[PDF] Chapitre Intégration numérique - simple et multiple

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Cours complet est disponible sur mon site web : http://sites.univ-biskra.dz/kenouche/Polycopi ´e de cours - Ann´ee Universitaire 2019/2020Chapitre

2Int´egration num´erique - simple et multiple

SAMIRKENOUCHE- D´EPARTEMENT DESSCIENCES DE LAMATI`ERE- UMKB M

´ETHODESNUM´ERIQUES ETPROGRAMMATION

R

´esum´e

Ce chapitre aborde les diff

´erentes m´ethodes d"int´egration num´erique permettant de calculer une approximation de l"int

´egrale d"une fonction. Nous nous bornerons aux m´ethodes d"int´egration usuelles (point milieu, trap`eze et

Simpson) utilis

´ees en sciences exp´erimentales pendant les premi`eres ann´ees du cycle universitaire. Ce cours est

destin

´e aux´etudiants (es) en deuxi`eme ann´ee des fili`eres Physique et Chimie. Par ailleurs, afin de tester et de

consolider les concepts th

´eoriques d´evelopp´es, l"´etudiant (e) est amen´e (e)`a suivre assidument les s´eances de

travaux pratiques adoss ´es`a ce module. La derni`ere section est donn´ee`a cet effet. La mise en pratique de ces m ´ethodes d"int´egration sera conduite par le biais du logiciel Matlabr.

Mots cl

´es

M

´ethode du point milieu, m´ethode du trap`eze, m´ethode de Simpson, int´egrales multiples, scripts Matlabr.

Table des mati

`eres

I Introduction21

II Int

´egrales simples22

II-AM´ethode du point milieu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

II-BM´ethode du trap`eze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

II-CM´ethode de Simpson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

III Int

´egrales multiples27

III-AInt´egrale double. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

III-BInt´egrale triple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

IV Travaux pratiques avec des fonctions Matlab pr

´ed´efinies 37

IV-ASuppl´ement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Annexe A : Int

´egrales transform´ees en une somme d"une s´erie 39

Annexe B : S

´eries de Taylor39

I.INTRODUCTIONT

r

`es souvent le calcul explicite de l"int´egrale, d"une fonctionfcontinue sur[a;b]dansR, d´efinie parI(f) =Zb

a

f(x)dxpeut se r´ev´eler tr`es laborieux et r´ebarbatif, ou tout simplement impossible`a atteindre. Par cons´equent,

on fait appel

`a des m´ethodes num´eriques afin de calculer une approximation deI(f). Pour ces m´ethodes num´eriques,

la fonctionf, est remplac´ee par une somme finie constitu´ee densous-intervalles selon : Z b a f(x)dx=(ba)n nX k=1f(xk)(1) S. Kenouche est docteur en Physique de l"Universit ´e des Sciences et Techniques de Montpellier et docteur en Chimie de l"Universit´e

A. Mira de B

´ejaia.

Site web : voir

http://www .sites.univ-biskra.dz/kenouche

Document corrig

´e, am´elior´e et actualis´e le 19.09.2019. Cours complet est disponible sur mon site web : http://sites.univ-biskra.dz/kenouche/Polycopi ´e de cours - Ann´ee Universitaire 2019/2020@ SAMIR KENOUCHE22

Selon ce type d"

´evaluation, on calcule forc´ement une approximation (passage d"une int´egrale`a une somme) de

la vraie valeur. La m ´ethode d"int´egration mise en oeuvre est dite d"ordrepsi l"erreur d"int´egration :

Err(f) =

Z b a f(x)dx(ba)n nX k=1f(xk) (2)

est nulle quandfest un polynˆome de degr´e inf´erieur ou´egal`apet non nulle pour au moins un polynˆome

de degr

´e sup´erieur ou´egal`ap+ 1, soitf2Cp+1([a;b]). Dans ce chapitre, nous allons´etudier et construire

quelques m

´ethodes d"int´egration usuelles ditescompositesdans lesquelles la fonction`a int´egrer est substitu´ee par

un polyn ˆome d"interpolation sur chaque intervalle´el´ementairex=(ba)n . Nous formaliserons cette notion d"int

´egrale au moyen duth´eor`emeci-dessous.

a)Th´eor`eme fondamental de l"analyse(int´egral et d´eriv´ee):soitf2 D R7!Rune fonction continue

eta2 Dalors la d´eriv´ee de l"int´egrale defest la fonction elle-mˆeme, ie : Zx a f(x)dx 0 =f(x)(3)

Nous pouvons trouver plusieurs formulations

´equivalentes pour ceth´eor`eme. Il se d´emontre comme suit : Zx a f(x)dx 0 =1h Zx+h a f(x)dxZ x a f(x)dx 1h Za x f(x)dx+Z x+h a f(x)dx 1h Zx+h x f(x)dx =1h hf(x) =f(x) Commefest continue enx, nous pouvons´ecrire8u2[xh; x+h])f(u)2[f(x); f(x) +]nous en d

´eduisons l"encadrement suivant :

1h Z x+h x [f(x)]du1h Z x+h x f(u)du1h Z x+h x [f(x) +]du Apr `es int´egration, nous obtenu : f(x)1h Z x+h x f(u)duf(x) +

Cette in

´egalit´e est´equivalente`a l"´ecriture :8 >0;9 >0;8h2]0; [)la distance : k 1h Zx+h a f(x)dxZ x a f(x)dx f(x)k

Qui se lit litt

´eralement que la d´eriv´ee de l"int´egrale defestproche def.

II.INT´EGRALES SIMPLES

A des fins d"organisation, nous pr

´esenterons d"abord le fondement th´eorique de chaque m´ethode d"int´egration avant d"

´ecrire les scripts Matlabrcorrespondants.

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A.M´ethode du point milieu

Soitfune fonction continue sur l"intervalle[a;b]2R. On se propose dans cette section d"´evaluer l"int´egrale

I(f)par la m´ethode du point milieu. De fac¸on g´en´erale nous avons :

I(f) =Z

b a f(x)dx(4)

Signalons que l"expression analytique def(x)peutˆetre connue comme elle peutˆetre inconnue.FIGURE1: Formule du point milieu composite repr´esent´ee sur 4 sous-intervalles

L"id

´ee de base de cette m´ethode est de subdiviser l"intervalle [a, b] ennsous-intervalles[xk;xk+1]. Dans le cas

o

`u les sous-intervalles sont´equidistants, on´ecrirax= (ba)=n. Ainsi, le sch´ema num´erique de cette m´ethode

s"

´ecrira comme :

I(f) =nX

k=1Z I kf(x)dx(5)

I(f) = xnX

k=1f(xk)avecx=xk+1+xk2 (6)

Comme illustr

´e par l"´Eq. (6), pour chaquex= [xk;xk+1]on prend le point central de l"ordonn´eef(x), valeur

m

´ediane entref(xk)etf(xk+1). En effet,I(f), comme montr´e sur la figure ci-dessus, repr´esente l"aire comprise

entre la courbey=f(x)et l"axe des abscisses entre les droitesx=aetx=b. A titre illustratif, pour les quatre

premiers sous-intervalles, on obtient : I

1(f)xf(x0)

I

2(f)xf(x1)

I

3(f)xf(x2)

I

4(f)xf(x3)

Il existe plusieurs fac¸ons de mettre en oeuvre la m ´ethode des rectangles. Ainsi, on peut prendre la borne inf´erieure ou la borne sup

´erieure sur chaque intervalle[xk;xk+1]. La m´ethode du point milieu est d"ordre z´ero et son erreur

d"int

´egration est major´ee par :

Z b a f(x)dxxnX k=1f(xk) 12 (ba)2n maxx2[a;b] f(1)(x)(7) Cours complet est disponible sur mon site web : http://sites.univ-biskra.dz/kenouche/Polycopi ´e de cours - Ann´ee Universitaire 2019/2020@ SAMIR KENOUCHE24

B.M´ethode du trap`eze

Cette m

´ethode est bas´ee sur l"interpolation, de chaque intervalle[xk;xk+1], par un polynˆome de degr´e un. En

d"autres mots, sur chaque intervalle[xk;xk+1], la fonctionfcontinue et d´erivable sur[a;b], est substitu´ee par la

droite joignant les points(xk;f(xk))et(xk+1;f(xk+1)). Le sch´ema num´erique de la m´ethode du trap`eze est donn´e

par :

I(f)x2

[f(a) +f(b)] + xn1X k=1f(xk)(8)

Sur la figure ci-dessous, nous avons impl

´ement´e la formule du trap`eze sur quatre sous-intervalles. Chaque trap`eze est obtenu en remplac¸ant la fonction `a int´egrer par son polynˆome deLagrangede degr´e un. FIGURE2: Formule du Trap`eze composite repr´esent´ee sur 4 sous-intervalles

Par exemple pour ces quatre trap

`ezes on obtient : I

1(f)x1x02

[f(x0) +f(x1)] I

2(f)x2x12

[f(x1) +f(x2)] I

3(f)x3x22

[f(x2) +f(x3)] I

4(f)x4x32

[f(x3) +f(x4)]

Tous les noeuds d"interpolation ont le m

ˆeme poidsx2

. La m´ethode du trap`eze est d"ordre deux(O(h2))et fournit une bien meilleure pr ´ecision que la m´ethode du point milieu(O(h)). Il existe une version am´elior´ee de la m

´ethode du trap`eze, dite m´ethode dePonceletdont le sch´ema num´erique est donn´e par :

I(f)x4

(f(x0) +f(x2n) + 7(f(x1) +f(x2n1))+ 8 n2X k=1f(x2k+1))(9)

L"erreur d"int

´egration de la m´ethode du trap`eze est major´ee par : Z b a f(x)dxI(f)|{z}

Err(I(f))

112
(ba)3n

2maxx2[a;b]

f(2)(x)(10) Cours complet est disponible sur mon site web : http://sites.univ-biskra.dz/kenouche/Polycopi ´e de cours - Ann´ee Universitaire 2019/2020@ SAMIR KENOUCHE25

C.M´ethode de Simpson

Cette m

´ethode est bas´ee sur l"interpolation, de chaque intervalle[xk;xk+1], par un polynˆome de degr´e deux.

Ainsi, la fonctionfest substitu´ee par ce polynˆome du second degr´e qui d´efinit donc un arc de parabole passant

par les points d"ordonn ´eesf(xk),f(xk+1)etf(xk+2). Le sch´ema num´erique est donn´e par :

I(f)x6

[f(a) +f(b) + 2n1X k=1f(xk)+ 4n1X k=1fxk+1xk2 ](11)

Sur la figure ci-dessous, nous avons impl

´ement´e la formule dsSimpsonsur quatre sous-intervalles. Ainsi, chaque sous-intervalle est interpol ´e par son polynˆome deLagrangede degr´e deux sur trois noeuds. FIGURE3: Formule de Simpson composite repr´esent´ee sur 4 sous-intervalles Par exemple pour les quatre premiers sous-intervalles on obtient : I

1(f)x1x06

f(x0) + 4fx1+x02 +f(x1) I

2(f)x2x16

f(x1) + 4fx2+x12 +f(x2) I

3(f)x3x26

f(x2) + 4fx3+x22 +f(x3) I

4(f)x4x36

f(x3) + 4fx4+x32 +f(x4)

Les noeuds d"interpolation situ

´es aux extr´emit´es sont pond´er´es enx6 . En revanche, les noeuds centraux sont pond

´er´es en2x3

. La m´ethode de Simpson est d"ordre quatre(O(h4))et fait mieux que celle du trap`eze. Ceci provient du fait qu"elle pond `ere plus le point central. L"erreur d"int´egration de la m´ethode de Simpson est major´ee par : Z b a f(x)dxI(f)12880 (ba)5n

4maxx2[a;b]

f(5)(x)(12) Cours complet est disponible sur mon site web : http://sites.univ-biskra.dz/kenouche/Polycopi ´e de cours - Ann´ee Universitaire 2019/2020@ SAMIR KENOUCHE26

Quand on chauffe un corps, celui-ci d

´egage de la chaleur. Cela veut dire que le corps rayonne de l"´energie

electromagn´etique (EM) infrarouge mˆeme s"il n"´emet aucune lumi`ere visible. D"apr`es la th´eorie du corps noir,

un corps chauff

´e´emet un rayonnement EM continu caract´eristique de sa temp´erature. Planck´etablit la loi du

rayonnement thermique sous la forme : (;T) =8 hc 51exp
hck bT 1(13)

Cette loi postulait que l"

´energie´etait´emise et absorb´ee d"une mani`ere fragment´ee. Cette quantit´e´etant toujours

un multiple entier du quantumh. Avec cette formule, la constantehapparaissait pour la premi`ere fois dans la

science. A la d ´ecouverte de cette formule, Max Planck disait : "Apr

`es quelques semaines qui furent certes remplies par le travail le plus acharn´e de ma vie, un´eclair se fit

dans l"obscurit ´e o`u je me d´ebattais et des perspectives insoupc¸onn´ees s"ouvrirent`a moi".

Cf. Max Planck

Initiation

`a la physique, trad., p.73.

Cette quantification s"est av

´er´ee indispensable`a la compr´ehension des ph´enom`enes´energ´etiques de l"atome.

L"av

`enement de la constante de Planck a marqu´e le commencement de lath´eorie quantique. Dans le mˆeme sillage

Louis de Broglie disait :

"Malgr

´e l"importance et l"´etendue des progr`es accomplis par la physique dans les derniers si`ecles, tant que les

physiciens ont ignor ´e l"existence des quanta, ils ne pouvaient rien comprendre`a la nature intime et profonde des ph

´enom`enes physiques car, sans quanta, il n"y aurait ni lumi`ere, ni mati`ere et s"il est permis de paraphraser un

teste

´evang´elique, on peut dire que rien de ce qui a´et´e fait n"a´et´e fait sans eux "

Cf. Louis de Broglie

La physique nouvelle et les quanta, p.6.

Dans cet exercice, on d

´esire quantifier l"´energie´emise par un corps noir,`aT= 215K, dans la gamme des longueurs d"onde comprises entre3met14m. 1)

´Evaluer num´eriquement cette int´egrale par les m´ethodes du point milieu, du trap`eze et de Simpson avecn= 3

sous-intervalles. PrendreA= 2:401011etB= 1:43.

2)´Ecrire le script Matlabrpour ces trois m´ethodes d"int´egration.

3) D

´eterminer le nombre de sous-intervalles permettant d"atteindre une erreur d"int´egration inf´erieure`a104.

Exercice· +r

1)

Soit l"int

´egrale :

I(f) =Z

2 0 xexp(x)cos(2x)dx' 0:12212 2)

´Evaluer num´eriquement cette int´egrale par les m´ethodes du point milieu, du trap`eze et de Simpson avecn= 3

sous-intervalles. Conclure.

3)´Ecrire le script Matlabrpour ces trois m´ethodes d"int´egration.

4)

T racerl"aire de l"int

´egrale pourn= 150sous-intervalles.

5)´Etudier l"influence du nombre de sous-intervalles (n) sur l"erreur d"int´egration.

6)

Appliquez les m

ˆemes´etapes pour l"int´egrale :

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I(f) =Z

1 0 exp x22 dx'+ 0:85608

Exercice¸ +r

Consid

´erons l"int´egrale d´efinie sur[1;3]parf(x) = 1 + log(x). Cette fonction est de classeC2(x2[1;3]).

D

´eterminer le nombre de sous-intervalles permettant d"atteindre une erreur d"int´egration inf´erieure`a103.

Les scripts Matlab

rdes exercices 1 et 2 sont d´etaill´es`a la derni`ere page du document.

Exercice¹ +s

Soient les int

´egrales d´efinies par :

8>>< >:f

1(x) =xlog(x)avecx2[1;2]

f

2(x) = cos(x)exp(x)avecx2[0;]

f

3(x) =11 + (x)2avecx2[0;5](14)

D

´eterminer par les m´ethodes du point milieu et du trap`eze, le nombre de sous-intervalles permettant d"atteindre

une erreur d"int

´egration inf´erieure`a105.

III.INT´EGRALES MULTIPLES

Dans cette section nous

´etendons la notion d"int´egration aux cas des fonctions double et triple. En Physique et en Chimie, ces int ´egrales servent notamment`a calculer des aires et des volumes.

A.Int´egrale double

Formellement, une int

´egrale multiple, par exemple double, d"une fonctionf(x;y)est d´efinie par :

I(f) =Z Z

(x;y)2 f(x;y)dxdy(15) O `u est le domaine suivant =f(x;y)2R2; axb;cydg. Les bornes(a < b;c < d)forment un rectangle ou un carr

´e ferm´e du planR2dont les cˆot´es sont parall`eles aux axes de coordonn´ees. Soit une fonction

f :R2!Rcontinue par morceaux sur[a;b][c;d], nous avons : Z b aZ d c f(x;y)dxdy=Z b a Zd c f(x;y)dy dx=Z d c Zb aquotesdbs_dbs24.pdfusesText_30

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