sens de variation de la fonctio associée sur [0 ; +¥[ donne, dans les cas simples, le sens de
variation de la suite.Exemple : si f est croissante sur [0 ; +¥[, il est clair que pour tout n, f(n+1) ³ f(n), c'est-à-dire 1nnuu+³ ; (un) est
croissante. b) Méthode de la différencePropriété : Si pour tout entier n, la différence 1nnuu+- est de signe constant, alors la suite (u
n) est monotone ; · différence positive : la suite est croissante ; · différence négative : la suite est décroissante.
c) Méthode du quotientPropriété : on considère une suite (un) positive, c'est-à-dire pour tout n, un > 0. Si pour tout entier n, le quotient 1n
nuu+ est : · supérieur à 1, alors la suite (un) est croissante ; · inférieur à 1, alors la suite (un) est décroissante.
Suites numériques 2/3 III) Suites arithmétiques1) Suites arithmétiques définies par récurrence
Définition : On dit qu'une suite (un) est une suite arithmétique lorsque chaque terme s'obtient en ajoutant au précédent le même nombre réel r ; on a alors pour tout entier n, 1nnuur+=+. Le nombre r est appelé raison de la suite arithmétique.
2) Définition explicite
Théorème : Soit (u
n) une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r. Le terme général un est donné explicitement, pour tout n, par la formule explicite
0nuunr=+.
Remarque : Si u1 est le premier terme, la formule devient 1(1)nuunr=+-.3) Somme de termes consécutifs
Théorème : La somme de N termes consécutifs d'une suite arithmétique est donnée par : er1 terme+dernier terme
2 NSN=. Conséquence : on peut établir les formules · 01 0 11 2n nuuSuuun- +=+++=K ;· 1
122nnuuSuuun+=+++=K.
4) Monotonie
Théorème : Soit (un) une suite arithmétique de raison r. · La suite (un) est croissante , r > 0. · La suite (un) est décroissante , r < 0. · La suite (un) est constante , r = 0.
5) Méthodes
· Pour montrer que (un) est une suite arithmétique : On passe d'un terme au suivant par l'addition d'une constante : 1nnuur+=+ ; La différence entre 2 termes consécutifs est toujours constante : 1nnuur+-=.· Pour expliciter le terme général un à partir de deux termes d'une suite arithmétique : par exemple, 125u= et
3041u= ;
on utilise la formule explicite 0nuunr=+ et on résout un système d'inconnus u0 et r.
· Pour calculer une somme : un exemple, 2125298589S=+++++K ; il s'agit de termes consécutifs d'une suite
arithmétique de raison 4, il est impératif de déterminer le nombre de termes ;1ère méthode : observons le schéma ci-dessous : 21
25293337414121
416-+= termes2125293385894121
45-= intervalles8921
4118-+= termes 2
ème méthode :
On pose : 01nSuuu=+++K où n est
l'indice du n+1ème terme (le dernier de S), puis en résolvant l'équation e donnée par la condition 89n u=, on a : 0 8 921489174
u n nn-+´=Û=Û=. on a donc 18 termes additionnés, alors 2189189902 S+==. Suites numériques 3/3 IV) Suites géométriques1) Suites géométriques définies par récurrence
Définition : On dit qu'une suite (un) est une suite géométrique lorsque chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par le même nombre réel q ; alors pour tout entier n, 1nnuqu+
=. Le nombre q est appelé raison de la suite géométrique.2) Définition explicite
Propriété : Soit (un) une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q. Le terme général un est donné explicitement, pour tout n, par la formule
0n nuuq=. Remarque : Si u1 est le premier terme, la formule devient : un = u1qn.1.3) Somme de termes consécutifs
Théorème : La somme de N termes consécutifs d'une suite géométrique est donnée par 1
1 terme1N er NqSq-4) Variation
Théorème : Soit (un) une suite géométrique de raiso non nulle et de premier terme u0. q < 0 0 < q < 1 q = 1 q > 1 u
0 > 0 (un) est décroissante. (un) est croissante. u
0 < 0 u
n et un+1 de signes contraires. (u n) est non monotone. (un) est croissante. suite constante (un) est décroissante.5) Méthodes
· Pour montrer que (un) est une suite géométrique : On passe toujours d'un terme au suivant en multipliant par une constante : 1nnuqu+ Le quotient de 2 termes consécutifs est une constante : 1n nuqu · Pour calculer une somme : un exemple, 567232422222S=+++++K ;il s'agit de termes consécutifs d'une suite géométrique de raison 2, le premier terme est 52, il est impératif de
déterminer le nombre de termes ; on a : 412319202(22222)S=+++++K ; S est la somme de 20 termes (exposant de 1 à 20), alors 20 5 5201222(21)3355440012
S-==-=-.
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