LES SUITES
c) la suite (un) est monotone si elle est croissante ou décroissante ; d) la suite (un) est DÉMONTRER QU'UNE SUITE EST ARITHMÉTIQUE. Une suite (un) est ...
Fiche de synthèse sur les suites Fiche de synthèse sur les suites
Sauf indication contraire les suites seront définies pour tout entier naturel n. Comment montrer qu'une suite (Un) est croissante ou décroissante ?
Comment démontrer quune suite ( )un est croissante ou
est croissante ou décroissante ? Comment montrer qu'une suite ( )un est croissante ? (Strictement croissante ?) Méthode 1. ? On montre ?n un+1. ?unÃ0.
SUITES RÉELLES Table des mati`eres 1. Généralités 1 2
On dit qu'une suite est monotone si elle est croissante ou décroissante. Montrer qu'une suite réelle croissante `a partir d'un certain rang est minorée.
SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
Méthode : Démontrer si une suite est arithmétique. Vidéo https://youtu.be/YCokWYcBBOk Si 0 < q < 1 alors la suite (un) est décroissante.
Suites : Rappels récurrence
Remarque : Pour montrer qu'une suite est géométrique on montrera que la différence un+1 Une suite (un) est décroissante si
GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES
On en déduit que (un) est décroissante. Remarque : La réciproque de la propriété énoncée plus haut est fausse. La représentation suivante montre une suite
Chapitre 4: Croissance divergence et convergence des suites - 4.1
Une suite est décroissante si chaque terme est inférieur ou égal Montrer qu'à partir d'un certain indice n0 à déterminer tous les termes de la suite ...
Suites 1 Convergence
Montrer qu'une suite d'entiers qui converge est constante à partir d'un certain rang. Montrer que un = Hn ?ln(n) est décroissante et positive.
Fiche méthode n°5 – Suites numériques un >1 . un+2=aun+1+b un
Montrer par récurrence que pour tout n?? un+1?un . Ajuster ces arguments convenablement pour montrer qu'une suite est décroissante. Pour montrer qu'une
[PDF] LES SUITES
Définition 1 1 2 Soit (un) une suite On dit que : a) la suite (un) est croissante si pour tout n ? : un ? un+1 ; b) la suite (un) est décroissante si
[PDF] SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
Méthode : Démontrer si une suite est arithmétique Vidéo https://youtu be/YCokWYcBBOk Si 0 < q < 1 alors la suite (un) est décroissante
[PDF] Chapitre 4: Croissance divergence et convergence des suites
f) Montrer que la suite (un) est décroissante g) Quelle conjecture peut-on faire en ce qui concerne la limite de la suite (un) ?
Montrer quune suite est croissante (ou décroissante) - Maths-coursfr
la suite ( u n ) \left(u_{n}\right) (un) est croissante si pour tout entier naturel n n n : u n + 1 ? u n u_{n+1} \geqslant u_{n} un+1?un · la suite (
[PDF] Fiche de synthèse sur les suites
Comment montrer qu'une suite (Un) est croissante ou décroissante ? Attention on ne peut pas se contenter de calculer quelques termes ! Rappel : Dire qu'une
[PDF] Suites 1 Convergence - Exo7 - Exercices de mathématiques
Montrer que un = Hn ?ln(n) est décroissante et positive 1 Page 2 5 Conclusion ? Indication ? Correction ?
[PDF] [PDF] Suites - Exo7 - Cours de mathématiques
Est-il vrai qu'une suite croissante est minorée? Majorée? 5 Soit x > 0 un réel Montrer que la suite xn n! n? est décroissante à partir d'un certain rang
[PDF] Chapitre 11 - Monotonie dune suite et limite
Vocabulaire : une suite croissante ou décroissante est dite monotone Traiter les exercices 5559 page 67 Indication : pour montrer qu'une suite est monotone
[PDF] Suites - Licence de mathématiques Lyon 1
Montrer que la suite est décroissante 3 Montrer que la suite est convergente et déterminer sa limite Allez à : Correction exercice 23 : Exercice 24 :
[PDF] Suites numériques
On dit que l ? C est limite d'une suite complexe (un)n?k0 si Cette contradiction montre qu'on a forcément l = l D Puisqu'une suite (un)n?k0 ne
Comment démontrer que la suite est décroissante ?
Pour déterminer le sens de variation d'une suite (un), on peut utiliser l'une des règles suivantes : a) On étudie le signe de la différence un+1 ? un. ? Si un+1 ? un est positive, alors la suite (un) est croissante. ? Si un+1 ? un est négative, alors la suite (un) est décroissante.Comment savoir si une suite arithmétique est décroissante ?
Propriété : (un) est une suite arithmétique de raison r. - Si r > 0 alors la suite (un) est croissante. - Si r < 0 alors la suite (un) est décroissante.Comment montrer qu'une suite est croissante à partir d'un certain rang ?
Démontrer que la suite (un) est croissante à partir d'un certain rang. n+1 ? u n ? 0 pour 2n ? 3? 0 donc pour n ?1,5. n+1 ? u n ? 0 . On en déduit qu'à partir du rang 2, la suite (un) est croissante.- Par exemple, un+1 est le terme de rang n + 1 (celui qui suit un) alors que un +1 est le terme de rang n augmenté de 1.
![Suites : Rappels récurrence Suites : Rappels récurrence](https://pdfprof.com/Listes/17/24945-17lectureFichiergw.doID_FICHIER1517822374428.pdf.jpg)
Suites :
Rappels, récurrence
Christophe ROSSIGNOL
Année scolaire 2019/2020Table des matières
1 Généralités sur les suites2
1.1 Modes de génération d"une suite
21.2 Suites arithmétiques
21.3 Suites géométriques
31.4 Sens de variation d"une suite
42 La démonstration par récurrence
52.1 Principe
52.2 Exemples d"utilisation
62.2.1 Égalités - Inégalités
62.2.2 Propriétés d"une suite
6 ?Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SAhttp://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
11 GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES
Activités :Activités 11et 22page 22 [TransMath]1 Généralités sur les suites
1.1 Modes de génération d"une suite
Cas 1 :A l"aide d"uneform uleexplicite
Soit (un)la suite définie par :un=-n2+n-2.
On a :u0=-02+0-2 = 2;u1=-12+1-2 =-2;u2=-22+2-2 =-4;u5=-52+5-2 =-22; etc.Soit (vn)la suite définie parvn= (-1)n.
On a :v0= (-1)0= 1;v1= (-1)1=-1;v2= (-1)2= 1et, plus généralement : tous les termes d" indice pair son tégaux à 1 (ce qui p eutse traduire par v2n= 1); tous les termes d" indice impair son tégaux à -1 (ce qu ip eutse traduire par v2n+1=-1 Remarque :La suite(un)est de la formeun=f(n), oùfest la fonction définie parf(x) =-x2+x-2.Cas 2 :Suites définiespar récurrence
Soit (un)la suite définie par :
u 0= 5 u n+1=vn+32 pour toutn≥0On a :
v1=v0+32
=5+32 = 4;v2=v1+32 =4+32 =72 ;v3=v2+32 =72 +32=134 ; etc.
Soit (vn)la suite définie par :
v 0= 2 v n+1=-vn+ 2npour toutn≥0On a :
v1=-v0+2×0 =-2+2×0 =-2;v2=-v1+2×1 =-2+2×1 = 0;v3=-v2+2×2 = 0+2×2 = 4;
etc. Remarque :On a doncun+1=g(un)oùgest la fonction définie parg(x) =x+321.2 Suites arithmétiquesDéfinition :On dit qu"une suite(un)estarithmétique si on p assed"un terme au suiv anten a joutant
toujours le même nom bre réel r. On a donc : u n+1=un+rLe réelrest alors appeléraison de la suite. Remarque :Pour montrer qu"une suite est géométrique, on montrera que la différenceun+1-unest
constante p ourtout en tiern. Dans ce cas, la constante trouvée est la raison de la suite.Exemple :Soitula suite définie parun=23
-56 n. u n+1-un=23 -56 (n+ 1)-?23 -56 n? 23-56 n-56 -23 +56
n=-56
La suite est donc arithmétique de raison-56
et de premier termeu0=23 .1. Prolifération bactérienne.2. Exode rural
21 GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES 1.3 Suites géométriques
Propriété 1 :Soit(un)unesuite arithmétique de raison r. Alors : un=u0+nrRemarque :Plus généralement, si(un)est une suite arithmétique de raisonret sinetpsont deux entiers
naturels, on a :un=up+ (n-p)r. Exemple :Soit(un)la suite arithmétique telle queu3= 5etu5= 3. On a :u5=u3+ (5-3)rd"où2r+ 5 = 3. On obtientr=-1. De plus :u0=u3-3r= 5-3×(-1) = 8.Propriété 2 :SoitSnla somme des entiers de 1 àn. S n= 1 + 2 +···+nAlors, on a :
S n=n(n+ 1)2 Propriété 3 :Somme de termes d"une suite arithmétique. Soit(un)une suite arithmétique de raisonret de premier termeu0. On noteSnla somme des(n+ 1)premiers termes de(un). On a donc : S n=u0+u1+···+unAlors, on a :
S n=(n+ 1)(u0+un)2Remarque :Plus généralement, siSest une somme de termes consécutifs d"une suite arithmétique, on a :
S=(nbre de termes)×(premier terme+dernier terme)21.3 Suites géométriquesDéfinition :On dit qu"une suite(un)estgéométrique si on passe d"un terme au suiv ante nm ultipliant
toujours par le même nom bre réel q. On a donc : u n+1=q×unLe réelqest alors appeléraison de la suite. Remarque :Pour montrer qu"une suite est géométrique, montre que le quotientun+1u
nest constant. La constante trouvée est alors la raisonq. Exemples :1.Soit ula suite définie parun= 5×3n+2. u n+1u n=5×3n+35×3n+2=3n+2×33 n+2= 3 La suite est donc géométrique de raison3et de premier termeu0= 5×32= 45. 2.Soit vla suite définie parvn=3n4
n+1 v n+1v n=3 n+14 n+23 n4 n+1=3n+14 n+2×4n+13 n=3n×3×4n+14 n+1×4×3n=34La suite est donc géométrique de raison
34et de premier termev0=304 1=14 .Propriété 1 :Soit(un)unesuite géométrique de raison q. Alors : u n=u0×qn3
1.4 Sens de variation d"une suite 1 GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES
Remarque :Plus généralement, si(un)est une suite géométrique de raisonqet sinetpsont deux entiers
naturels, on a :un=up×qn-p. Exemple :Soit(un)une suite géométrique telle queu5= 100etu7= 25.On a :u7=u5×q2d"où100q2= 25soitq2=25100
=14On a doncq=12
ouq=-12Commeu0=u5×q-5:
Si q=12
,u0= 100×?12 -5= 100×25= 3200.Si q=-12
,u0= 100×?-12-5= 100×(-2)5=-3200.Propriété 2 :La somme des puissances successives d"une nombreq, avecq?= 1, s"exprime sous la
forme :Alors, on a :1 +q+q2+···+qn=1-qn+11-qPropriété 3 :Somme de termes d"une suite géométrique.
Soit(un)une suite géométrique de raisonq(q?= 1)et de premier termeu0. On noteSnla somme des(n+ 1)premiers termes de(un). On a donc : S n=u0+u1+···+unAlors, on a :
Sn=u0×1-qn+11-qRemarque :Plus généralement, siSest une somme de termes consécutifs d"une suite géométrique, on a :
S= (premier terme)×1-(raison)nbre de termes1-raisonExercices :1, 2 page 213[TransMath]
1.4 Sens de variation d"une suiteDéfinition :-Une suite (un)estcroissan tes i,p ourtout en tiernaturel n, on aun+1≥un.
Si p ourtout n,un+1-un≥0alors(un)estcroissan te. Si la fon ctionfestcroissan tes ur[0; +∞[, alors la suite(un)estcroissan te.Si la fon ctionfestdécroissan tesur [0; +∞[, alors la suite(un)estdécroissan te.Remarque :La réciproque de cette propriété est fausse. Il suffit par exemple de considérer la suiteun=
sin(2πn).Propriété 3 :Soit(un)une suite à termesstrictemen tp ositifs.Si p ourtout non aun+1u
n>1, alors la suite(un)estcroissan te.Si p ourtout non aun+1u
n<1, alors la suite(un)estdécroissan te.Remarques : 1. On déduit de la Propriété 1 que p ouru ne suite arithmétique Si r >0, la suite eststrictemen tcroissan te3. QCM, Vrai-Faux 42 LA DÉMONSTRATION PAR RÉCURRENCE
Si r <0, la suite eststrictemen tdécroissan te
2. On déduit de la Propriété 3 que p ourun e suite géométriquequotesdbs_dbs28.pdfusesText_34[PDF] calcul de pente exercices cm2
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