SUITES NUMERIQUES I) Définition dune suite II) Sens de variation
Remarque : Une suite récurrente est définie par son premier terme et la relation de récurrence un+1 = g(un) ; un n'est pas directement lié à n. Alors u1 = g(u0)
Définition dune suite récurrente à laide de la fonction ln Sommaire
Titre – Définition d'une suite récurrente à l'aide de la fonction ln. Thèmes – fonction ln théorème des valeurs intermédiaires
Définition dune suite récurrente à laide de la fonction ln 1 Travail
Définition d'une suite récurrente à l'aide de la fonction ln. Thèmes. fonction ln théorème des valeurs intermédiares
Suites numériques
08-Nov-2011 La notion de convergence a une définition mathématique que vous devez ... Une suite récurrente est définie par la donnée de u0 ? R et la ...
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Définition : Une suite numérique est une fonction de N dans R définie `a partir d'un certain rang n0 ? N. La 2. un+1 = f(un) (suite récurrente) :.
Chaînes de Markov.
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Résumé : les suites numériques
Théorème 0.4 (Bolzano-Weirestrass) Toute suite réelle bornée admet une sous-suite convergente. Définition (Suite récurrente). Soit I un intervalle de R et f ?
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Rappel : Ces suites sont définies par leur(s) premier(s) terme(s) et une relation de récurrence qui peut être de la forme un+1 = f (un) où f désigne une
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I 4 Suites récurrentes Définition : Une suite numérique est une fonction de N dans R Définition : Soit (un)n une suite de nombres réels
Comment définir une suite récurrente ?
En mathématiques, une suite définie par récurrence est une suite définie par son (ou ses) premier(s) terme(s) et par une relation de récurrence, qui définit chaque terme à partir du précédent ou des précédents lorsqu'ils existent.Comment définir une suite ?
Une suite (un ) est une suite définie par récurrence si elle est définie par la donnée de son 1er terme permettant de calculer chaque terme en fonction du précédent (ou parfois des précédents) appelée relation de récurrence.Qu'est-ce qu'un intervalle stable par une fonction ?
En mathématiques, un ensemble est stable ou invariant par une application ou par diverses opérations si les images de ses éléments appartiennent toutes à ce même ensemble. En analyse réelle, la notion d'intervalle stable par une fonction permet de définir par récurrence une suite dans cet intervalle.- Si le signe de la différence est positif ou nul pour tout n, la suite est croissante. Si le signe de la différence est négatif ou nul pour tout n, la suite est décroissante. Si la différence change de signe en fonction de la valeur de n, la suite n'est pas monotone.
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Sommaire (liens internes au document) :
1 Thèmes abordés, classe concernée, logiciels utilisés 2
2 Fiche professeur3
2.1 Analyse mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32.2 Niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32.3 Objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32.3.1 Compétences TICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32.3.2 Compétences mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42.4 Scénario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43 Fiche élève5
3.1 Expérimentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53.2 Devoir maison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54 Compte-rendu d"expérimentation6
4.1 Partie expérimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64.2 DM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65 Un traitement de la partie expérimentale avec geogebra 7IREM DE LYON-GROUPE UPO LYON-INRPretour au sommaire
1 Thèmes abordés, classe concernée, logiciels utilisés
Titre -
Définit iond "unesuite récurr enteà l "aidede la fon ctionl n.Thèmes -
f onctionln, th éorèmedes v aleursi ntermédiaires,sui ted éfiniepar ré currence: major ation,minor a-
tion, monotonie, convergence , existence.Niveau -
C lassede ter minaleS.
Logiciels -
O na f aitici l ec hoixd "utiliseru ntableur et u nlo gicielde c alculfor mel.M aisg eogebra(par exemp le)
permettrait également de traiter la partie expérimentation.Durée -
1h en sall einf oet dev oirmaison. IREM DE LYON-GROUPE UPO LYON-INRPretour au sommaire
2 Fiche professeur
2.1 Analyse mathématique
adésignant un nombre réel, on définit une suiteupar : (u 0AEa u nÅ1AE2Åln(un) sur le comportement de la suite : monotonie, convergence, bornes, mais aussi existence.La fonctionfdéfinie sur]0;Å1[par
f(x)AE2Åln(x)¡x a pour tableau de variations :xVariation de
la fonctionf01Å1¡111
¡1¡1®
0¯ 0ce qui amènera l"élève à distinguer trois intervalles lors de l"étude expérimentale :
1.I lsemb lequ epour des v aleursde adans l"intervalle]¡1;®[(où®¼0,159), on ne définisse pas une suite.
2.croissante. Cette suite semble bornée (par 0,5 et 3,5 par exemple) et semble être convergente vers¯.
3. sante. Cette suite semble bornée (par 3 etu0) et semble être convergente vers¯. 4. L esc asaAE®,aAE¯seront peut-être envisagés également par les élèves.Le devoir à rendre consiste à faire l"étude classique de la suite ainsi définie. Dans l"énoncé proposé, aucune
induire des tentatives de traitement du problème.2.2 Niveau
Class e: T S.
P ourla partiedémon stration:ils "agitd"undevoirm aisonàdonnerdansunepartieav ancéedel "année.Doi vent
être maîtrisées les notions concernant le logarithme, le théorème des valeurs intermédiaires, la quasi totalité
des notions relatives aux suites, les démonstrations par récurrence. J"ai utilisé ce dm en avril comme dm de
révisions en analyse.2.3 Objectifs
2.3.1 Compétences TICE
F ormuleda nsune cellu lede tab leur.
T racerle gr aphed "unefonc tiond ansun t ableur.
C omprendred ansune f euillede t ableurqu ele c ontenud "unec ellulepeut jo ueru nrô lede pa ramètre.
U tiliserun g rapheur(ou u nlogiciel d ec alculfor mel)pour est imerle nomb rede sol utionsd "uneéq uationet
un encadrement de ces solutions.IREM DE LYON-GROUPE UPO LYON-INRPretour au sommaire2.3.2 Compétences mathématiques
1.D ansla par tieobser vationset c onjectures: essent iellementsav oirf airele lie na vecc equ iaur aété v uen
classe sur les suitesunÅ1AEf(un) pour être capable d"affiner ses observations. On pourrait notamment at-
tendre des élèves qu"ils recherchent d"eux mêmes, sans l"indication donnée ici, des renseignements sur les
solutions de l"équation ln(x)Å2AEx. 2.Révisi onssur les n otionsd "analyse:
²Démonstration par récurrence.
²Fonction ln.
²Résultats sur les suites.
²Théorème des valeurs intermédiaires.
2.4 Scénario
T ravaild "expérimentations urmac hine: u neheur e.S uivid "undev oirà l amaison de démon strationet rédac tion.IREM DE LYON-GROUPE UPO LYON-INRPretour au sommaire
3 Fiche élève
3.1 Expérimentation
adésigne un nombre réel.On définit une suiteupar :(u
0AEa u nÅ1AE2Åln(un)Faire une feuille de tableur qui devra afficher les premiers termes de la suite. En essayant diverses valeurs de
a, on essaiera de faire des conjectures sur le comportement de la suite en fonction du terme initialu0AEa.
On pourra, pour s"aider dans cette phase de conjecture, faire tracer un " nuage de points » (c"est à dire une
représentation graphique des premiers termes de la suite).On se posera notamment les questions suivantes :
1. Dé finit-ona insiu nes uitep ourtoute v aleurde a? Préciser pour quelles valeurs dea... 2.L asu iteusemble-t-elle croissante pour certaines valeurs dea? décroissante pour certaines valeurs dea?
constante pour certaines valeurs dea? 3.L asu itesem ble-t-ellemajorée ,minorée ,bor néepou rcer tainesv aleursde a? Et dans ces situations, valeur
d"un majorant, valeur d"un minorant? 4.L asu itesemb le-t-ellecon vergentep ourcer tainesv aleursde a? divergente pour certaines valeurs dea?
Pour préparer le travail de démonstration relatif aux questions concernant la suiteu, oncherchera également à répondre expérimentalement à la question suivante à l"aide du
logiciel Xcas : "Quel est le nombre de solutions de l"équation ln(x)Å2AEx? Donner un encadrement des solutions.»3.2 Devoir maison
1. S urpap ier,insc rirel esf ormulesutili séesd ansla f euillede t ableur. 2. S urpap ier,insc rirel esf ormulesutili séesa vecXca set les ré ponsesd eX cas. 3.Dé criret outesles con jecturesf aites.
4.Dé montrezqu el "équation2 Åln(x)AExadmet exactement deux solutions dansR(que l"on appellera®et¯,
avec®Ç¯). 5.P ourl av aleuraAE1 :
(a)Q uellessont v oscon jectures?
(b) D émontreztou tesces c onjectures.S oyezle plu sc ompletet l ep lusprécis p ossible. 6.P ourl av aleuraAE5 :
(a)Q uellessont v oscon jectures?
(b) D émontreztou tesces c onjectures.S oyezle plu sc ompletet l ep lusprécis p ossible. 7.L "étudeexpérimentaledelasuitevousaamenéàconjecturerpourquellesvaleursdealasuiteestcroissante.
Démontrer ces conjectures.IREM DE LYON-GROUPE UPO LYON-INRPretour au sommaire4 Compte-rendu d"expérimentation
4.1 Partie expérimentale
Le TP a été traité avec une classe de terminale ayant déjà bien manipulé le tableur. La construction de la suite
et les conjectures n"ont pas posé de problème particulier.Les élèves ont par contre ont eu beaucoup de mal à comprendre l"utilité de la question sur le nombre de
solutions de l"équation ln(x)Å2AExet n"avaient donc certainement pas associé leur construction aux situations
vues en classe (quelques mois auparavant) sur les suitesunÅ1AEf(un).Par ailleurs, le choix fait de les guider vers un logiciel de calcul formel (qui ne donne pas ici de solutions exactes)
ne les a pas aidé à comprendre qu"ils se trouvaient face à une situation où le théorème des valeurs intermédiaires
devait intervenir. Certains ont au contraire chercher vainement dans l"aide du logiciel quelles commandes pour-
raient leur donner des valeurs exactes des solutions.4.2 DM
1.S ile pr oblèmed "existencep ourla sui tea bien été c onstatéet con jecturélors de l "étapeexp érimentale,il a
été complètement oublié lors des démonstrations. d"existence. Par exemple, juste après la question 4 : 4.2 i. É tablirque l "ondéfinit bien une su itel orsqueaest un réel de l"intervalle [®;Å1[. ii. É tablirqu el "onne définit p asune su itelo rsqueaest un réel de l"intervalle ]¡1;®[.Cela permettrait par ailleurs de simplifier la réponse à donner aux questions suivantes puisque le problème
d"existence est déjà traité. 2. En d"autres termes, ils traduisent la question par : et non par : pour les autres cas.IREM DE LYON-GROUPE UPO LYON-INRPretour au sommaire5 Un traitement de la partie expérimentale avec geogebra
Construction d"une feuille geogebra.
1.O ndéfin itu nefon ctiongparg(x)AE2Åln(x).
2. O ndéfin itle p aramètreaà l"aide d"un curseur. 3.O ndéfin itu npar amètren(nombre de termes de la suite qui seront calculés) avec un curseur.
4. O ncalcule a lorsles npremiers termes de la suite : 5. P uisles point sde la r eprésentationgr aphique(1 ·i·n) :Les valeurs de®et¯apparaissent naturellement en traçant la courbe deget celle de la droite D d"équation
yAEx.On peut enchaîner sur la construction classique des points à l"aide de la droite D, construction qui met bien
en évidence la valeur de la limite : 1.O ndéfin itle spoint s( ui;ui) de la droite D :IREM DE LYON-GROUPE UPO LYON-INRPretour au sommaire
2.P uisles point s( ui;uiÅ1) :
3.P uisles segmen tsv erticaux:
4.E ten finl esseg mentshor izontaux:
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