[PDF] Chapitre 1 Intégrales doubles et probabilités

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Chapitre 1

Intégrales doubles et probabilités

Dès lors que l"on traite d"un couple ou d"unn-uplet de variables aléatoires, l"intégration devient un

outil incontournable. Nous allons traiter ici de quelques exemples de calcul d"intégrales multiples et nous

introduirons l"utilité de ces calculs en théorie des probabilités.

1.1 Qu"est ce qu"une intégrale double?

Soit une fonction réellefà deux variablesxety. Le graphe defest une surface qui représente les

valeursf(x;y)pour tous les couples(x;y)sur le domaine de définition de la fonction. On va considérer

que cette fontion est continue. A la rigueur, elle peut même être discontinue sur un nombre fini de points.

Soit maintenant une région quelconqueDdu plan etDson bord. On souhaite calculer le volume du

cylindre sous le graphe defet dont les bords sont délimités parD. Ce volume notéIDpeut être négatif si

le graphe defest négatif et positif sinon. Pour calculerID, on va partitionner l"espace horizontal en petits

rectangles dont les côtés ont pour longueurxety. On va également noterMi: (xi;yi)le centre (on

peut en fait prendre n"importe quel point) des rectangles d"intersection non nulle avec le domaineD. Si

les rectangles sont suffisamment petits, le volume signé sous le graphe def(l"intégraleID) est approché

comme une somme de parallélélipèdes rectangles de volumexyf(xi;yi)et on obtient b ID=X M i2Df(xi;yi)xy;

comme valeur approchée deID(Fig. 1.1).FIGURE1.1 -Le volume sous la courbe en 3D est approximé en calculant les volumes de parallélépipèdes rec-

tangles tels que celui représenté en gris. 1

En fait, l"intégrale que l"on cherche est la limite de la quantité ci-dessus quand les rectangles de-

viennent de plus en plus petits : I

D= lim(x;y)!0X

M i2Df(xi;yi)xy;

et plutôt que de garder cette expression compliquée, on préfèrera l"écriture suivante :

I D=ZZ D f(x;y)dxdy:

La somme est remplacée par les grands "s" de l"intégrale, et l"élément de surfacexypar l"élément

différentieldxdyqui rappelle le fait que l"on travaille avec une limite.

1.2 Comment les calcule-t-on?

La difficulté du calcul d"une intégrale double va essentiellement dépendre de la complexité du domaine

Dsur lequel on cherche à intégrer et de la difficulté à calculer la primitive de la fonction à intégrer.

1.2.1 Domaines rectangulaires

Ce sont les cas les plus simples, nous allons détailler la manière de procéder. Exemple 1.Considérons la fonctionf(x;y) =x+x2y+ 3définie surR2(Fig. 1.2). Soit le domaine D=f(x;y)2R2t.q.1x1;0y2gqui correspond au rectangle[1;1][0;2]sur lequel on souhaite intégrer. On veut calculer I D=ZZ D (x+x2y+ 3)dxdy=Z 2 0 Z1

1(x+x2y+ 3)dx

dy:

Le sens d"écriture indique ici que l"on va d"abord intégrer par rapport àxpuis ensuite intégrer par rapport

ày. On a :Z1

1(x+x2y+ 3)dx=12

x2+13 x3y+ 3x 1 1=23 y+ 6:

Le résultat de cette intégrale dépend deycar cette variable était dans ce cas considérée comme une

constante. L"intégrale est finalement calculée avec : Z 2 0 Z1 1 (xx2y+ 3)dx dy=Z 2 0 23
y+ 6 dy=13 y2+ 6y 2 0 =403

On peut se poser la question de l"ordre d"intégration. On aurait en effet pu poser l"intégrale de la

manière suivante : I D=ZZ D (x+x2y+ 3)dxdy=Z 1 1 Z2 0 (x+x2y+ 3)dy dx:

Cela sous-entend que l"on aurait commencé à calculer l"intégrale en fonction dey. Le résultat aurait été le

même (preuve laissée en exercice) grâce au théorème suivant dont nous admettrons l"existence :

2

Théorème 1:

Théorème de Fubini pour des domaines rectangulaires SoitD= [a;b][c;d]un domaine rectangulaire deR2etfune fonction réelle, continue, de deux variables, alorsfest intégrable surDet l"on a : I D=ZZ D f(x;y)dxdy=Z d c Zb a f(x;y)dx dy=Z b a Zd c f(x;y)dy

dx:Le choix de l"ordre d"intégration est souvent conduit par la facilité avec laquelle les intégrales s"en-

chainent. -6 -5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -2 -1.5 -1 -1 -0.5 -0.5 0 0 0.5 0.5 1 1 1.5 1.5 2 2 2.5 2.5 3 3 3.5 3.5 4 4 4.5 4.5 5 5 5.5 5.5 6 6 6.5 6.5 7 7 7.5 7.5 8 8.5 9 9.5 10 11 11.5 2.6 2.6 2.7 2.7 2.8 2.8 2.9 2.9 2.9 3 3 3.1 3.1 3.1 3.2 3.2 3.3 3.3 3.4 3.4 0.05 0.1 0.15

0.2 0.25

0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.75

0.8 FIGURE1.2 -Isolignes des fonctions des exemples 1. et 2. et domaines d"intégration.

Exemple 2.Soit la fonctiong(x;y) = exp(xy); x0;y0(Fig. 1.2). On souhaite l"intégrer sur le rectangleD= [1;2][0;3]. On a alors I D=ZZ D exydydx=Z 2 1Z 3 0 exeydydx=Z 2 1 exdxZ 3 0 eydy=e1e21e3:

On voit ici que lorsque la fonction à intégrer peut s"écrire sous la fome d"un produit de fonctions à une

variable le calcul de l"intégrale double se ramène au produit de deux intégrales simples.

1.2.2 Domaines non rectangulaires

Dans la plupart des cas, les domaines d"intégration sont des surfaces de forme variable. Nous allons

montrer comment calculer des intégrales doubles dans ce cas.

Exemple 3.

Domaine compris entr eles graphes de deux f onctionset deux dr oitesv erticales.Soit le domaine

D=(x;y)2R2t.q.1x4;(x2)24y (x3)2+ 4:

Il s"agit de calculer l"intégrale de la fonctionf(x;y) =yxsur ce domaine. En posantu(x) = (x2)24 etv(x) =(x3)2+4, on note immédiatement queu(x)v(x);1x4(le graphe deuest toujours 3 sous celui dev). On peut alors écrire : ZZ D f(x;y)dxdy=Z 4 1" Zv(x) u(x)yxdy# dx=Z 4 1 12 y2xy v(x) u(x)dx=Z 4 1

5x225x+252

dx=45

Exemple 4.Nous allons calculer la surface d"une ellipse par une intégrale double de la fonction unité sur

le domaine D= (x;y)2R2t.q.x2a 2+y2b 21

Par symétrie de l"ellipse relativement à son axe horizontal, puis à son vertical, on en déduit que la surface

totale de l"ellipse est égale à quatre fois la surface sous la courbe d"équationy=bp1x2=a2(Fig. 1.3)

pourxcompris entre0eta, soit I= 4Z a 0"

Zbp1x2=a2

0 dy# dx= 4Z a 0 br1x2a 2dx:

On voit ici que l"on a commencé à intégrer relativement àycar une des bornes de l"intégrale dépend de la

variablex. On ne pouvait pas permuter l"ordre d"intégration dans ce cas. -8 -6 -4 -2 0 2 4

FIGURE1.3 -Le volume délimité par l"ellipse et la fonctionf(x;y) = 1correspond à quatre fois la surface rouge.

La suite du calcul de cette intégrale nécessite un changement de variables. Posonsx=asinu, on a

dx=acosuduet pour les bornes : quandx!0alorsu!0et quandx!aalorsu!=2. La surface de l"ellipse se déduit du calcul suivant

I=4abZ

2

0p1sin2ucosudu= 4abZ

2

0cos2udu

=4abZ 2

01 + cos2u2

du= 2ab u+12 sin2u 2 0=ab:

Comme dans l"exemple précédent, on aurait pu calculer l"intégrale en notant que le domaine était délimité

par les fonctionsy=bp1x2=a2d"une part ety=bp1x2=a2, ce qui aurait permis d"écrire I=Z a a"

Zbp1x2=a2

bp1x2=a2dy# dx=Z a a

2br1x2a

2! dx= 2ab u+12 sin2u 2 2 =ab; 4 ce qui conduit au même résultat.

Les résultats précédents ont été obtenu grâce au théorème suivant :Théorème 2:

Soient[a;b];(a < b)un intervalle fermé borné deR,uetvdeux fonctions continues sur[a;b]telles que8x2[a;b]; u(x)v(x). SoitDle domaine deR2défini par

D=(x;y)2R2t.qaxb;u(x)yv(x)

Sif:D !Rest une fonction continue, alorsfest intégrable surDet on a Z D f(x;y)dxdy=Z b a" Zv(x) u(x)f(x;y)dy# dx:1.2.3 Quelques propriétés à retenir 1. Soit h(x;y) =f(x)g(y)une fonction de deux variables qui s"exprime comme un produit de deux fonctionsfetgà une variable. On souhaite intégrerhsur le pavé[a;b][c;d]deR2. Dans ce cas, Z d cZ b a h(x;y)dxdy=Z b a f(x)dxZ d c g(y)dy: 2. Soit fetgdeux fonctions continues à deux variables, alors ZZ D f(x;y) + g(x;y)dxdy=ZZ D f(x;y)dxdy+ ZZ D g(x;y)dxdy: 3. Soit Dun domaine fermé borné deR2. On suppose queD=D1[ D2est la réunion de deux domaines fermésD1etD2et queD1etD2ont une intersection vide. Dans ce cas, sif:D !Rest une fonction continue surD, alorsfest intégrable surDet on a ZZ D f(x;y)dxdy=ZZ D

1f(x;y)dxdy+ZZ

D

2f(x;y)dxdy

1.3 Changement de variables

Il arrive quelquefois qu"il faille changer le système de coordonnées initiales pour intégrer plus facile-

ment. C"est le cas notamment avec des domaines qui sont circulaires. Nous allons considérer le change-

ment de coordonnées cartésiennes en coordonnées polaires : =px 2+y2 = arctanyx )x=cos y=sin:

Un pointMdu plan n"est plus ici représenté par le couple de coordonnées(x;y)mais par le couple(;)

oùreprésente la distance du point considéré à l"origineOdu repère etl"angle orienté entre l"axe des

abcisses et le vecteurOM(Fig. 1.4). Que se passe t-il lorqu"on doit intégrer une fonction dans ces conditions? 5

FIGURE1.4 -Relation entre coordonnées cartésiennes et coordonnées polaires d"un pointMdu plan. Pavage du

plan en coordonnées polaires. La surface du pavet gris est approximée par.

1.3.1 Un point de vue empirique

Revenons sur la construction initiale de l"intégrale. Maintenant le domaine n"est plus partagé en petits

rectangles mais en secteurs de côtés égaux àsetoùsreprésente la longueur de l"arc qui délimite

l"élément de surface etla longueur du segment entre deux arcs successifs (Fig. 1.4). Si pour un secteur

donnéreste invariant, la longueursévolue en fonction de l"éloignement à l"origine. On va cependant

considérer que pour de petites valeurs des, la surface du secteur est presque celle d"un rectangle, égale

às. Cette surface s"exprime également en fonction deet devient. On utilise ici la relationS=R: la longueur d"arc est égale au rayonRdu cercle multipliée par l"angleparcouru (en

radian). Si on parcourt tout le cercle, on obtient son périmètre2R. En prenant un point quelconqueMide

coordonnées(xi=icosi;yi=isini)d"un secteur ayant une intersection non nulle avec le domaine, une valeur approchée de l"intégrale a maintenant pour expression : b ID=X M i2Df(icosi;isini): En prenant des secteurs de surface de plus en plus petite, on obtient : I D=ZZ D f(cos;sin)dd:

On voit que l"élément différentieldxdyest devenuddaprès changement de variable. On fera égale-

ment attention au fait que le domaineDdoit aussi s"exprimer en fonction de(;).

Exemple 5.On veut calculer l"intégrale

I D=ZZ D xydxdy; sur le domaineD=f(x;y)t. q.x0;y0;x2+y21g. Ce domaine correspond au quart de disque sur le quadrant positif. En coordonnées polaires, il est équivalent à D=n (;)2[0;+1[[0;2[t. q.1;02 o 6 et l"intégrale devient I D=ZZquotesdbs_dbs26.pdfusesText_32

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