[PDF] Définition dune suite récurrente à laide de la fonction ln 1 Travail

View - Download Définition dune suite récurrente à laide de la fonction ln 1 Travail

Previous PDF

Next PDF

TS - mars 2008 - jmm conjecture sur tableur en analyse Définition d"une suite récurrente à l"aide de la fonctionln

Thèmes. fonction ln, théorème des valeurs intermédiares, suite définie par récurrence : majoration,

minoration, monotonie, convergence , existence.

Classe. TS.

Logiciels. Tableur et logiciel de calcul formel (un grapheur ou geogebra par exemple, remplacerait ici sans difficulté le logiciel de calcul formel).

1 Travail sur tableur

adésigne un nombre réel.

On définit une suiteupar :(u

0AEa u nÅ1AE2Åln(un)

Faire une feuille de tableur qui devra afficher les premiers termes de la suite. En essayant diverses

valeurs dea, on essaiera de faire des conjectures sur le comportement de la suite en fonction du terme

initialu0AEa.

On pourra, pour s"aider dans cette phase de conjecture, faire tracer un " nuage de points » (c"est à

dire une représentation graphique des premiers termes de la suite).

On se posera notamment les questions suivantes :

1. Définit -onainsi u nesu itep ourt outev aleurde a? Préciser pour quelles valeurs dea... 2. La su iteusemble-t-elle croissante pour certaines valeurs dea? décroissante pour certaines va- leurs dea? constante pour certaines valeurs dea? 3.

La s uitesemble- t-ellemajor ée,minorée ,bor néepou rcer tainesv aleursde a? Et dans ces situa-

tions, valeur d"un majorant, valeur d"un minorant? 4. La suite s emble-t-ellec onvergentep ourcer tainesv aleursde a? divergente pour certaines valeurs dea? Pour préparer le travail de démonstration relatif aux questions concernant la suiteu, on cherchera également à répondre expérimentalement à la question suivante à l"aide du logiciel Xcas : "Quel est le nombre de solutions de l"équation ln(x)Å2AEx? Donner un enca- drement des solutions.»

2 Devoir maison

1. S urp apier,ins crireles for mulesu tiliséesdan sl afeu illed et ableur. 2. S urp apier,ins crireles for mulesu tiliséesav ecXc aset les répon sesde Xcas . 3.

Décr iret outesl esc onjecturesf aites.

4. Démont rezqu el "équation2 Åln(x)AExadmet exactement deux solutions dansR(que l"on appel- lera®et¯, avec®Ç¯). 5.

P ourl av aleuraAE1 :

(a)

Q uellesson tv osc onjectures?

TS - mars 2008 - jmm conjecture sur tableur en analyse (b) Démont reztoutes c esconject ures.S oyezl eplus comp lete tle p lusp récisp ossible. 6.

P ourla v aleuraAE5 :

(a)

Q uellesson tv osc onjectures?

(b) Démont reztoutes c esconject ures.S oyezl eplus comp lete tle p lusp récisp ossible. 7. P ourquellesvaleursdeaavez-vousconjecturéquelasuiteestcroissante?Démontrezcetteconjec- ture.

3 Compétences TICE

F ormuledans u nec ellulede t ableur.

T racerl eg raphed "unefon ctiondan su ntab leur.

C omprendredans une feuil led et ableurq uel econt enud "unecellu lep eutjou eru nrôle d ep ara- mètre.

4 Compétences mathématiques

1.

D ansla p artieobser vationset c onjectures: essen tiellementsav oirfa irel elie nav ecce qu iaur aét é

vu en classe sur les suitesunÅ1AEf(u¡n) pour être capable d"affiner ses observations. On pourrait

notamment attendre des élèves qu"ils recherchent d"eux mêmes, sans l"indication donnée ici, des

renseignements sur les solutions de l"équation ln(x)Å2AEx. 2.

P ourla par tiedémonst ration: il s "agitd "undev oirmaison à donn erdans u nep artiea vancéede

l"année. Doivent être maîtrisées les notions concernant le logarithme, le théorème des valeurs

intermédiaires, la quasi totalité des notions relatives aux suites. J"ai utilisé ce dm en avril comme

dm de révisions en analyse. TS - mars 2008 - jmm conjecture sur tableur en analyse

Dm sur le logarithme - Corrigé

1.ABCDE

1a=valeur de a

2 ..2.f solve (2Åln(x)AEx,x,0.001,newton_solver)renvoie 0,158594339563, tandis que fsolve (2Åln(x)AEx,x,3,newton_solver)renvoie 3,14619322062. puis entrer les instructions graphe (2Åln(x),x);graphe(x,x)

pour obtenir les tracés des graphes des fonctionsx7¡!2Åln(x) etx7¡!x. On repère alors sur le

tracé obtenu les points d"intersection des deux courbes et une approximation des abscisses de ces points. On peut aussi demander à Xcas le tracé de la fonctionx7¡!2Åln(x)¡xpar l"instruction graphe (2Åln(x)¡x,x) et lire une approximation des abscisses des points d"intersection de la courbe obtenue avec l"axe des abscisses. 3. (a)

I lsemble qu epour des v aleursd eadans l"intervalle]¡1;®1[(où®1¼0,159), on ne définisse

pas une suite : il semble en effet exister pour ces valeurs deaun rangntel queun60, on ne peut pas alors définirunÅ1puisque la fonction ln n"est définie que sur]¡1;0]. (b) suite strictement croissante. Cette suite semble bornée (par 0,5 et 3,5 par exemple) et semble

être convergente vers¯1.

(c) ment décroissante. Cette suite semble bornée (par 3 etu0) et semble être convergente vers 1. 4.

S oitfla fonction définie sur]0;Å1[par

f(x)AE2Åln(x)¡x La fonctionfest dérivable sur]0;Å1[, avec, pour toutx2]0;Å1[: f

0(x)AE1x

¡1AE1¡xx

lim x!0ln(x)AE¡1et limx!02¡xAE2 donc lim

0fAE¡1

TS - mars 2008 - jmm conjecture sur tableur en analyse f(x)AExµ2x

Åln(x)x

Avec le théorème des croissances comparées, on a lim x!Å1ln(x)x AE0.

Donc lim

x!Å1µ 2x

Åln(x)x

AE¡1 et

lim

Å1fAE¡1x

Signe de la

dérivéef0Variation de la fonctionf01Å1

Å0¡

¡111

¡1¡1

(a) La f onctionfest continue sur]0;1], strictement croissante sur]0;1]et prend des valeurs positivesetdes valeursnégativessurcetintervalle(cftableaudevariations). Donc, d"aprèsle théorème des valeurs intermédiaires (version fonction strictement monotone), la fonctionf s"annule une et une seule fois dans l"intervalle ]0;1]. (b) A vecle smêmes ar guments,l af onctionfs"annule une et une seule fois dans l"intervalle

1;Å1[.

(c) A ppelons®l"unique zéro defdans l"intervalle]0;1]et¯l"unique zéro defdans l"intervalle

1;Å1[. Avec une machine, on constate quef(0,158)Çf(®)Çf(0,159), donc :

®2]0,158 ;0,159[De même :

¯2]3,146 ;3,147[5.aAE1(a)S uitec roissante,bor néepar 1 et 4, c onvergentev ers¯. (b) C ommenous a vonsr emarqués url afeui llet ableurq uele p rocessusne définissait p astou - jours une suite, il faudra veiller, avant d"affirmer quoi que ce soit, à s"assurer que les objets manipulés existent bien ...Il n"est pas question de manipuler ln(un) si l"on n"a pas la garantie que ln(un) existe bien, c"est à dire queunÈ0. (c) i . N otons,p ourn2N:P(n) : "unetunÅ1existent et 16unÇunÅ164». u

0AE1,u1AE2Åln(1)AE2. Donc 16u0Çu164.P(0) est vraie.

Soitn2Nun entier pour lequel 16unÇunÅ164.

CommeunetunÅ1sont strictement positifs, ces termes ont une image par la fonction TS - mars 2008 - jmm conjecture sur tableur en analyse rence) :

06ln(un)Çln(unÅ1)6ln(4)

et soit :

16unÅ1ÇunÅ262Åln(4)64

AvecaAE1, on définit bien une suite (c"est à dire : on peut calculerunà tout rangn) et cette suite est strictement croissante et bornée par 1 et 4. ii. La su iteudéfinie avecaAE1 est croissante et majorée d"après ce qui précède, elle est donc convergente vers une limite`. iii.

L alimite `vérifie

`AE2Åln(`) (continuité de la fonctionx7¡!2Åln(x) ) L"équationxAE2Åln(x) a deux solutions réelles :®et¯. Commeuest minorée par 1, on a 16`. Comme®Ç1, on en conclut que l"on a`AE¯.

6.aAE5(a)S uitedéc roissante,bor néepar 3 et 5, c onvergentev ers¯.

(b) i . N otons,p ourn2N:P(n) : "unetunÅ1existent et 36unÅ1Çun65». u

0AE5,u1AE2Åln(5). Avec une calculatrice : 3,6Ç2Åln(5)Ç3,7. Donc 36u1Çu065.

P(0) est vraie.

Soitn2Nun entier pour lequel 36unÅ1Çun65.

CommeunetunÅ1sont strictement positifs, ces termes ont une image par la fonction rence) : ln(3)6ln(unÅ1)Çln(un)6ln(5) et d"où

36unÅ2ÇunÅ165

AvecaAE5, on définit bien une suite (c"est à dire : on peut calculerunà tout rangn) et cette suite est strictement décroissante et bornée par 3 et 5. ii.

La su iteudéfinie avecaAE5 est décroissante et minorée d"après ce qui précède, elle est

donc convergente vers une limite`. iii.

L alimite `vérifie

`AE2Åln(`) (continuité de la fonctionx7¡!2Åln(x) ) L"équationxAE2Åln(x) a deux solutions réelles :®et¯. Commeuest minorée par 3, on a 36`. Comme®Ç3, on en conclut que l"on a`AE¯. TS - mars 2008 - jmm conjecture sur tableur en analyse 7.

I ls "agitd "établir:

(a) C ommençonspar t raiterd euxca snon e nvisagésdan sles conject ures. i. E nposan tu0AE®, on définit en fait une suite constante (donc croissante au sens large). En effet, on au0AE®etu1AE2Åln(®)AE®...Une récurrence simple permet alors d"établir que la suite est constante. ii. D emême ,l orsqueu0AE¯, la suite est constante. valeurs exactes (ou au moins suffisamment de décimales exactes) de®et¯pour "observer le phénomène». (b)

Notons, pourn2N:P(n) : "u06unÇunÅ1».

u

1AE2Åln(a).

Rappelons ce que l"on a obtenu sur la fonctionf(cf question 4) :x

Variation de

la fonctionf01Å1

¡111

¡1¡1®

0¯ 0 En particulier 2Åln(a)¡aÈ0 ce qui s"écrit aussiu1Èa. DoncP(0) est vraie.

Soitn2Nun entier pour lequelu06unÇunÅ1.

CommeunetunÅ1sont strictement positifs, ces termes ont une image par la fonction ln. ln(a)6ln(un)Çln(unÅ1) et d"où aÇ2Åln(a)6unÅ1ÇunÅ2

AvecaAE1, on définit bien une suite (c"est à dire : on peut calculerunà tout rangn) et cette

suite est strictement croissante. (c) E nvisageonsm aintenantle c asoù a2]¡1;®[. Sia60, on ne peut calculeru1. On ne définit donc pas une suite. On peut donc supposeraÈ0. TS - mars 2008 - jmm conjecture sur tableur en analyse Lorsqueu0AEa, on a :u1AE2Åln(a)Çapuisque la fonctionfprend des valeurs négatives sur

sur son intervalle de définition nous permettrait alors d"établir par récurrence (sur le même

modèle que les questions précédentes) que la suiteuainsi définie est une suite strictement

décroissante. La suiteuserait donc d"une part minorée par 0 (si l"on peut calculerunà tout rangn, c"est en effet qu"aucun terme n"est négatif : si l"on avaitun¡160 on ne pourrait pas calculerun) et d"autre part décroissante. Elle serait donc convergente vers une limite`. Mais cette suite décroissante de premier termeu0AEaest majorée paraet on aurait`6aÇ®. Or si la suiteuconverge, sa limite`vérifie`AE2Åln(`), c"est à dire`AE®ou`AE¯. On a une contradiction. Ainsi on ne définit jamais une suite lorsqueaest une valeur prise dans l"intervalle ]¡1;®[. (d) On établit alors par récurrence le fait que la suiteuest strictement décroissante.quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

[PDF] étude d'une suite récurrente exercices

[PDF] suite récurrente cours

[PDF] suite récurrente d'ordre 1

[PDF] formule quantité de mouvement photon

[PDF] longueur d'onde associée ? un électron

[PDF] calculer la longueur d'onde de broglie

[PDF] energie d'un electron formule

[PDF] longueur d'onde de broglie electron

[PDF] quantité de mouvement d'un electron

[PDF] longueur d'onde de de broglie exercice

[PDF] calcul surface plancher 2017

[PDF] surface de plancher cave

[PDF] cubage bois de chauffage

[PDF] comment calculer le volume d'un bois

[PDF] calcul du metre cube de bois