SUITES NUMERIQUES I) Définition dune suite II) Sens de variation
Remarque : Une suite récurrente est définie par son premier terme et la relation de récurrence un+1 = g(un) ; un n'est pas directement lié à n. Alors u1 = g(u0)
Définition dune suite récurrente à laide de la fonction ln Sommaire
Titre – Définition d'une suite récurrente à l'aide de la fonction ln. Thèmes – fonction ln théorème des valeurs intermédiaires
Définition dune suite récurrente à laide de la fonction ln 1 Travail
Définition d'une suite récurrente à l'aide de la fonction ln. Thèmes. fonction ln théorème des valeurs intermédiares
Suites numériques
08-Nov-2011 La notion de convergence a une définition mathématique que vous devez ... Une suite récurrente est définie par la donnée de u0 ? R et la ...
Notes de Cours
Définition : Une suite numérique est une fonction de N dans R définie `a partir d'un certain rang n0 ? N. La 2. un+1 = f(un) (suite récurrente) :.
Chaînes de Markov.
Une suite récurrente aléatoire sur un espace E est une suite de v.a. DÉFINITION (MATRICE DE TRANSITION) ... DÉFINITION (CHAÎNE DE MARKOV (?P)).
Suites récurrentes linéaires : terme général et idempotents
Définition 1.4. Soit u une suite dans S(K). On dit que u est une suite récurrente linéaire à coefficients constants dans K
Résumé : les suites numériques
Théorème 0.4 (Bolzano-Weirestrass) Toute suite réelle bornée admet une sous-suite convergente. Définition (Suite récurrente). Soit I un intervalle de R et f ?
Leçon 226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de
Algorithme du gradient `a pas optimal Suite récurrente : convergence lente. Définition 2 (Gourdon). On appelle suite récurrente d'ordre k une suite.
Rappels sur les suites
Une suite est dite récurrente quand le terme un+1 est donné sous la forme un+1 = Pour paraphraser cette définition ”sans ?” on veut que si n est assez ...
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1) Définition Une suite définie par récurrence est une suite définie par son premier terme et par une relation de récurrence qui définit chaque terme à
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5 Suites récurrentes Définition Monotonie de la fonction associée Points fixes d'une fonction Fonctions lipschitziennes/contractantes
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Une suite est dite récurrente quand le terme un+1 est donné sous la forme un+1 = f(un) dans ce cas on peut calculer tous les terme sde la suite `a partir du
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Rappel : Ces suites sont définies par leur(s) premier(s) terme(s) et une relation de récurrence qui peut être de la forme un+1 = f (un) où f désigne une
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On appelle suite récurrente toute suite (un)n?N telle qu'il existe une fonction réelle f : I ? R telle que : Définition - Intervalle stable par f
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Suites récurrentes 1 Position du problème Si une telle suite converge il est important d'estimer sa dans l'ensemble de définition de f et que
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général d'une suite récurrente ainsi définie • En informatique une telle relation provient – des définitions inductives
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Définition On dit que l'intervalle J est stable par f si f(J) ? J Remarque Pour montrer qu'un
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I 4 Suites récurrentes Définition : Une suite numérique est une fonction de N dans R Définition : Soit (un)n une suite de nombres réels
Comment définir une suite récurrente ?
En mathématiques, une suite définie par récurrence est une suite définie par son (ou ses) premier(s) terme(s) et par une relation de récurrence, qui définit chaque terme à partir du précédent ou des précédents lorsqu'ils existent.Comment définir une suite ?
Une suite (un ) est une suite définie par récurrence si elle est définie par la donnée de son 1er terme permettant de calculer chaque terme en fonction du précédent (ou parfois des précédents) appelée relation de récurrence.Qu'est-ce qu'un intervalle stable par une fonction ?
En mathématiques, un ensemble est stable ou invariant par une application ou par diverses opérations si les images de ses éléments appartiennent toutes à ce même ensemble. En analyse réelle, la notion d'intervalle stable par une fonction permet de définir par récurrence une suite dans cet intervalle.- Si le signe de la différence est positif ou nul pour tout n, la suite est croissante. Si le signe de la différence est négatif ou nul pour tout n, la suite est décroissante. Si la différence change de signe en fonction de la valeur de n, la suite n'est pas monotone.
![Chaînes de Markov. Chaînes de Markov.](https://pdfprof.com/Listes/17/24811-17Markov2.pdf.pdf.jpg)
CHAÎNES DEMARKOV.
Alexandre Popier
ENSAI, Bruz
apopier@univ-lemans.fr http://www.univ-lemans.fr/apopierJanvier-Mars 2011
A. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 1 / 51PLAN1INTRODUCTION2DÉFINITIONS3CLASSIFICATION DES ÉTATS4CAS PARTICULIER:ESPACE D"ÉTATSEFINI5CHAÎNES DEMARKOV IRRÉDUCTIBLES RÉCURRENTES6CHAÎNES IRRÉDUCTIBLES RÉCURRENTES POSITIVES ET
APÉRIODIQUES7CHAÎNES SIMPLEMENT IRRÉDUCTIBLESA. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 2 / 51
SUITES RÉCURRENTES ALÉATOIRES.DÉFINITIONUnesuite récurrente aléatoire sur un espace E est une suite de v .a.
(Xn)n2Nà valeurs dans E définie sur un espace de probabilité( ;F;P) solution d"une équation récurrente de la forme : X n+1=f(n+1;Xn) où11;2;:::sont des v.a. i.i.d. à valeurs dans;2f: E!E est une application mesurable;3X
0(la condition initiale) est une v.a. (éventuellement déterministe)
indépendante de la suite(i)i2N.A. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 3 / 51BATTRE LES CARTES.
I E: ensemble des permutations (d"un jeu de 52 cartes), de cardinal 52!; I : un sous-ensemble deE; I X0=e: identité (les cartes sont ordonnées),Xn+1=n+1Xn.HYPOTHÈSES:est mélangeant, i.e. engendreE;la loi desicharge tous les éléments de.THÉORÈMELa suite(Xn)estrécurrente , satisfait uneloi des g randsnombres :
lim n!+11n n X k=11 Xk=x=152!:A. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 4 / 51BATTRE LES CARTES:COMBIEN DE FOIS?THÉORÈMELa suite(Xn)estrécurrente , satisfait uneloi des g randsnombres :
lim n!+11n n X k=11Xk=x=152!:I
On a une asymptote de type exponentiel (condition de Doeblin) : 12 X x2EP(Xn=x)152!
Cn;avec <1:
IDiaconis a montré qu"il suffit de battre le jeu 7 fois!A. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 5 / 51
MARCHES ALÉATOIRES SURZd.
I e1;:::;ed: base canonique deRd; I E=Zd; I =fe1;:::;ed;e1;:::;edg;ide loi uniforme sur; IX0=0,Xn+1=Xn+n+1:marche aléatoire symétr iquesur Zd.THÉORÈME(POLYA, 1921)Pourd=1 ou 2, la marche aléatoire(Xn)estrécurrente :
P(9n>0;Xn=0) =1:
Pourd3, elle esttr ansiente: P(9n>0;Xn=0)<1.CONSTANTE DEPOLYAC"estp(d) =P(T0<+1),T0étant le temps de retour à 0. Alors
p(1) =p(2) =1,p(3)0;34,p(4)0;19,p(10)0;06.A. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 6 / 51
MARCHE ALÉATOIRE EN DIMENSION1.A. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 7 / 51 MARCHE ALÉATOIRE EN DIMENSION2.A. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 8 / 51CONVOLUTION DEBERNOULLI.
I a>0; I E=R; I =f1;1g;ide loi uniforme sur; I X0=0,Xn+1=aXn+n+1.Poura=1, marche aléatoire surZ.Poura>1,P(limn!+1Xn2 f1;+1g) =1.Pour 0XnanX0=an11+:::+n. IYn=1+a2+:::+an1nconverge versY12h
11a;11ai
.PROPOSITION(Xn)converge en loi vers Y1:limn!+1E(Xn) =E(Y1).A. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 9 / 51
a=0;25. Comportement p.s. deXnetYn:A. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 10 / 51 a=0;25. Comportement en loi deX100etY100:A. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 10 / 51 a=0;7. Comportement p.s. deXnetYn:A. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 11 / 51 a=0;7. Comportement en loi deX100etY100:A. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 11 / 51CONVOLUTION DEBERNOULLI:LOI DE LA LIMITE.
I Fa(t) =a(] 1;t]) =P(Y1t).PROPOSITIONPour tout I= [;]R,limn!+11n n1X k=01Xk2I=Fa()Fa().PROPRIÉTÉS DEFaF
aest l"unique solution continue de8t2R;G(t) =12
Gt1a +Gt+1a:Sia<1=2,aest continue singulière (1935).Sia=1=2,aest la loi uniforme sur[2;2](1935).Pour presque touta>1=2,aest à densité (1995).A. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 12 / 51
SIMULATIONS DE FRACTALES.
I E=Rd; I =f1;:::;kg;ide loi uniforme sur; IX0=0,Xn+1=A(n+1)Xn+B(n+1).
IA(1);:::;A(k)matrices,B(1);:::;B(k)vecteurs.THÉORÈMELes conclusions de la convolution de Bernoulli restent les mêmes :
convergence en loi de(Xn), théorème de convergence presque sûre des moyennes de Césaro.SPIRALEd=k=2;A(1) =0;8390;3030;383 0;924
,A(2) =0;1610;1360;1380;182
;B(1) =0;232 0;080 ,B(2) =0;921 0;178 A. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 13 / 51 FRACTAL EN SPIRALE.A. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 14 / 51PLAN1INTRODUCTION2DÉFINITIONS3CLASSIFICATION DES ÉTATS4CAS PARTICULIER:ESPACE D"ÉTATSEFINI5CHAÎNES DEMARKOV IRRÉDUCTIBLES RÉCURRENTES6CHAÎNES IRRÉDUCTIBLES RÉCURRENTES POSITIVES ET
APÉRIODIQUES7CHAÎNES SIMPLEMENT IRRÉDUCTIBLESA. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 15 / 51
MATRICES DE TRANSITION.DÉFINITION(ESPACE D"ÉTATS,MESURE)DANS TOUT LE COURS, E est un espacedénombr able. Un élément
x2E est unétat . Unemesure = (x;x2E)est un vecteur ligne de nombres réels positifs ou nuls. SiX x2E x=1, la mesure est une probabilité ou distr ibution.DÉFINITION(MATRICE DE TRANSITION)Unematr icede tr ansitionP sur E est une application de E E dans
[0;1]telle que8x2E;X
y2EP(x;y) =1:On dit aussi que la matrice est
stochastique A. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 16 / 51CHAÎNE DEMARKOVDÉFINITION(CHAÎNE DEMARKOV)Une suite de v.a.(Xn)n2Nà valeurs dans E est appeléechaîne de
Markov
si pour tout n 2Nla loi conditionnelle de Xn+1sachant X0;:::;Xnest égale à sa loi conditionnelle sachant Xn, i.e. pour tout
y0;:::;yn+1dans E :
P(Xn+1=yn+1jX0=y0;:::;Xn=yn) =P(Xn+1=yn+1jXn=yn):IPn(x;y) =P(Xn+1=yjXn=x):DÉFINITIONSi P
n(x;y) =P(Xn+1=yjXn=x)ne dépend pas de n, on parle de chaîne de Markov homogène . Dans ce cas, la matrice P obtenue est stochastique. A. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 17 / 51DÉFINITION"ÉQUIVALENTE»DÉFINITION(CHAÎNE DEMARKOV(;P))Unechaîne de Mar kov, dedistr ibutioninitiale etmatr icede tr ansition
P, à valeurs dans E est une suite de v.a.(Xn)n2Ndéfinies sur ;F;P), telle que :1X0a pour loi,2et pour n0, conditionnellement à Xn=x, la loi de Xn+1est
donnée par(P(x;y);y2E)et est indépendante de X0;:::;Xn1.TRADUCTION MATHÉMATIQUEPour toutn0 et touty0;:::;yn+1dansE:1P(X0=y0) =0;2P(Xn+1=yn+1jX0=y0;:::;Xn=yn) =P(yn;yn+1).A. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 18 / 51
EXEMPLE IMPORTANTPROPOSITIONSoit
(n)n2Nune suite de v.a. i.i.d. à valeurs dans,X0une v.a. à valeurs dans E, indépendante de la suite(n)n2N,f: E!E une fonction mesurable.
Alors la suite(Xn)n2Nde v.a. à valeurs dans E et définie par la relation de récurrence :8n2N;Xn+1=f(n+1;Xn)
est une chaîne de Markov homogène.CONSÉQUENCES:tous les suites vues dans la partie 1 sont des
chaînes de Markov. A. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 19 / 51ÉQUATION DECHAPMAN-KOLMOGOROVTHÉORÈMESoit(Xn)une chaîne de Markov surEde matrice de transitionP, de
distribution initiale. AlorsP(X0=y0;:::;Xn=yn) =(y0)P(y0;y1):::P(yn1;yn):1SiXna pour loin, alors :n+1=nP=Pn+1.2Pour tout(x;y)2E2,P(Xn=yjX0=x) =Pn(x;y).3Pour toute fonctionh:E!Rbornée,
E(h(Xn)jX0=x) =Pnh(x):REMARQUELes fonctions h:E!Rsont représentées par des vecteurs colonnes.A. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 20 / 51
MESURE INVARIANTE,RÉVERSIBLEDÉFINITION(MESURE INVARIANTE)Une mesuresur E est ditein variantesi et seulement si c"est un point
fixe de l"équation Chapman-Kolmogorov, i.e.=P.DÉFINITION(MESURE RÉVERSIBLE)Une mesuresur E est diterév ersiblesi et seulement si
8(x;y)2E2; (x)P(x;y) =(y)P(y;x):PROPOSITIONUne mesure réversible est invariante.
A. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 21 / 51 CHAÎNE RETOURNÉE.LEMMESi(Xn)n2Nest une chaîne de Markov, alors pour tout N2N,XN=n^XNn=XNn;0nNo
est une chaîne de Markov, appelée chaîne retour néeà par tirde
l"instant N.PROPOSITIONSoit(Xn)n2Nchaîne de Markov(;P)avecprobabilité réversible. Alors la chaîne retournée^XN=f^XNn;0nNgest une chaîne de Markov(;P).A. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 22 / 51 PROPRIÉTÉ DEMARKOV.DÉFINITIONLeprocessus décalé X n+= (Xn+;k)k2Nest défini par8k0;Xn+;k=Xn+k:THÉORÈMESoit(Xn)une chaîne de Markov surEde matrice de transitionP, de
distribution initiale. Alors conditionnellement àXn=x, le processus X n+est une chaîne de Markov de matrice de transitionP, de distribution initialexet est indépendant des v.a.X0;:::;Xn.I Phénomène sans mémoire!A. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 23 / 51PROPRIÉTÉ DEMARKOV FORTE.
Pourn0,Fn: tribu des événements déterminés parX0;X1;:::;Xn F n=n f!2 ; (X0(!);:::;Xn(!))2Bng;Bn2 P(En+1)o :DÉFINITION(TEMPS D"ARRÊT)Une v.a.à valeurs dansN[ f+1gest appelée untemps d"arrêt sipour tout n2N,f=ng 2 Fn.PROPRIÉTÉ DEMARKOV FORTESoit(Xn)une chaîne de Markov(;P)etun temps d"arrêt. Alors
conditionnellement enf <+1g \ fX=xg, le processus(X+n)n2N est une chaîne de Markov(x;P)indépendante deF: pour toutA2 F,m>0,x1;:::;xmdansE:
P(A\ fX+1=x1;:::;X+m=xmgjX=x; <1)
=P(AjX=x; <1)Px(X1=x1;:::;Xm=xm):A. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 24 / 51NOTATIONS POUR LA SUITE DU COURS.
IE: espace fini ou dénombrable;
IP: matrice de transition;
IPloi sachant queX0suit la loi;
IE: espérance sousP;
IPxloi sachant queX0=x, i.e.=x
IEx: espérance sousPx;
I (E): ensemble des probabilités surE.LEMME(E) =(2RE; (x)0;X
x2E(x) =1) A. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 25 / 51PLAN1INTRODUCTION2DÉFINITIONS3CLASSIFICATION DES ÉTATS4CAS PARTICULIER:ESPACE D"ÉTATSEFINI5CHAÎNES DEMARKOV IRRÉDUCTIBLES RÉCURRENTES6CHAÎNES IRRÉDUCTIBLES RÉCURRENTES POSITIVES ET
APÉRIODIQUES7CHAÎNES SIMPLEMENT IRRÉDUCTIBLESA. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 26 / 51
ÉTATS RÉCURRENTS ET TRANSITOIRES.
TEMPS DE RETOUR:Tx=inffn1;Xn=xg.DÉFINITIONL"état x2E estrécurrent si Px(Tx<+1) =1, et esttr ansitoiresi
P x(Tx<+1)<1.NOMBRE DE RETOURS:Nx=X n11 Xn=x.PROPOSITION1Si x est récurrent,Px(Nx= +1) =1.2Si x est transitoire, P x(Nx=k) = (1x)kx;pour k0; avecx=Px(Tx<+1).A. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 27 / 51ÉTATS RÉCURRENTS ET TRANSITOIRES.
NOMBRE DE RETOURS:Nx=X
n11 Xn=x.PROPOSITION1Si x est récurrent,Px(Nx= +1) =1.2Si x est transitoire, P x(Nx=k) = (1x)kx;pour k0; avecx=Px(Tx<+1).COROLLAIREL"état x2E est récurrent si et seulement si +1X n=0(Pn)(x;x) = +1:A. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 27 / 51CLASSE D"ÉQUIVALENCE.DÉFINITIONL"état y2E estaccessib leà par tirde x 2E (notéx !y)s"il
existe n2Ntel quePx(Xn=y)>0.Les états x et ycomm uniquent(noté x $y)si x !y et y!x.CLASSES D"ÉQUIVALENCE:$est une relation d"équivalence qui crée
une partition deEen classes d"équivalence modulo$.THÉORÈMESoitCEune classe d"équivalence modulo$. Alors tous les états
deCsont soit récurrents, soit transitoires.A. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 28 / 51
CLASSES FERMÉES.DÉFINITIONUne classe CE est ditef erméesi pour tous x et y dans E :x2C et x!y)y2C:PROPOSITIONLa restriction de la chaîne de Markov à une classe fermée C est une
chaîne de Markov d"espace d"états C.SiC=fx0gest fermée, on dit quex0est unétat absorbant .THÉORÈMEToute classe récurrente est fermée.
Toute classe fermée et finie est récurrente. A. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 29 / 51 IRRÉDUCTIBILITÉ.DÉFINITIONUne chaîne de Markov(;P)est I irréductible si E est constitué d"une seule classe d"équiv alence; I irréductible récurrente si elle est irréductib leet si tous les états sont récurrents. I irréductible transiente si elle est irréductib leet si tous les étatssont transitoires.PROPOSITIONUne chaîne de Markov irréductible sur un espace Efiniest irréductible
récurrente. A. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 30 / 51IRRÉDUCTIBILITÉ.DÉFINITIONUne chaîne de Markov(;P)estirréductib lesi, pour tout couple
(x;y)2E2, il existeun entier k=k(x;y)et une suite finie x=x0;x1;:::;xk1;xk=y tels que P(xi;xi+1)>0pour i=0;:::;k1.C"est-à-dire :P(Xk=yjX0=x) =Pk(x;y)>0:THÉORÈMESi(Xn)n2Nest irréductible,1les fonctionsP-invariantes (i.e.Pf=f) sont les fonctions
constantes.2Padmet au plus une probabilité invariante. De plus(x)>0 pour toutx2E.A. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 31 / 51 CLASSIFICATION.1x6!x:xtransitoire.2Les étatsxt.q.x!xpeuvent être classés en classes d"équivalence irréductibles par la relation$: I classes irréductibles non fermées : transitoires;Iclasses irréductibles fermées : récurrentes ou transitoires.3À partir d"un état récurrent,
I la chaîne restreinte à la classe d"équivalence de cet état est irréductible.IChaque état de cette classe est visité une infinité de fois.4À partir d"un état transitoire,
I soit la chaîne finit par atteindre une des classes récurrentes; Isoit elle part à l"infini après être passée un nombre fini de fois par les états de la classe transitoire. A. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 32 / 51PLAN1INTRODUCTION2DÉFINITIONS3CLASSIFICATION DES ÉTATS4CAS PARTICULIER:ESPACE D"ÉTATSEFINI5CHAÎNES DEMARKOV IRRÉDUCTIBLES RÉCURRENTES6CHAÎNES IRRÉDUCTIBLES RÉCURRENTES POSITIVES ET
APÉRIODIQUES7CHAÎNES SIMPLEMENT IRRÉDUCTIBLESA. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 33 / 51
EXISTENCE D"UNE MESURE INVARIANTE.
DANS CE PARAGRAPHE,
I E: espace fini de cardinald, donc en bijection avecf1;:::;dg; IP: matrice de transition de tailledd;
I(E): ensemble des probabilités surE.THÉORÈMEL"ensemble des probabilités invariantes pourPest un sous-ensemble
non vide, compact et convexe de(E).REMARQUEPas d"unicitéen génér al! A. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 34 / 51THÉORÈME ERGODIQUE.THÉORÈMESupposons(Xn)n2Nirréductible de probabilité invariante. Alors1presque sûrement
lim n!+11n n1X k=01Xk=x=(x):2Pour toutx2E,
(x) =1E x(Tx)>0;avecTx=inffk1;Xk=xginstant de premier retour enx.COROLLAIRESi la chaîne est irréductible, alors elle visite infiniment souvent tous les
points de l"espace d"états E. A. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 35 / 51CHAÎNE FORTEMENT IRRÉDUCTIBLE.PROPOSITIONSupposons la chaîne irréductible de probabilité invariante. Alors pour
toute probabilitésur E, lim n!+1n1X k=0Pk=;ou encorelimn!+1n1X k=0P (Xk=x) =(x):DÉFINITIONUne chaîne de Markov(;P)estf ortementirréductib les"il e xisteun entier k tel que8(x;y)2E2;Pk(x;y)>0:A. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 36 / 51
CHAÎNE FORTEMENT IRRÉDUCTIBLE.THÉORÈMESupposons(Xn)n2Nfortement irréductible de probabilité invariante.
Soitkl"entier de la définition précédente et =(P) =X y2E infx2EPk(x;y) >0:Alors pour toute probabilitésurEet toutn2N,
supAEjP(Xn2A)(A)j (1)[n=k];
avec[a]la partie entière dea. Ainsi limn!+1Pn=.A. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 36 / 51
APÉRIODICITÉ(1).DÉFINITIONSoit x2E et R(x) =fn2N;Pn(x;x)>0g. Lapér iodep (x)de x estle plus grand commun diviseur de R(x).PROPOSITIONSupposons la chaîne irréductible. Alors tous les points de E ont la
même période.DÉFINITIONCette période commune est lapér iodede la chaîne ;chaîne qui est
apériodiquesi cette pér iodev aut1. COROLLAIRESupposons P irréductible. S"il existe x2E tel que P(x;x)>0, alors P
est apériodique. A. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 37 / 51 APÉRIODICITÉ(2).DÉFINITIONUn état estapér iodiques"il e xisteun entier N tel que P n(x;x)>0pourtout nN.THÉORÈME1Si une chaîne est irréductible et apériodique, tous les états sont
apériodiques. Et alors la chaîne est fortement irréductible.2Réciproquement une chaîne fortement irréductible est irréductible
et apériodique. A. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 38 / 51PLAN1INTRODUCTION2DÉFINITIONS3CLASSIFICATION DES ÉTATS4CAS PARTICULIER:ESPACE D"ÉTATSEFINI5CHAÎNES DEMARKOV IRRÉDUCTIBLES RÉCURRENTES6CHAÎNES IRRÉDUCTIBLES RÉCURRENTES POSITIVES ET
APÉRIODIQUES7CHAÎNES SIMPLEMENT IRRÉDUCTIBLESA. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 39 / 51
MESURES INVARIANTES.ATTENTION:A partir d"ici,En"est plus supposé fini.DÉFINITIONUne mesureeststr ictementpositiv esi (x)>0pour tout x2E.THÉORÈMESoit(Xn)n2Nune chaîne de Markov de matrice de transitionP,
irréductible récurrente. Alors il existe une mesurestrictement positive invariante, unique à constante multiplicative près. A. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 40 / 51PARMI LES ÉTATS RÉCURRENTS...xrécurrent siPx(Tx<+1) =1.m(x) =Ex(Tx).DÉFINITIONUn état x estrécurrent positif si m (x)<+1, etrécurrent n ulsinon. THÉORÈMESupposons la chaîne irréductible.
IUn étatxest récurrent positif,
I si et seulement si tous les états sont récurrents positifs, I si et seulement s"il existe une unique probabilité invariante.Dans ce cas elle est donnée par= ((x) =1=m(x);x2E).A. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 41 / 51
DICHOTOMIE.
Pour une chaîne
irréductib leet récurrente I soit elle est récurrente positiv e s"il e xisteune probabilité in variante, I soit elle est récurrente n ulle si toute mesure in varianteest de masse totale infinie, i.e.X x2E x= +1. CONSÉQUENCE:siEest fini, il n"existe pas d"état récurrent nul, toutétat récurrent est récurrent positif.COROLLAIRESoit(Xn)n2Nune chaîne de Markov irréductible, récurrente positive.
Pour x2E, Tx=inffn1;Xn=xg. Alors pour tout y2E,
E y(Tx)<+1:A. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 42 / 51THÉORÈME ERGODIQUE.
GÉNÉRALISATIONde la loi des grands nombres :THÉORÈMESoit(Xn)n2Nune chaîne irréductible et récurrente positive. Si
f:E!Rest une fonction bornée, alors P lim n!+11n n1X k=0f(Xk) =X x2E(x)f(x)! =1:= ((x);x2E)est l"unique probabilité invariante.A. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 43 / 51
THÉORÈME CENTRAL LIMITE.THÉORÈMESoient(Xn)n2Nchaîne irréductible de matrice de transitionP,l"unique probablité invariante,f:E!Ravecf=X
x2E xfx=0.Alors il existef0 tel que la suite1pn
n1X k=0f(Xk)converge en loi vers fZ, avecZ N(0;1).A. Popier (ENSAI)Chaînes de Markov.Janvier-Mars 2011 44 / 51THÉORÈME CENTRAL LIMITE.
CALCUL DEf:pouri2E,
(Qf)x=+1X n=0Equotesdbs_dbs28.pdfusesText_34[PDF] suite récurrente cours
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