[PDF] SUITES RÉELLES Table des mati`eres 1. Généralités 1 2

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SUITES R

EELLES

Table des mati

eres

1. Generalites1

2. Convergence3

3. Suites qui tendent vers l'inni 4

4. Proprietes des limites 5

5. Quelques criteres de convergence 6

On appellesuite reelleune applicationude l'ensemble des entiers naturelsNdans l'ensemble des nombres reelsR.

On note souventunla valeur deuen l'entiern.

Concretement une suite reelle est une collection de nombres reels indexes par les entiers naturels.

On ecrira

u= (u0;u1;u2;:::) = (un)n>0:

Par exemple la suite

u=nn+ 1 n>0= (0;12 ;23 ;34 ;45 est appeleesuite de terme generalnn+ 1.

1.Generalites

On donne quelques denitions elementaires concernant les suites reelles. On dit qu'une suite (un)n>0estcroissantesi pour tout entiern>0 on aun+1>un. La suite (un)n>0est croissante si et seulement si pour tous entiers naturelsnetpon a n>p=)un>up: On dit qu'une suite (un)n>0estdecroissantesi pour tout entiern>0 on aun+16un. La suite (un)n>0est decroissante si et seulement si pour tous entiers naturelsnetpon a n>p=)un6up: On dit qu'une suite (un)n>0eststrictement croissantesi pour tout entiern>0 on aun+1> u n. La suite (un)n>0est strictement croissante si et seulement si pour tous entiers naturelsnetp on a n > p=)un> up: On dit qu'une suite (un)n>0eststrictement decroissantesi pour tout entiern>0 on a u n+1< un. 1

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La suite (un)n>0est strictement decroissante si et seulement si pour tous entiers naturelsnetp on a n > p=)un< up: On dit qu'une suite estmonotonesi elle est croissante ou decroissante. On dit qu'une suite (un)n>0estmajorees'il existe un reelMtel queun6Mpour toutn>0.

On dit alors queMest unmajorantde la suite.

On dit qu'une suite (un)n>0estminorees'il existe un reelmtel queun>mpour toutn>0.

On dit alors quemest unminorantde la suite.

On dit qu'une suite estborneesi elle est a la fois majoree et minoree. Exercice 1.Donnez une suite qui n'est ni croissante ni decroissante. Donnez une suite qui est a la fois croissante et decroissante. Donnez une suite qui n'est ni majoree ni minoree. Soit (un)n>0la suite de terme generalun= (1)n. On verie queu1=1< u0= 1 donc la suite n'est pas croissante. De plusu2= 1> u1=1 donc la suite n'est pas decroissante. Soit (vn)n>0la suite de terme generalvn= 1. C'est une suite constante. Donc pour tout entier n>0 on avn+1=vndoncvn+1>vnetvn+16vn. La suite est croissante et decroissante.

Soitw= (wn)n>0la suite de terme generalwn= (1)nn.

SoitMun nombre reel quelconque. Soitaun entier positif superieur ou egal aM. Par exemple on peut prendre le maximum de 1 et de l'arrondi superieur deM. Alorsw2a= (1)2a2a= 2a. Or 2a=a+a > a>M. DoncMn'est pas un majorant de la suitew. Cette suite n'a donc pas de majorant. Soitmun nombre reel quelconque. Soitaun entier positif superieur ou egal am. Par exemple on peut prendre le maximum de 1 et de l'arrondi superieur dem. Alorsw2a+1= (1)2a+1(2a+1) =

2a1. Or2a1<2a n'a donc pas de minorant. Exercice 2.Soit (un)n>0la suite denie parun=2(n+ 1)2+ 3 2 pour tout entiern>0. Cette suite est elle monotone? croissante? decroissante? On obtient l'applicationn7!2(n+ 1)2+ 3 en composant les applicationsx7!x+ 1,x7!2=x2 etx7!x+ 3. L'applicationx7!x+ 1 est croissante. L'applicationx7!2=x2est decroissante. L'applicationx7!x+ 3 est croissante. Donc l'applicationn7!unest decroissante. Elle est donc monotone. Soitn0un entier et soit (un)n>0une suite reelle. On dit que (un) estcroissante a partir du rangn0si pour toutn>n0on aun+1>un. Exercice 3.Montrer qu'une suite reelle croissante a partir d'un certain rang est minoree. Soit (un)n>0une suite reelle croissante a partir du rangn0>1. Pour toutn>n0on aun>un0. Soitmle minimum desu0,u1, ...,un01. Pour toutn < n0on aun>m. Doncun>min(m;un0) pour toutn>0. La suite (un)n>0est minoree.

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2.Convergence

Soit (un)n>0une suite reelle. On s'interesse au comportement deunquandntend vers l'inni. Soit`un nombre reel. On dit que (un)n>0convergevers`si pour tout reelstrictement positif il existe un entierN>0 tel que sin>Nalorsjun`j6. On dit alors que (un)n>0convergeet que`est lalimitede cette suite. Si (un)n>0n'a pas de limite alors on dit qu'ellediverge. Interpretation nave : la suiteuconverge vers`si l'on peut l'enfermer dans un tuyau aussi etroit que l'on veut autour de`. Exercice 4.Montrez que la suiteun= 1=(n+ 1) converge vers 0. On revient a la denition de la convergence d'une suite. Soitun reel strictement positif. SoitNun entier superieur ou egal a 1=. Sin>Nalors n+ 1>N>1=donc 061=(n+ 1)61=N6. Doncun= 1=(n+ 1) veriejunj6sin>N.

On a montre que (un)n>0tend vers 0.

Exercice 5.Soit (un)n>0une suite reelle. Soit`un nombre reel. On suppose que (un)n>0converge vers`. Soitmun nombre reel. On suppose que (un)n>0converge egalement versm. Montrez que `=m. On rappelle d'abord l'inegalite triangulaire : etant donnes deux reelsxetyon a jx+yj6jxj+jyj:

Dans le cas oux=baety=cbon a donc

jcaj6jbaj+jcbj: La distance deaacest plus petite que la distance deaabplus la distance debac. Soit maintenantun reel strictement positif. Puisque (un)n>0tend vers`il existe un entierN1 tel que sin>N1alorsjun`j6. Puisque (un)n>0tend versmil existe un entierN2tel que si n>N2alorsjunmj6. Soitnun entier plus grand queN1etN2. On a j`mj=j`un+unmj6j`unj+junmj62:

On a montre que pour tout >0

j`mj62:

Donc`mest nul.

Exercice 6.Soit (un)n>0une suite reelle convergente. Montrez que (un)n>0est bornee. Soit`la limite de (un)n>0. Il existe un entierN>1 tel que sin>Nalorsjun`j61. Donc `16un6`+ 1 sin>N. Soitmle minimum desunpour 06n < N. SoitMle maximum desunpour 06n < N. Donc m6un6M sin < N.

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Donc min(`1;m)6un6max(`+ 1;M) sin>0. La suite est bornee.

Le theoreme suivant est important.

Theoreme 1.Une suite croissante a partir d'un certain rang et majoree est convergente. Une suite decroissante a partir d'un certain rang et minoree est convergente. Exercice 7.Donnez une suite bornee qui n'est pas convergente. Pour toutn>0 on poseun= (1)n. La suite (un)n>0est majoree par 1 et minoree par1. Elle est donc bornee. Pour tout entiern>0 on posevn=u2netwn=u2n+1. La suite extraite (vn)n>0est constante egale a 1. Elle converge donc vers 1. La suite extraite (wn)n>0est constante egale a1. Elle converge donc vers1. Puisque (un)n>0admet deux suites extraites qui tendent vers des limites dierentes, elle diverge. Exercice 8.Donnez une suite croissante qui n'est pas convergente.

3.Suites qui tendent vers l'infini

Soit (un)n>0une suite reelle. On dit que (un)n>0tend vers+1si pour tout reelAil existe un entierN>0 tel que sin>Nalorsun>A. Interpretation nave : la suite tend vers l'inni si l'on peut la faire rentrer sur un plateau aussi haut que l'on veut. Soit (un)n>0une suite reelle. On dit que (un)n>0tend vers1si pour tout reelAil existe un entierN>0 tel que sin>Nalorsun6A. Exercice 9.Donnez une suite qui n'est pas majoree et qui ne tend pas vers l'inni. On poseun= (1)nn. La suite (un)n>0n'est pas majoree car pour tout entier positifMon a u

2M+2= 2M+ 2> M. Si la suite tendait vers l'inni il existerait un entierNtel que sin>N

alorsun>0. Oru2k+1est negatif pour toutk>0. Exercice 10.Montrez que si la suite (un)n>0tend vers +1alors elle diverge. Supposons que (un)n>0tend vers +1. Pour tout reelAil existe un entierN>0 tel que u N>A: Donc la suite (un)n>0n'est pas majoree. Elle n'est donc pas convergente d'apres l'exercice 6.

Le theoreme suivant est important.

Theoreme 2.Une suite croissante a partir d'un certain rang et qui n'est pas majoree tend vers l'inni. Une suite decroissante a partir d'un certain rang et qui n'est pas minoree tend vers moins l'inni. On deduit des theoremes 1 et 2 qu'une suite croissante a partir d'un certain rang est convergente ou tend vers l'inni.

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4.Proprietes des limites

L'exercice suivant montre qu'une suite convergente dont les termes sont positifs ou nuls admet une limite positive ou nulle elle aussi. Exercice 11.Montrez que si (un)n>0tend vers`et siun>0 pour toutn>n0alors`>0. Supposons au contraire que` <0 et posons=`=2. Il existe un entierNtel que sin>N alorsunse trouve dans l'intervalle [`;`+] = [3`=2;`=2]: Comme`=2 est negatif on a montre queunest negatif pournassez grand. Contradiction. Attention, si tous les termes d'une suite convergente sont strictement positifs cela n'implique pas que la limite soit strictement positive. Le theoreme suivant indique comment les suites convergentes se comportent par addition ou multiplication.

Theoreme 3.On a les proprieres suivantes.

Si (un)n>0converge vers`et si (vn)n>0converge versmalors (un+vn)n>0converge vers`+m et (unvn)n>0converge vers`m. Si (un)n>0converge vers`et si (vn)n>0tend vers +1alors (un+vn)n>0tend vers +1. Si (un)n>0converge vers` >0 et si (vn)n>0tend vers +1alors (unvn)n>0tend vers +1. Si (un)n>0converge vers` <0 et si (vn)n>0tend vers +1alors (unvn)n>0tend vers1. Si (un)n>0tend vers +1et si (vn)n>0tend vers +1alors (un+vn)n>0tend vers +1et (unvn)n>0tend vers +1. Siunest non nul pour toutn>0 et si (un)n>0converge vers`et si`6= 0 alors 1=unconverge vers 1=`. Si (un)n>0converge vers`et si (vn)n>0converge versmet siun6vnpour toutn>0 alors `6m. Attention : si (un)n>0tend vers +1et si (vn)n>0tend vers1alors (unvn)n>0tend vers1 mais on ne sait rien dire sur (un+vn)n>0en general. On dit qu'on a uneforme indeterminee.

Quelques formes indeterminees a conna^tre:

lim n!+1nlogn= +1 lim n!+1lognn = 0 lim n!+1e nn = +1 lim n!+1nen= 0 Formulation nave : l'exponentielle est plus forte qu'un polyn^ome et un polyn^ome est plus fort que le logarithme. Exercice 12.SoitCl'ensemble des suites reelles convergentes. Montrez queCest unR-espace vectoriel. SoitLl'application deCdansRqui a toute suite convergente associe sa limite. Montrez queLest une application lineaire. Quelle est l'image de cette application? Quel est son noyau?

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Siu= (un)n>0etv= (vn)n>0sont deux suites reelles on denit la suite sommeu+vde terme generalun+vn. Siest un reel on denit la suite produit:ude terme generalun. Ces lois font de l'ensemble des suites reelles un espace vectoriel. NotonsScet espace. On appelleCl'ensemble des suites reelles convergentes. C'est clairement un sous-ensemble deS. Montrons que c'est un sous-espace vectoriel. Siu= (un)n>0etv= (vn)n>0sont deux suites reelles convergentes alors leur somme est convergente. Et la limite de la somme est la somme des limites. Siest un reel et siu= (un)n>0est une suite convergente alors la suite:uest convergente et sa limite est le produit depar la limite deu. DoncCest un sous-espace vectoriel deS. L'applicationL:C !Rest bien denie. Soientu= (un)n>0etv= (vn)n>0deux suites reelles convergentes. On note`la limite deuetmla limite dev. DoncL(u) =`etL(v) =m par denition deL. On vient de voir que la limite deu+v= (un+vn)n>0est`+m. Donc L(u+v) =`+m=L(u) +L(v). L'applicationLest additive. Soit maintenantun reel. La suite :uest convergente et sa limite est le produit depar la limite`deu. DoncL(:u) =`=L(u).

L'applicationLest une application lineaire.

5.Quelques criteres de convergence

On dispose de plusieurs outils pour prouver qu'une suite est convergente. Theoreme 4(Theoreme des gendarmes).Soientu= (un)n>0,v= (vn)n>0,w= (wn)n>0trois suites reelles. On suppose que pour toutn>0 on aun6vn6wn. Siuetwtendent vers un reel `, alorsvtend vers`elle aussi. Exercice 13.Soit (un)n>0la suite denie parun=sin(3n2+ 2)3n+ 1. Cette suite est elle convergente?

Si oui quelle est sa limite?

On a

13n+ 16sin(3n2+ 2)3n+ 1613n+ 1

pour toutn. On pose doncvn=13n+ 1etwn=13n+ 1. Les suites (vn)net (wn)nconvergent vers 0 toutes les deux. Donc (un)nest encadree par deux suites convergentes de m^eme limite. Le theoreme des gendarmespermet de conclure que (un)ntend vers 0 elle aussi. Exercice 14.Soit (un)n>0la suite denie parun=2n+n3 n+ 1. Cette suite est elle convergente? Si oui quelle est sa limite?

Le terme dominant au numerateur est 2

n. Le terme dominant au denominateur est 3n. On ecrit donc pourn>1 u n=2n+n3 n+ 1=2n(1 +n2n)3 n(1 + 3n)=23 n

1 +n2n1 + 3

n: Or 2 ntend vers 0 car c'est une suite geometrique de raison 1=2. De plusn2ntend vers 0 car une suite geometrique est plus forte qu'un polyn^ome. Donc 1 +n2ntend vers 1. De m^eme 1 + 3n tend vers 1. Donc le quotient (1 +n2n)=(1 + 3n) tend vers 1=1 = 1. Mais (2=3)ntend vers 0 car c'est une suite geometrique de raison 2=3. Donc le produit23 n

1 +n2n1 + 3

n

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