[PDF] Généralités sur les fonctions (chapitre F1)

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Généralités sur les fonctions (chapitre F1)

DÉFINITION :Fonction

SoitDunensemblede nombresréels. DéfinirunefonctionfsurDrevientà associer, àchaque réelxdeD, un réelet un seul, appeléimagedex. VOCABULAIRE:Dest l"ensemble de définition def.Dpeut être l"ensemble des nombres

réels, notéR, (c"est l"ensemble de tous les nombres que vous connaissez), ou être constitué

d"une ou plusieurs parties deR.

NOTATIONS:

Soita? D. L"imagedu nombreapar la fonctionfestuniqueet se notef(a). f(a)se lit "fdea». La notation suivante se rencontre égalementf:a?→f(a). Sibest l"image dea, on a l"égalitéf(a) =betaest unantécédentdebpar la fonctionf.

Exemple

Reprenons l"activité d"introduction du cours.

Dans la partie A :

la réponse donnée dans la question 1 est l"ensemble de définition de la fonction étudiée,

la réponse donnée à la question 2 est l"image de 0 par cette fonction, les réponses données à la question 3 sont les antécédents de 40 par cette fonction. Dans la partie A, la fonction a été définie à l"aide d"uneCourbe. DÉFINITION :Représentation graphique d"une fonction Soitfune fonction etDson ensemble de définition. Lareprésentation graphiquedefdans un repère(O;I;J)est l"ensemble des pointsM(x;f(x))oùxdécrit l"ensembleD. Méthode : lire graphiquement l"image d"un nombre. Voici la courbe représentative d"une fonctionfdéfinie sur[-2;4]. Lecture de l"image de 3 parf. +1+3 +-1+ 1+ 3 0 xA0,8

On repère 3 sur l"axe des abscisses, puis on

trace en pointillésla "verticale" qui passe par 3.

Celle-ci coupe la courbe en un pointA, on lit

l"ordonnée de ce point en traçant "l"horizon- tale" qui passe parA, on obtient l"image de

3 parf.

Icil"image de3parfvautenviron0,8, ceque

l"on notef(3)≈0,8. Méthode : lire graphiquement des antécédents.

On garde la même fonction. On cherche, s"ils existent, les antécédents de 3, de 1 et de-1 parf.

+1+3 +-1+ 1+ 3 0 0,8 -1,5 -1,9 3,5

On repère le nombre souhaité sur l"axe des

ordonnées, puis on trace en pointillés la "l"horizontale" qui passe par celui-ci.

Si celle-ci coupe la courbe, les abscisses des

points d"intersection sont les antécédents de ce nombre.

Ici 3 a un antécédent parfqui vaut environ

-1,9.

1 a deux antécédents parf,-1,5 et 3,5.

-1 n"a pas d"antécédent parf. 1

DÉFINITION :Expression d"une fonction

Soitfune fonction,Dson ensemble de définition etx? D. L"expression algébriqued"une fonction donne directementf(x)en fonction de la variablex.

Exemple

Une fonction est déterminée par le programme de calcul suivant : •choisir un nombre; •lui ôter 6; •prendre le carré du résultat. On notegla fonction qui à un nombrex, lui associe le résultat du programme de calcul. Après avoir choisi un nombrex, le programme lui ôte 6, on obtient doncx-6. Ensuite le programme élève ce nombre au carré soit :(x-6)2. Donc la fonction liée à ce programme de calcul est définie par :g(x) = (x-6)2. Méthode : Déterminer l"image d"un nombre par le calcul Considérons la fonction de l"exemple ci-dessus, qui est définie surR. Pour calculer l"image de 5 parg, on remplacexpar 5 dans la formule, on obtient doncg(5) = (5-6)2= (-1)2=1. L"image de 5 pargest donc égale à 1. Méthode : Déterminer les éventuels antécédents d"un nombrepar le calcul

Considérons toujours la même fonctiong.

Déterminons les antécédents de 16 parg.

On cherche donc s"il existe des réelsxtels queg(x) =16, c"est-à-dire tels que(x-6)2=16. Or, les seuls nombres dont le carré vaut 16 sont 4 et -4. Il faut donc quex-6=4 ou quex-6=-4, ce qui donnex=10 oux=2. Les antécédents de 16 pargsont donc 10 et 2.

Déterminons les antécédents de 0 parg.

On cherche donc s"il existe des réelsxtels queg(x) =0, c"est-à-dire tels que(x-6)2=0. Or, le seuls nombre dont le carré vaut est 0.

Il faut donc quex-6=0, ce qui donnex=6.

0 a donc un seul antécédent parg, qui est égal à 6.

Déterminons les antécédents de -1 parg.

On cherche donc s"il existe des réelsxtels queg(x) =-1, c"est-à-dire tels que(x-6)2=-1. Or, un carré est toujours positif ou nul, donc-1 n"a pas d"antécédent parg. 2

DÉFINITION :Fonctions de référence

Unefonction de référenceest une fonction simple qui permet l"étude d"une famille plus large de fonctions. Unefonction affineest une fonction qui àxassociemx+p(avecmetpréels). Elle est définie surR. Lafonction carréeest la fonction qui àxassociex2.

Elle est définie surR.

Lafonction inverseest la fonction qui àxassocie1x. Elle est définie surR?(cette notation signifie : l"ensemble des nombres réels privé de 0). Représentation graphique des fonctions de référence.

Fonction affine

Sim>0 Sim<0 Sim=0

1 +10 1 +10 1 +10 La représentation graphique d"une fonction affine est unedroite.

Fonction carrée

-4+-2+ 2+ 4 +2+ 4+ 6+ 8 0 La représentation graphique de la fonction carrée est uneparabole.

Fonction inverse

-4+-2+ 2+ 4 +-2 -4 -6+ 2+ 4+ 6 0++++ La représentation graphique de la fonction inverse est unehyperbole. 3quotesdbs_dbs43.pdfusesText_43

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