Le plan est muni dun repère orthonormal (O; ? ) Le cercle
11 mai 2018 Soit M le point du cercle trigonométrique associé à un réel x. — Le cosinus du réel x noté cosx
Polycopié dexercices et examens résolus: Mécanique du point
On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormée. Pour trouver le rayon du cercle on peut calculer la distance AM(0) par exemple.
Chapitre 3 : Équation du cercle dans le plan
Exercice 3.7: Déterminer les équations des cercles tangents aux trois droites : 3y = 4x – 10 ; 3x = 4y + 5 et 3x – 4y = 15. Exercice 3.8: On propose dans cet
TRIGONOMÉTRIE
Propriété : La tangente en M au cercle C est la perpendiculaire au rayon en ce point. 2) Définition de l'enroulement. Dans un repère orthonormé O ; i.. ; j.
GÉOMÉTRIE REPÉRÉE
Le point H projeté orthogonal de A sur la droite d
11 : DROITES ET CERCLES DANS UN REPÈRE : exercices - page 1
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O;?i ?j ) . Droites. Ex 11-1 : Restituer les notions du cours. 1 ) Donner un vecteur orthogonal au vecteur non nul
Chapitre8 : Cercles et sphères
Soit ? un repère orthonormé du plan ?. Un point M(x y) appartient au cercle C de centre ?(x0
Dans un repère orthonormal le cercle C a pour équation
Ce cercle a pour centre le point. 1. 1;. 2. A. ?. ?. ?. ?. ?. ? et pour rayon. 1. 2 . Exercice 2 : Dans un repère orthonormal (O;.
Dans un repère (orlj)
y) est un point du cercle.
ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU no 2 Sujet 32
2 mai 2020 Dans le plan rapporté à un repère orthonormé le cercle de centre A(?4 ;2) et de rayon r = 2 a pour équation : a. (x +4).
E TS L’espace muni d’un repère orthonormé I Produit scalaire
1 TS L’espace muni d’un repère orthonormé Plan du chapitre : I Produit scalaire norme et distance II Équations cartésiennes de plans III Équations cartésiennes de sphères dans un repère orthonormé
Géométrie dans un repère Exercices
Géométrie dans un repère – Exercices – Seconde – G AURIOL Lycée Paul Sabatier 14 Dans un repère orthonormé on considère les points et
Comment calculer la longueur d'un repère orthonormé ?
Dans un repère, on donne les points de coordonnées : • A (?3 ; 4) • B (1, ?1) Calculer les coordonnées du milieu M du segment [AB]. Dans un repère orthonormé, on donne les points de coordonnées : Calculer la longueur du segment [C D].
Comment faire un plan complexe avec un repère orthonormé ?
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé , , on aplacé un point d’affixe appartenant à C,puis le point intersection du cercle de centre passant par et du demi-axe ; (voir la figure reproduite ci-contre, et qui devra être refaite sur la feuilleou le cahier). Exprimer l’affixe du point en fonction de .
Où se trouve le repère orthonormé ?
Comme nous supposons dans toute la suite que le poids des individus sont identiques, nous prendrons donc avec . Nous considérons le repère orthonormé dans la bas canonique de .
Comment calculer l'abscisse d'un repère orthonormé ?
Les deux axes sont perpendiculaires et portents des graduations identiques (le point O est équidistant de I et J). Dans un repère orthonormé, l'abscisse xA d'un point A correspond à la valeur obtenue par projection de ce point sur l'axe horizontal (l'axe des abscisses).
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TRIGONOMÉTRIE2nde10
IREPÉRAGE SUR UN CERCLE
1CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE
Le plan est muni d"un repère orthonormal?O;?ı,??? Le cercle trigonométrique est le cercleCde centre O, de rayon 1 orienté dans le sens direct.OIJ#»i#»
j C2ENROULEMENT DE LA DROITE RÉELLE SUR LE CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE
Le plan est muni d"un repère orthonormal?O;?ı,??? La droiteDest tangente enIau cercle trigonométriqueC. Aest le point de coordonnées(1;1). La droiteDest munie du repère(I;A). Par enroulement de la droite réelleDsur le cercle trigonométriqueC: àtout point de la droite d"abscissexon peutassocier un unique pointM du cercle trigonométrique, image du réelx; tout pointMdu cercle trigonométrique est l"image d"une infinité de réels. Si le pointMest associé à un réelx, alors il est associé à tout réel de la formex+k×2πoùkest un entier relatif.OIJ#»i#»
j D A 1x M C3MESURE D"UN ANGLE EN RADIAN
DÉFINITION
SoitCle cercle trigonométrique de centre O, de rayon 1. Un radian est la mesure d"un angle au centre qui intercepte lecercleC suivant un arc de longueur 1.OIJ#»i#»
j M 1 radREMARQUE:
Les mesures en radians et en degrés d"un angle géométrique sont proportionnelles : xen radians0π 6 4 3 2 2π 3πA. YALLOUZ(MATH@ES)Page 1 sur8
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TRIGONOMÉTRIE2nde10
VALEURS REMARQUABLES
OIJ43π4
3π4-π4π
65π6
5π6-π6π
32π3
2π3-π3π
2 2IICOSINUS ET SINUS D"UN NOMBRE RÉEL
1DÉFINITION
SoitMle point du cercle trigonométrique associé à un réelx. Le cosinus du réelx, noté cosx, est l"abscisse du pointM. Le sinus du réelx, noté sinx, est l"ordonnée du pointM. OIJ M cosxsinx x2PROPRIÉTÉS
Pour tout réelxet pour tout entier relatifk, cos(x+k×2π)=cosxet sin(x+k×2π)=sinx Pour tout réelx,-1?cosx?1 et-1?sinx?1
Pour tout réelx, cos2x+sin2x=1
EXEMPLE:
Sachant que sinx=-?
53avec-π2 Pour tout réelx, cos2x+sin2x=1 donc cos2x+5
9=1, soit cos2x=49.
Il existe deux valeurs possibles du cosinus :
cosx=-2 3ou cosx=23
Comme-π
20 donc cosx=23.
A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 2 sur8
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TRIGONOMÉTRIE2nde10
3VALEURS REMARQUABLES
x0π 6 4 3 2 cosx1 ?3 2 ?2 2 1 20 sinx01 2 ?2 2 ?3 21
O 6 ?3 21
2 4 ?2 2? 2 2 3 1 2? 3 2 21
1 4ANGLES ASSOCIÉS
Pour tout réelx:
cos(-x)=cosx sin(-x)=-sinx OIJ M N x -x MetNsont symétriques par
rapport à (OI) Pour tout réelx:
cos(π-x)=-cosx sin(π-x)=sinx OIJ MN xπ-x MetNsont symétriques par
rapport à (OJ) Pour tout réelx:
cos(π+x)=-cosx sin(π+x)=-sinx OIJ M N xπ+x MetNsont symétriques par
rapport àO EXEMPLES:
1. cos
4π 3=cos?
π+π3?
=-cosπ3=-12 2. sin
3π 4=sin?
π-π4?
=sinπ4=? 2 2 5ÉQUATIONS
Équationcosx=cosa
sont :?x=a+k×2π x=-a+k×2πoùkest un entier relatif. OIJ M(a) N(-a) cosa A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 3 sur8
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TRIGONOMÉTRIE2nde10
Équationsinx=sina
Soitaunréeldonné. Lessolutions dansRde l"équation sinx=sina sont :?x=a+k×2π x=π-a+k×2πoùkest un entier relatif. OIJ M(a)N(π-a)
sina EXEMPLES:
1. Résoudre dansRl"équation cosx=?
3 2 Comme cos
6=? 3 2l"équation est équivalente à l"équation cosx=cosπ6
OIJ 6 6 cosπ6 Les solutions dansRde l"équation cosx=?3
2. Résoudre dansRl"équation sinx=sin7π
10. OIJ 7π 10π-7π10
sin7π10 Les solutions dansRde l"équation sinx=sin7π10sontx=7π10+k×2πoux=3π10+k×2πaveckentier
relatif. A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 4 sur8
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TRIGONOMÉTRIE2nde10
EXERCICE 1
1. Convertir en radians les mesures d"angle géométriques donnés en degrés :
a) 210 ◦b) 5◦c) 198◦d) 315◦e) 72◦f) 40◦ 2. Convertir en degrés les mesures des angles géométriques donnés en radians :
a) EXERCICE 2
Danschacundescassuivants, déterminerle réelx?]-π;π]dontl"image parenroulementdeladroite réelle
sur le cercle trigonométrique coïncide avec le point image du réel donné. a) 41π
6b)-15π2c) 13πd)-10π3e)-35πf)52π9
EXERCICE 3
Le pentagoneABCDEest inscrit dans le cercle trigonométriqueC. 0xy A B C DE À quels réels de l"intervalle ]-π;π] sont associés les sommets de ce pentagone? EXERCICE 4
Sur le cercle trigonométrique associé au repère orthonormé(O;I,J), on a tracé le polygone régulier étoiléABCDEFGHI. 1. À quels réelsde l"intervalle ]-π;π]sont associés lessommets dece
polygone? 2. Donner les coordonnées des pointsCetF.
3. Les pointsAetHont-ils la même abscisse?
OIJ xy GE C A H F DB EXERCICE 5
1. a) Placer sur le cercle trigonométrique les pointsA,B,CetD
repérésrespectivement parlesréels? -5π 6? -π3? ,2π3et3π4. b) Donner les coordonnées des quatre pointsA,B,CetD. 2.Mest un point du cercle trigonométrique tel que la mesure en
radians de l"angle ?IOM=αavecα?? 0;π
2? Placer surlecercletrigonométriquelespointsM1etM2telsque IOM1=π
2+αet?IOM2=π-α.
OIJ M A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 5 sur8
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TRIGONOMÉTRIE2nde10
3. a) On donne sin
10? 5-1 4. Donner la valeur exacte de sin?
-9π10? b) Calculer cos 10? EXERCICE 6
Connaissant lavaleurdecosxoudesinxsurl"intervalle donné,déterminerlavaleurdusinusouducosinus du réelxcorrespondant : sinx=-? 3 2etx??
-π2;π2? ; cosx=-? 2 2etx?[0;π]; sinx=12etx??
-π2;π2? cosx=-1 2etx?[-π;0]; cosx=?
3 3etx??
-π2;0? ; sinx=? 2+?6 4etx??π2;π?
EXERCICE 7
Simplifier chacune des expressions suivantes :
1. a)A=cos(π-x)+2cosx-3cos(π+x)
c)C=cos(-x)-2cos(3π-x)+2cos(x+π) 2. a)D=(1+cost+sint)2-2(1+cost)(1+sint)
b)E=cos4t-sin4t+2sin2t EXERCICE 8
Résoudre les équations suivantes dans l"intervalle]-π;π]. cosx=? 2 2; sinx=-?
3 2; 1+2cosx=0; 1-2sinx=0.
EXERCICE 9
Résoudre les équations suivantes :
cosx=cos2π 3; sinx=sin3π4; sinx=sin?
-5π6? ; cosx=cos? -π4? EXERCICE 10
On donne cosπ5=1+?
5 4. 1. Déterminer la valeur exacte de sin
5. 2. En déduire les valeurs exactes du sinus et du cosinus de-π
5;4π5et-4π5.
EXERCICE 11
1. Calculer cosxsachant que sinx=35etx??π2;π?
2. Résoudre dans l"intervalle
]-π;π]l"équation 2cos2x-1=0. EXERCICE 12
1. Résoudre dansRl"équationX2-X-34=0.
2. En déduire les solutions dans l"intervalle
]-π;π]de l"équation sin2x-sinx-3 4=0. A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 6 sur8
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TRIGONOMÉTRIE2nde10
EXERCICE 13
1. Résoudre dansRl"équation 2x2-3x-2=0.
2. En déduire les solutions de l"équation : 2cos
2x-3cosx-2=0.
EXERCICE 14
Dans le plan muni d"un repère orthonormé?O;?ı,???, soitCle cercle trigonométrique,Ale point du cercle
trigonométrique image du réelπ 4etIle point de coordonnées (1;0).
0xy IA 1. a) Donner les coordonnées du pointA.
b) Calculer distanceI A. c) Montrer queI A=2×sin?π 8? . (On pourra utiliserle point M milieu du segment[I A].) d) En déduire la valeur exacte de sin 8? e) Déterminer alors cos 8? , cos?7π8? et sin?7π8? 2. a) En reproduisant la méthode précédente pour calculer sin?π
8? , calculer sin?π12? b) En déduire cos 12? , cos?11π12? , cos?13π12? , sin?11π12? et sin?13π12? EXERCICE 15
Dansleplanmunid"unrepèreorthonormé?O;?ı,???,Mestunpointducercle trigonométriqueCetIlepoint
de coordonnées (1;0). 0xy INM H 1. Montrer que
?IOM=2?INM 2. Soitxle réel dontMest l"image par enroulement de la droite réelle sur le cercleC.
quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44
Pour tout réelx, cos2x+sin2x=1 donc cos2x+5
9=1, soit cos2x=49.
Il existe deux valeurs possibles du cosinus :
cosx=-23ou cosx=23
Comme-π
20 donc cosx=23.
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TRIGONOMÉTRIE2nde10
3VALEURS REMARQUABLES
x0π 6 4 3 2 cosx1 ?3 2 ?2 2 1 20 sinx01 2 ?2 2 ?3 21O 6 ?3 21
2 4 ?2 2? 2 2 3 1 2? 3 2 21
1
4ANGLES ASSOCIÉS
Pour tout réelx:
cos(-x)=cosx sin(-x)=-sinx OIJ M N x -xMetNsont symétriques par
rapport à (OI)Pour tout réelx:
cos(π-x)=-cosx sin(π-x)=sinx OIJ MN xπ-xMetNsont symétriques par
rapport à (OJ)Pour tout réelx:
cos(π+x)=-cosx sin(π+x)=-sinx OIJ M N xπ+xMetNsont symétriques par
rapport àOEXEMPLES:
1. cos
4π3=cos?
π+π3?
=-cosπ3=-122. sin
3π4=sin?
π-π4?
=sinπ4=? 2 25ÉQUATIONS
Équationcosx=cosa
sont :?x=a+k×2π x=-a+k×2πoùkest un entier relatif. OIJ M(a) N(-a) cosaA. YALLOUZ(MATH@ES)Page 3 sur8
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TRIGONOMÉTRIE2nde10
Équationsinx=sina
Soitaunréeldonné. Lessolutions dansRde l"équation sinx=sina sont :?x=a+k×2π x=π-a+k×2πoùkest un entier relatif. OIJM(a)N(π-a)
sinaEXEMPLES:
1. Résoudre dansRl"équation cosx=?
3 2Comme cos
6=? 32l"équation est équivalente à l"équation cosx=cosπ6
OIJ 6 6 cosπ6Les solutions dansRde l"équation cosx=?3
2. Résoudre dansRl"équation sinx=sin7π
10. OIJ 7π10π-7π10
sin7π10Les solutions dansRde l"équation sinx=sin7π10sontx=7π10+k×2πoux=3π10+k×2πaveckentier
relatif.A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 4 sur8
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TRIGONOMÉTRIE2nde10
EXERCICE 1
1. Convertir en radians les mesures d"angle géométriques donnés en degrés :
a) 210 ◦b) 5◦c) 198◦d) 315◦e) 72◦f) 40◦2. Convertir en degrés les mesures des angles géométriques donnés en radians :
a)EXERCICE 2
Danschacundescassuivants, déterminerle réelx?]-π;π]dontl"image parenroulementdeladroite réelle
sur le cercle trigonométrique coïncide avec le point image du réel donné. a)41π
6b)-15π2c) 13πd)-10π3e)-35πf)52π9
EXERCICE 3
Le pentagoneABCDEest inscrit dans le cercle trigonométriqueC. 0xy A B C DE À quels réels de l"intervalle ]-π;π] sont associés les sommets de ce pentagone?EXERCICE 4
Sur le cercle trigonométrique associé au repère orthonormé(O;I,J), on a tracé le polygone régulier étoiléABCDEFGHI.1. À quels réelsde l"intervalle ]-π;π]sont associés lessommets dece
polygone?2. Donner les coordonnées des pointsCetF.
3. Les pointsAetHont-ils la même abscisse?
OIJ xy GE C A H F DBEXERCICE 5
1. a) Placer sur le cercle trigonométrique les pointsA,B,CetD
repérésrespectivement parlesréels? -5π 6? -π3? ,2π3et3π4. b) Donner les coordonnées des quatre pointsA,B,CetD.2.Mest un point du cercle trigonométrique tel que la mesure en
radians de l"angle ?IOM=αavecα??0;π
2? Placer surlecercletrigonométriquelespointsM1etM2telsqueIOM1=π
2+αet?IOM2=π-α.
OIJ MA. YALLOUZ(MATH@ES)Page 5 sur8
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3. a) On donne sin
10? 5-14. Donner la valeur exacte de sin?
-9π10? b) Calculer cos 10?EXERCICE 6
Connaissant lavaleurdecosxoudesinxsurl"intervalle donné,déterminerlavaleurdusinusouducosinus du réelxcorrespondant : sinx=-? 32etx??
-π2;π2? ; cosx=-? 22etx?[0;π]; sinx=12etx??
-π2;π2? cosx=-12etx?[-π;0]; cosx=?
33etx??
-π2;0? ; sinx=? 2+?64etx??π2;π?
EXERCICE 7
Simplifier chacune des expressions suivantes :
1. a)A=cos(π-x)+2cosx-3cos(π+x)
c)C=cos(-x)-2cos(3π-x)+2cos(x+π)2. a)D=(1+cost+sint)2-2(1+cost)(1+sint)
b)E=cos4t-sin4t+2sin2tEXERCICE 8
Résoudre les équations suivantes dans l"intervalle]-π;π]. cosx=? 22; sinx=-?
32; 1+2cosx=0; 1-2sinx=0.
EXERCICE 9
Résoudre les équations suivantes :
cosx=cos2π3; sinx=sin3π4; sinx=sin?
-5π6? ; cosx=cos? -π4?EXERCICE 10
On donne cosπ5=1+?
5 4.1. Déterminer la valeur exacte de sin
5.2. En déduire les valeurs exactes du sinus et du cosinus de-π
5;4π5et-4π5.
EXERCICE 11
1. Calculer cosxsachant que sinx=35etx??π2;π?
2. Résoudre dans l"intervalle
]-π;π]l"équation 2cos2x-1=0.EXERCICE 12
1. Résoudre dansRl"équationX2-X-34=0.
2. En déduire les solutions dans l"intervalle
]-π;π]de l"équation sin2x-sinx-3 4=0.A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 6 sur8
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TRIGONOMÉTRIE2nde10
EXERCICE 13
1. Résoudre dansRl"équation 2x2-3x-2=0.
2. En déduire les solutions de l"équation : 2cos
2x-3cosx-2=0.
EXERCICE 14
Dans le plan muni d"un repère orthonormé?O;?ı,???, soitCle cercle trigonométrique,Ale point du cercle
trigonométrique image du réelπ4etIle point de coordonnées (1;0).
0xy IA1. a) Donner les coordonnées du pointA.
b) Calculer distanceI A. c) Montrer queI A=2×sin?π 8? . (On pourra utiliserle point M milieu du segment[I A].) d) En déduire la valeur exacte de sin 8? e) Déterminer alors cos 8? , cos?7π8? et sin?7π8?2. a) En reproduisant la méthode précédente pour calculer sin?π
8? , calculer sin?π12? b) En déduire cos 12? , cos?11π12? , cos?13π12? , sin?11π12? et sin?13π12?EXERCICE 15
Dansleplanmunid"unrepèreorthonormé?O;?ı,???,Mestunpointducercle trigonométriqueCetIlepoint
de coordonnées (1;0). 0xy INM H1. Montrer que
?IOM=2?INM2. Soitxle réel dontMest l"image par enroulement de la droite réelle sur le cercleC.
quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44[PDF] page de présentation cegep edouard montpetit
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