SUITES NUMERIQUES I) Définition dune suite II) Sens de variation
Remarque : Une suite récurrente est définie par son premier terme et la relation de récurrence un+1 = g(un) ; un n'est pas directement lié à n. Alors u1 = g(u0)
Définition dune suite récurrente à laide de la fonction ln Sommaire
Titre – Définition d'une suite récurrente à l'aide de la fonction ln. Thèmes – fonction ln théorème des valeurs intermédiaires
Définition dune suite récurrente à laide de la fonction ln 1 Travail
Définition d'une suite récurrente à l'aide de la fonction ln. Thèmes. fonction ln théorème des valeurs intermédiares
Suites numériques
08-Nov-2011 La notion de convergence a une définition mathématique que vous devez ... Une suite récurrente est définie par la donnée de u0 ? R et la ...
Notes de Cours
Définition : Une suite numérique est une fonction de N dans R définie `a partir d'un certain rang n0 ? N. La 2. un+1 = f(un) (suite récurrente) :.
Chaînes de Markov.
Une suite récurrente aléatoire sur un espace E est une suite de v.a. DÉFINITION (MATRICE DE TRANSITION) ... DÉFINITION (CHAÎNE DE MARKOV (?P)).
Suites récurrentes linéaires : terme général et idempotents
Définition 1.4. Soit u une suite dans S(K). On dit que u est une suite récurrente linéaire à coefficients constants dans K
Résumé : les suites numériques
Théorème 0.4 (Bolzano-Weirestrass) Toute suite réelle bornée admet une sous-suite convergente. Définition (Suite récurrente). Soit I un intervalle de R et f ?
Leçon 226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de
Algorithme du gradient `a pas optimal Suite récurrente : convergence lente. Définition 2 (Gourdon). On appelle suite récurrente d'ordre k une suite.
Rappels sur les suites
Une suite est dite récurrente quand le terme un+1 est donné sous la forme un+1 = Pour paraphraser cette définition ”sans ?” on veut que si n est assez ...
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1) Définition Une suite définie par récurrence est une suite définie par son premier terme et par une relation de récurrence qui définit chaque terme à
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Une suite est dite récurrente quand le terme un+1 est donné sous la forme un+1 = f(un) dans ce cas on peut calculer tous les terme sde la suite `a partir du
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Rappel : Ces suites sont définies par leur(s) premier(s) terme(s) et une relation de récurrence qui peut être de la forme un+1 = f (un) où f désigne une
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général d'une suite récurrente ainsi définie • En informatique une telle relation provient – des définitions inductives
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I 4 Suites récurrentes Définition : Une suite numérique est une fonction de N dans R Définition : Soit (un)n une suite de nombres réels
Comment définir une suite récurrente ?
En mathématiques, une suite définie par récurrence est une suite définie par son (ou ses) premier(s) terme(s) et par une relation de récurrence, qui définit chaque terme à partir du précédent ou des précédents lorsqu'ils existent.Comment définir une suite ?
Une suite (un ) est une suite définie par récurrence si elle est définie par la donnée de son 1er terme permettant de calculer chaque terme en fonction du précédent (ou parfois des précédents) appelée relation de récurrence.Qu'est-ce qu'un intervalle stable par une fonction ?
En mathématiques, un ensemble est stable ou invariant par une application ou par diverses opérations si les images de ses éléments appartiennent toutes à ce même ensemble. En analyse réelle, la notion d'intervalle stable par une fonction permet de définir par récurrence une suite dans cet intervalle.- Si le signe de la différence est positif ou nul pour tout n, la suite est croissante. Si le signe de la différence est négatif ou nul pour tout n, la suite est décroissante. Si la différence change de signe en fonction de la valeur de n, la suite n'est pas monotone.
Universit´e MONTPELLIER 3UFR 4
Notes de Cours
Math´ematiques
M1 MRHDS
2011-2012
Laurent Piccinini
version du 5 octobre 2011.M1 MRHDS1
Table des mati`eres
I Les suites num´eriques2
I.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 2
1.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 2
1.2 Monotonie d"une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 3
1.3 Le raisonnement par r´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 3
1.4 Repr´esentation graphique d"une suite d´efinie par r´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . 4
I.2 Comportement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 5
2.1 Suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 5
2.2 Suites divergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 6
2.3 Op´erations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 6
I.3 Etude de la nature d"une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 7
3.1 Suites g´eom´etriques, Suites arithm´etiques . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 7
3.2 Th´eor`emes de comparaison et d"encadrement . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 8
3.3 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 9
3.4 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 9
I.4 Suites r´ecurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 11
4.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 11
4.2 Notion de point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 11
I.5 Equations r´ecurrentes affines `a coefficients r´eels constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5.1 Ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15
5.2 Cas particulier : suites arithm´etico-g´eom´etriques . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 17
L. Piccinini http ://www.univ-montp3.fr/miap/ens/ Universit´e Montpellier 3M1 MRHDS2
Chapitre I
Les suites num´eriques
I.1 G´en´eralit´es
1.1 D´efinitions
D´efinition: Une suite num´erique est une fonction deNdansR, d´efinie `a partir d"un certain rangn0?N. La
notation (un)nd´esigne la suite en tant qu"objet math´ematique etund´esigne l"image1de l"entiern, appel´e
terme d"indicende la suite (un)n.Exemple
: Consid´erons, avec les notations usuelles des fonctions,f(x) = 2x2-1. Alors, on peut d´efinir la
suite (un)n?N, en posantun=f(n) pour toutn?N. Les premiers termes de la suite sont alors :u0=-1, u1= 2-1 = 1,u2= 8-1 = 7,u3= 18-1 = 17, ...
Exemple
: Une suite peut ˆetre d´efinie par r´ecurrence lorsqu"on connaˆıtson premier terme et une relation de la
forme :un+1=f(un) pour tout entier natureln, o`ufd´esigne une fonction. Par exemple, avecf(x) = 2x2-1
etu0= 0, on a :u1=-1,u2= 2×(-1)2-1 = 1,u3= 2×(1)2-1 = 1, ...Remarque
: Certaines suites ne sont d´efinies qu"`a partir d"un certain rang, comme par exemple :un=1n d´efinie pourn≥1 ouvn=⎷ n-3 d´efinie pourn≥3.D´efinition
: Soit?une application strictement croissante deNdans lui-mˆeme. La suite (u?(n))nest appel´ee sous-suite ou suite extraite de la suite (un)n.Exemple
: Si?(n) = 2n, alorsvn=u?(n)=u2nest leni`eme terme de la sous-suite form´ee des termes d"indice pair. Par exemple, siun=1 n(ses premiers termes sont : 1; 0,5; 1/3; 0,25; 0,2; ...) alorsvn=u?(n)=u2n a pour premiers termes :v1=u2= 0,5,v2=u4= 0,25,v3=u6= 1/6, ...1. que l"on pourrait noteru(n).
L. Piccinini http ://www.univ-montp3.fr/miap/ens/ Universit´e Montpellier 3M1 MRHDS3
1.2 Monotonie d"une suite
D´efinition: Soit (un)nune suite de nombres r´eels. On dit que :2. La suite (un)nest strictement croissante (`a partir du rangn0) lorsqueun< un+1pour tout entier
n≥n0.3. La suite (un)nest d´ecroissante (`a partir du rangn0) lorsqueun≥un+1pour tout entiern≥n0.
4. La suite (un)nest strictement d´ecroissante (`a partir du rangn0) lorsqueun> un+1pour tout entier
n≥n0.5. La suite (un)nest monotone (`a partir du rangn0) si elle est croissante ou d´ecroissante `a partir du rang
n 0.6. La suite (un)nest stationnaire s"il existe un entiern0tel queun=un+1pour tout entiern≥n0.
7. La suite (un)nest constante lorsqueun=un+1pour tout entierndu domaine de d´efinition de (un)n.
Plusieurs techniques peuvent alors ˆetre mise en oeuvre selon la suite:1.un=f(n) :
(a) on peut ´etudier la fonctionf(tableau de variations). (b) on peut ´etudier le signe deun+1-un. (c) on peut comparer un+1 unet 1.2.un+1=f(un) (suite r´ecurrente) :
(a) on peut ´etudier la fonctionf. (b) on peut faire un raisonnement par r´ecurrence.Exemples
1. Soitun=⎷
1 +n. Alorsun=f(n) avecf(x) =⎷1 +x. Pourx≥0,f?(x) =12⎷x+1>0 doncfest
(un)nest croissante.2. Soitun= 2n/(8n) pourn≥1. Alorsun+1
un=2n+12n×8n8n+8= 28n8n+8. Doncun+1un≥1?28n8n+8≥1?16n≥8n+ 8?8n≥8?n≥1. Ainsi la suite (un)n≥1est croissante.
1.3 Le raisonnement par r´ecurrence
Les math´ematiciens grecs du d´ebut de notre `ere nommaient ?nombres carr´es?la suite de nombres d´efinis pourn≥1 parun=n2. Ils repr´esentaient ces nombres `a l"aide des fi- gures ci-contre. Ces repr´esentations graphiques servaient dejus- tification de la propri´et´e : pour tout entier natureln≥1,1 + 3 + 5 +...+ (2n-1) =n2
D´emonstration par r´ecurrence
Soit une propri´et´e d´ependant d"un entier natureln. Si :1. la propri´et´e est vraie au rang 0,
2. on suppose que la propri´et´e est vraie pour un certain rangn, alors elle est vraie au rangn+ 1 (on dit
que la propri´et´e est h´er´editaire), L. Piccinini http ://www.univ-montp3.fr/miap/ens/ Universit´e Montpellier 3M1 MRHDS4
alors la propri´et´e est vraie pour tout entier natureln. Attention : les deux points sont n´ecessaires au raisonnement. Sinest un entier naturel quelconque,Pnest la propri´et´e?6 divise 7n+ 1?.Supposons cette propri´et´e vraie `a un certain rangn, c"est `a dire qu"il existep?Ntel que 7n+ 1 = 6p,
alors 7n+1+ 1 = 7×7n+ 1 = 7×(7n+ 1)-7 + 1 = 7×6p-6 = 6(7p-1), donc la propri´et´e est vraie au
rangn+ 1.Cependant, la propri´et´e n"est pas vraie pourn= 0, car 70+ 1 = 2 n"est pas un multiple de 6, pas plus que
71+ 1 = 8.
Donc la propri´et´e est fausse.
On peut d"ailleurs montrer que la propri´et´e est fausse pour toutentier natureln.Exemple
: On peut montrer par r´ecurrence que pour toutn?N?,n?k=1k=n(n+ 1)2.Exemple
: Soit (un)nla suite d´efinie par :?u0= 10 u n+1= 2⎷un+ 1, n?Nest-elle monotone?Solution
: On peut d"abord d´emontrer par r´ecurrence que, pour tout entiern,unest un r´eel strictement
positif, ce qui justifie que la suite est bien d´efinie surN:1.u0= 10>0 et la propri´et´e est vraie au rang 0.
2. Supposons la propri´et´e vraie au rangn, c"est `a direun>0. Alors⎷
un+ 1 existe etun+1= 2⎷un+ 1>2⎷
1>0. La propri´et´e est ainsi vraie au rangn+ 1.
Le calcul des premiers termes permet d"´emettre la conjecture :la suite (un)nd´ecroit.On d´emontre ce r´esultat en utilisant un raisonnement par r´ecurrence en consid`erant la propri´et´eun+1≥un:
1. Pourn= 0,u0= 10 etu1= 2⎷
l"intervalle [0;+∞[, la fonctionf:x?-→2⎷ x+ 1 est strictement croissante (f?(x)>0). Comme par propri´et´e est ainsi vraie au rangn+ 1. Conclusion : La suite (un)nest bien d´efinie et d´ecroissante.1.4 Repr´esentation graphique d"une suite d´efinie par r´ecurrence
Une suite est d´efinie par r´ecurrence lorsqu"on connaˆıt son premier terme et une relation de la forme :
un+1=f(un) pour tout entier natureln, o`ufd´esigne une fonction. Comme nous l"avons vu dans l"exemple
pr´ec´edent, il convient d"´emettre une conjecture sur le comportement de la suite avant de pouvoir effectuer la
d´emonstration. Pour cela, on peut calculer les premiers termes. Une autre approche visuelle repose sur une
repr´esentation graphique.Exemple
: Repr´esentation des premiers termes de la suite (un)nd´efinie par r´ecurrence par :?u0= 0,64
pour toutndeN,un+1= 1 + 2⎷ unSur le graphique ci-dessous, on a trac´e la droiteDd"´equationy=xet la courbeCd"´equationy=f(x) o`u
fest le fonction d´efinie sur ]0;+∞[ par :f(x) = 1 + 2⎷ x. Pour repr´esenter les premiers termes sur l"axe des abscisses, onplace : - sur l"axe des abscisses, le point d"abscisseu0; L. Piccinini http ://www.univ-montp3.fr/miap/ens/ Universit´e Montpellier 3M1 MRHDS5
- sur la courbeC, le point d"abscisseu0; son ordonn´ee estu1=f(u0); - sur la droiteD, le point d"ordonn´eeu1; son abscisse est aussiu1.Ayant obtenu sur l"axe des abscisses un point d"abscisseu1, il ne reste qu"`a it´erer la d´emarche : lecture et
report sur l"axe des abscisses deu2=f(u1), puis deu3=f(u2), etc...La lecture graphique donne des valeurs approch´ees desun, et elle permet d"´emettre des conjectures concernant
le comportement global et asymptotique de la suite. Elle semble croissante.I.2 Comportement asymptotique
2.1 Suites convergentes
D´efinition:
1. On dit qu"une suite converge (ou admet une limite finie) lorsqu"il existe un r´eel?tel que tout intervalle
Icentr´e en?contient tous les termes de la suite `a partir d"un certain rang. On note alors :?= limun.
2. Une suite non convergente est appel´ee suite divergente.
Exemple
: Pourun=1n, la suite (un)nconverge vers 0. Propri´et´e 1: Si (un)nconverge alors sa limite est unique.Propri´et´e 2: Toute sous-suite d"une suite convergente est convergente vers la mˆeme limite.
Cons´equence
: Si il existe deux sous-suites qui ne convergent pas vers la mˆemelimite, la suite ne converge pas.Exemple
: Posonsun= (-1)n. Alors la sous-suite d´efinie paru2n= (-1)2n= 1 converge vers 1 et la sous-suite d´efinie paru2n+1= (-1)2n+1=-1 converge vers-1. Donc (un)nn"est pas convergente.D´efinition
: Soit (un)nune suite de nombres r´eels. On dit que : n≥n0. L. Piccinini http ://www.univ-montp3.fr/miap/ens/ Universit´e Montpellier 3M1 MRHDS6
n≥n0.3. La suite (un)nest born´ee (`a partir du rangn0) si elle est minor´ee et major´ee (`a partir du rangn0).
Propri´et´e 3: Si (un)nconverge alors (un)nest born´ee.2.2 Suites divergentes
D´efinition: Une suite est divergente si elle ne converge pas.D´efinition
: (suite divergente vers l"∞) On dit qu"une suite diverge vers +∞(resp-∞) si, quel que soit le
nombreA, tous les termes de la suite sont sup´erieurs (resp. inf´erieurs) `aA`a partir d"un certain rang. On
note alors : limun= +∞(resp. limun=-∞).Exemple
: Pourun=n+ 5, la suite (un)ndiverge vers +∞.Pourun=-⎷
n, la suite (un)ndiverge vers-∞.2.3 Op´erations sur les limites
Soient (un)net (vn)ndeux suites qui admettent pour limiteuetv(uetv´etant r´eels) ou±∞, donc ´etant
soit convergente, soit divergente vers l"∞. Dans les tableaux suivants les? signalent les cas ind´etermin´es pour
lesquels une ´etude sp´ecifique permet de lever l"ind´etermination (`a l"aide, le plus souvent, des d´eveloppements
limit´es, de r´esultats sur les croissances compar´ees des fonctions ou de quantit´e conjugu´ee).
Somme :lim(un+vn)
v+∞-∞ uu+v+∞-∞Produit :lim(unvn)
-∞v <00v >0+∞ u <0+∞uv0uv-∞0?000?
u >0-∞uv0uv+∞ L. Piccinini http ://www.univ-montp3.fr/miap/ens/ Universit´e Montpellier 3M1 MRHDS7
Quotient :lim(un/vn)
-∞v <00-0+v >0+∞ u <00u/v+∞-∞u/v0000??00
u >00u/v-∞+∞u/v0Exemple:an=⎷n+ 1-⎷nest une forme ind´etermin´ee "(+∞)+(-∞)". A l"aide de la quantit´e conjugu´ee⎷
n+ 1 +⎷n, on obtientan=1⎷n+1+⎷n. C"est un quotient dont le num´erateur est 1 (donc de limite 1) et
dont le d´enominateur tend vers +∞donc liman= 0.I.3 Etude de la nature d"une suite
D´eterminer la nature d"une suite, c"est d´eterminer si la suite est convergente ou divergente. Les suites
arithm´etiques et g´eom´etriques sont des suites particuli`eres, intervenant naturellement dans des applications.
3.1 Suites g´eom´etriques, Suites arithm´etiques
Propri´et´e 4: Soit (un)nune suite d´efinie par :un=qno`uq?R.1. Siq >1 alors (un)nest divergente vers +∞.
2. Siq= 1 alors (un)nest constante ´egale `a 1.
3. Si-1< q <1 alors (un)nest convergente vers 0.
Remarque
: La d´emonstration est une cons´equence directe de l"in´egalit´e de Bernoulli: Pour tout r´eelxpositif
et tout entier natureln, on a : (1 +x)n≥1 +nx.D´efinition
: On appelle suite g´eom´etrique de raisonqet de premier termeu0la suite d´efinie par la r´ecurrence
suivante :?un+1=q un, n?N u0?Rfix´e
Propri´et´e 5: Soit (un)nune suite num´erique, alors il y a ´equivalence entre les deux points suivants :
1. (un)nest une suite g´eom´etrique de raisonqet de premier termeu0
2. pour toutn?N,un=u0qn
D´emonstration
1. Si pour toutn?N,un=u0qnalors on a bien queun+1=u0qn+1=u0qnq=q un, donc (un)nest
bien une suite g´eom´etrique de raisonqet de premier termeu0.2. R´eciproquement, si (un)nest une suite g´eom´etrique de raisonqet de premier termeu0, une r´ecurrence
simple permet de conclure. L. Piccinini http ://www.univ-montp3.fr/miap/ens/ Universit´e Montpellier 3M1 MRHDS8
Propri´et´e 6: Soit (un)nune suite g´eom´etrique de raisonq?= 1 et de premier termeu0. On d´efinit la suite
(vn)ndont le terme d"indicenest la somme desnpremiers termes de (un)n:vn=n-1? i=0u ipourn≥0. Alors1. Pour toutn?N,vn=u01-qn
1-q.2. La suite (vn)nconverge versu01
1-qsi et seulement si-1< q <1.
D´emonstration
: Le terme d"indicende la suite estvn=n-1? i=0u i=n-1? i=0u0qi=u0n-1?
i=0q i. Or (1-q)× n-1? i=0q i=n-1? i=0q i-n-1? i=0q i+1=n-1? i=0q i-n? i=1q i. Les termes se simplifient alors deux `a deux saufq0etqn: n-1? i=0q i-n? i=1q i=q0-qn= 1-qn. Donc (1-q)vn=u0(1-qn). Le second point est alors une cons´equence de la premi`ere propri´et´e.D´efinition: On appelle suite arithm´etique de raisonret de premier termeu0la suite d´efinie par la r´ecurrence
suivante :?un+1=un+r, n?N u0?Rfix´e
Propri´et´e 7: Soit (un)nune suite num´erique, alors il y a ´equivalence entre les deux points suivants :
1. (un)nest une suite arithm´etique de raisonret de premier termeu0
2. pour toutn?N,un=u0+nr
3.2 Th´eor`emes de comparaison et d"encadrement
Remarque
: Mˆeme si l"in´egalit´e initiale est stricte, elle devient large `a la limite. Par exemple,un= 1-1/n <
1 + 1/n=vnmais limun= limvn= 1.
1. si (un)ndiverge vers +∞alors (vn)naussi.
2. si (vn)ndiverge vers-∞alors (un)naussi.
Exemple
:un=n2. limun= limwn
alors les trois suites ont mˆeme limite.Remarque
Exemple
On peut donc appliquer le th´eor`eme grace `a (In´egalit´e2) : la suite (2n n2+1)nconverge vers 0. On peut donc appliquer une seconde fois le th´eor`eme (In´egalit´e1) : la suite (vn)nconverge vers 0.3.3 Suites monotones
Propri´et´e 8:
1. Toute suite croissante non major´ee a pour limite +∞.
2. Toute suite d´ecroissante non minor´ee a pour limite-∞.
Propri´et´e 9:
1. Toute suite croissante major´ee est convergente.
2. toute suite d´ecroissante minor´ee est convergente.
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