Les caractéristiques de dispersion

Calculer les mesures de dispersion de cette distribution. Exercice 4.2: La compagnie TEHOU exercice est de les reconnaître selon leurs caractéristiques.

Statistiques descriptives et exercices

2.7 La dispersion d'une série statistique autour de sa moyenne . Les statistiques descriptives visent à étudier les caractéristiques d'un ensemble d'ob-.

Chapitre 8 : Statistiques I. Caractéristique de Position

I. Caractéristique de Position. 1) La moyenne. Activité 1 p 180 Caractéristiques de dispersion. 1) L'étendue ... Exercices p 189. 2) Les quartiles.

Les caractéristiques de dispersion - Nanopdf

Pour mesurer la dispersion ou la variabilité des observations on utilise le plus souvent la variance et l'écart type. • D'autres caractéristiques de.

Leçon n° : Les caractéristiques de dispersion

Secteur Bac Pro 3 ans - Première. 211.01- Les caractéristiques de dispersion. Exercices (2). 1-3. Statistiques. Leçon N°4 : Les Caractéristiques de.

Cours CH V Statistique II caractéristiques de position et –

et de dispersion. I). Les caractéristiques de position : Les caractéristiques de position sont des données importantes pour l'étude des séries statistiques.

Exercices Corrigés Statistique et Probabilités

Calculer les valeurs de la dispersion de la distribution : variance l'écart type et l'intervalle interquartile. d. Tracer le diagramme en bâtons et la

Utiliser des caractéristiques de position et de dispersion

rieures ou égales à la médiane donc environ 57 % des valeurs sont supérieures ou égales à la médiane (autre réponse possible 56 %).

Cours de statistique descriptive

2 août 2016 les caractéristiques centrales (moyenne médiane

leçon 2 : Caractéristiques dune distribution statistique à une

22 févr. 2018 Elles sont au nombre de cinq : les caractéristiques de tendance centrale de dispersion

UTILISATION D'EXCEL - IUT de Bayonne et du Pays Basque

Étendue de Bertrand : 15 – 3 = 12 Exercices p 189 2) Les quartiles Activité (quartiles) On considère une série statistique rangée en ordre croissant Les quartiles sont les valeurs de la séries qui la partagent en 4 parties environ égales Le 1er quartile (noté Q 1) est la plus plus petite valeur telle que au moins 25 des données

Chapitre 3: Mesures de tendance centrale et de position

caractéristiques d'une v s quantitative soit les mesures de tendance centrale On peut distinguer trois types de mesure relative au centre de la distribution qui sont utilisés les plus fréquemment: la moyenne la médiane et le mode §3 1 Les mesures de tendance centrale d'une variable discrète (k modalités) n La moyenne arithmétique x

Comment calculer les caractéristiques de dispersion?

UTILISATION D'EXCEL pour les caractéristiques de dispersion. "=SOMMEPROD(B2:Bk;C2:Ck;C2:Ck)/SOMME(B2:Bk)- PUISSANCE(SOMMEPROD(B2:Bk;C2:Ck) /SOMME(B2:Bk);2)" Pour l'écart-type il suffit de prendre la racine carrée de la variance, donc de rajouter devant la formule, la fonction RACINE.

Qu'est-ce que la dispersion normale ?

Sauf exceptions, la tendance générale pour les milieux de dispersion normale (i.e. où les longueurs d'onde courtes se propagent plus lentement que les grandes longueurs d'onde, comme la plupart des milieux transparents dans le domaine visible) est à l'étalement temporel de l'impulsion.

Qu'est-ce que la relation de dispersion ?

La relation de dispersion décrit le phénomène ci-dessus. La dispersion de Rayleigh est un mode de diffusion des ondes, par exemple électromagnétiques ou sonores, dont la longueur d'onde est beaucoup plus grande que la taille des particules diffusantes ;

Quels sont les différents types de dispersion?

• Dispersion intermodale. • Diminution de la bande passante avec le nombre de mode. • Dispersion due alors à la polarisation (faible). • Dispersion chromatique. Guide monomode: • Pas de solution de l’équation de dispersion pour m>0.

Les caractéristiques de

dispersion

Thème 3

Hubert LASSERRE

Les mesures de dispersion

•Etendue •Ecart absolu moyen •Intervalles entre quartiles, déciles, centiles •Diagramme en boites (boite à moustaches) ou à pattes •Variance •Ecart type •Coefficient de variation

Objectifs

•Pour mesurer la dispersion ou la variabilité des observations on utilise le plus souvent la variance et l'écart type. •D'autres caractéristiques de dispersion dont certaines ont l'avantage d'avoir une signification très concrète sont présentées ici. •Citons par exemple l'intervalle entre les quantiles proposé par le savant belge

Adolphe Quételet en 1846.

L'étendue

•L'étendue est la différence entre le plus grand et le plus petit des nombres x1, x2, . . . , xi, . . . ,xn. •Cette caractéristique présente l'inconvénient de ne tenir compte que des valeurs extrêmes qui sont parfois accidentelles ou exceptionnelles.

L'étendue

Exemple

•Durant le dernier été la température maximale a été de 39 degrés Celsius et la température minimale de 7 degrés

Celsius, l'étendue est de 32 degrés.

•Cette caractéristique ne donne aucune indication sur le groupement plus ou moins important des températures autour d'une valeur centrale.

L'écart absolu moyen

•L'écart absolu moyen de n nombres x1,x2,...,xi,...,xn autour d'un nombre a est défini par : •Ea = 1/n [(x1 - a) + (x2 - a) +... + (xi - a) +... + (xn - a)] • xi - a représente la valeur absolue de xi - a.

L'écart absolu moyen

•On prend généralement pour a, la moyenne arithmétique x ou la médiane Me. •L'écart absolu moyen est minimal pour a = médiane. •Quand on ne précise pas : x = 1. Ainsi :

Intervalle entre quartiles,

déciles, centiles •L'intervalle entre le troisième et le premier quartile soit Q3 - Q1 est un indicateur de dispersion autour de la médiane Me. 25 %

Q1MeQ325 %25 %25 %

Intervalle entre quartiles,

déciles, centiles •En effet, cet indicateur Q3 - -Q1, correspond à un intervalle qui regroupe 50 % des observations autour de la médiane. •On peut aussi utiliser (Q3 - Q1)/2 (intervalle semi-interquartile). •L'intervalle entre le neuvième et le premier décile D9 - D1 est aussi un excellent indicateur de dispersion, sa signification est très concrète puisqu'il correspond à un intervalle qui regroupe 80 % des observations autour de la médiane.

Intervalle entre quartiles,

déciles, centiles •L'intervalle entre deux centiles peut

également être utilisé pour mesurer une

dispersion des observations. •Par exemple, l'intervalle entre le quatre- vingt-dix-neuvième et le premier centile contient 98 % des observations. 10 %

D1MeD340 %40 %10 %

Diagramme en boites (boites à

moustache) ou à pattes •La boîte à pattes (box-plot en anglais) fournit d'un seul coup d'oeil des informations d'une distribution concernant la tendance centrale, l'asymétrie, la dispersion. •Cette représentation a été proposée par

J.W. Tukey (USA) en 1977.

Diagramme en boites (boites à

moustache) ou à pattes •Au lieu de mettre les quartiles, on peut mettre les déciles. •L'axe peut être porté verticalement ou horizontalement. min

Q1Q3memax

Diagramme en boites (boites à

moustache) ou à pattes •Le diagramme se construit de la façon suivante : -les valeurs de la variable sont repérées sur un axe ; -sur cet axe, on reporte le minimum (min) et le maximum (max) des observations ainsi que la médiane (Me), le premier quartile (Q1), le troisième quartile (Q3). •Le rectangle construit parallèlement à l'axe entre le 1er et le 3ème quartile est " la boîte ». •Cette visualisation (centre, dispersion, asymétrie) est très utile pour comparer des séries statistiques.

Précision des unités de mesure

•Les indicateurs de dispersion présentés sont des nombres exprimés dans les mêmes unités que les nombres xi.

Précision des unités de mesure

•Si l'on veut comparer la dispersion de plusieurs séries exprimées dans des unités différentes ou à des périodes différentes, au lieu de Q3 - Q1 on peut prendre (Q3 - Q1)/Me, et au lieu de

D9 - D1 on peut prendre (D9 - D1)/Me.

•Ces caractéristiques sont sans dimension, c'est-à-dire indépendantes des unités de mesure.

L'utilisation de l'écart type est

préférée à l'écart absolu moyen •L'utilisation de l'écart absolu est compliquée à utiliser d'un point algébrique car : xi - x = xi - xsi xi > x et : xi - x = - (xi - x) si xi < x •L'écart absolu moyen se prête mal aux opérations de dérivation. •Pour cette raison il est préférable d'utiliser plutôt l'écart type σ ou la variance.

Propriétés souhaitables des

indicateurs de dispersion •Le statisticien Yule en 1945 a défini les propriétés souhaitables pour une caractéristique de valeur centrale ou de dispersion : -être définie de façon objective en ce sens que deux personnes différentes aboutissent au même résultat, -dépendre de toutes les observations, -avoir une signification concrète. Par exemple pour mesurer la dispersion, l'écart entre le neuvième décile et le premier décile qui contient 80 % des observations a une signification plus concrète pour un non-spécialiste que l'écart type,

Propriétés souhaitables des

indicateurs de dispersion -être simple à calculer (les moyens de calculs modernes permettent de s'affranchir de cette propriété), -être peu sensible aux fluctuations d'échantillonnage (les caractéristiques d'une population ne sont souvent connues que de façon approximative à partir d'un

échantillon issu de cette population, les

fluctuations d'échantillonnage sont faibles si les caractéristiques obtenues avec d'autres échantillons varient peu).

Objectifs : variance et écart type

•Résumer une distribution statistique concernant un caractère quantitatif observé sur n individus par une seule caractéristique telle que la moyenne ou la médiane est insuffisant. •La moyenne ou la médiane représentent une valeur centrale de la distribution.

Objectifs : variance et écart type

•La statistique commence précisément là où il y a variabilité ; il faut donc définir au minimum une valeur centrale et une mesure de dispersion autour de cette valeur centrale. •La variance est la caractéristique la plus utilisée pour mesurer la dispersion ou l'étalement des données autour de la moyenne. L'écart type est la racine carrée de la variance. Cette notion de variance est apparue avec la théorie des moindres carrés.

Définition de la variance et de

l'écart type •La variance de n nombres x1, x2, ..., xn, est définie par : •V(x) = 1/n . [(x1 - x)² + (x2 - x)² + ... + (xi - x)² + ... + (xn - x)²] •Si plusieurs valeurs sont égales et que la valeur de xi est observée ni fois avec :

Définition de la variance et de

l'écart type •La formule de la variance devient : •L'écart type, noté σ ou σx est la racine carrée de la variance (Standard deviation en anglais).

V(x) = σx²

•Soit :

Formule développée de la

variance = 1/n [(x1²-2x1x+x²)+[(x2²-2x2x+x²)+...] •V(x) = x² - x² " moyenne des carrés moins carré de la moyenne »

Formule développée de la

variance •La formule avec les pondérations est :

La variance augmente avec la

dispersion •La variance augmente lorsque les données se dispersent davantage. •C'est une mesure de la dispersion qui permet de faire des comparaisons entre diverses populations ou échantillons.

La variance augmente avec la

dispersion•Considérons les deux distributions concernant la distribution du même caractère dans deux populations : -la ième observation de la distribution 1 est notée x1i -la ième observation de la distribution 2 est notée x2i •Supposons que les deux distributions ci-après et concernant le même caractère aient la même moyenne : x1 = x2 = x

La variance augmente avec la

dispersion

Distribution 1, écart type σ1

Distribution 2, écart type σ2 > σ2 > σ1x1i - x1 x1x1i x2i - x2 x2x2i

La variance augmente avec la

dispersion •Les écarts à la moyenne sont les quantités : (x1i - x1) et (x2i -x2). •Il est clair que les observations de la distribution 2 sont plus étalées ou plus dispersées que celles de la distribution

1 ; ceci se traduira par des écarts à la

moyenne plus élevés. •Ainsi l'écart type σ2 sera supérieur à σ1 (ou σ2² > σ1²).

La variance augmente avec la

dispersion •La dispersion peut s'apprécier visuellement avec les histogrammes : •Les observations de la deuxième série représentées par l'histogramme de droite sont plus dispersées.

Propriétés

•c est une constante : V(x + c) = V(x) •a est une constante : V(ax) = a² V(x) •V(-x) = V(x) •V(x+y) = V(x) + V(y) + 2COV(x,y) •V(x-y) = V(x) + V(y) - 2COV(x,y) •Si x et y sont indépendants :

COV(x,y) = 0

Propriétés

•V(ax+by) = a²V(x) + b²V(y) + 2abCOV(x,y) •V(ax-by) = a²V(x) + b²V(y) - 2abCOV(x,y)

Coefficient de variation

•CV(x) = σx / x •Cette caractéristique de dispersion est indépendante des unités de mesure, puisque σx et x s'expriment dans la même unité. •Elle n'est pas très facile à utiliser et à interpréter si x est proche de 0.

Etalement des données pour

une distribution normale •De nombreuses distributions se rapprochent de la distribution normale. •Dans ce cas environ 95 % des observations sont comprises entre x - 2σx et x + 2σx. •La valeur exacte pour la loi normale est 1,96 au lieu de 2. •Environ 68 % des observations se dispersent entre x - σx et x + σx et 99,7 % se dispersent entre x - 3σx et x + 3σx.

Exercice

•Soit la température moyenne à Paris au cours du mois de janvier, pendant dix années consécutives : - 2,5 0,0- 1,15,6

5,3- 1,9 0,80,3

6,8 4,7

•Calculez la moyenne arithmétique et l'écart type de la distribution.

Les phénomènes aléatoires

Thème 4

Hubert LASSERRE

Notions de théories des

probabilités •Variables aléatoires et lois de probabilité discrètes -Fonction de répartition, espérance mathématique, variance et écart-type -Somme de variables aléatoires •Lois continues : loi normale -Définition -Variable centrée réduite -Usage d'une table de la loi Normale -Intervalles de confiance bilatéraux de la loi

Normale

Loi de probabilité d'une variable

aléatoire discrète

Objectifs

•Les modèles mathématiques permettent de formaliser le comportement des phénomènes aléatoires.

•Après avoir défini le concept de probabilité, il convient de définir le concept de variable aléatoire.

•Dans une première approche nous dirons qu'une variable aléatoire consiste à attribuer à chaque résultat de l'expérience aléatoire un nombre.

Loi de probabilité d'une variable

aléatoire discrète

Objectifs

•Par exemple en jouant à pile ou face avec une pièce de monnaie, si le côté pile apparaît vous gagnez 100 euros, si le côté face apparaît vous perdez 100 euros (ou vous gagnez - 100 euros). •Cette variable aléatoire est discrète car elle prend des valeurs isolées + 100 et - 100.

Loi de probabilité d'une variable

aléatoire discrète

Objectifs

•Définir la loi de probabilité d'une variable aléatoire consiste à déterminer les probabilités des différentes valeurs de cette variable aléatoire.

•Dans cet exemple la variable aléatoire prend les valeurs + 100 et - 100 avec les probabilités de 1/2 et 1/2.

•Les variables aléatoires (v. a.) ou aléas numériques sont définies avec des nombres réels.

Loi de probabilité d'une variable

aléatoire discrète Définition d'une variable aléatoire discrète •Soit l'univers Ω, constitué d'un nombre fini d'éléments ou d'une infinité dénombrable d'éléments. •Ω = {ω1, ω2, ..., ωi, ..., ωn, ...} •Définir une variable aléatoire X consiste à associer à chaque élément ω de Ω un nombre réel x.

Loi de probabilité d'une variable

aléatoire discrète Définition d'une variable aléatoire discrète •ΩR. •ωX(ω) = x

Loi de probabilité d'une variable

aléatoire discrète

Loi de probabilité (ou distribution) d'une

variable aléatoire discrète •Définition •Soit X une variable aléatoire discrète définie sur l'univers Ω. •La probabilité de l'événement (X = xi) est la probabilité de l'union des

événements de Ω qui ont pour image xi.

Loi de probabilité d'une variable

aléatoire discrète Loi de probabilité (ou distribution) d'une variable aléatoire discrète •Définition •Si ω2, ω4, ω7 vérifient : X(ω2) = X(ω4) = X(ω7) = xi alors P(X = xi) = pi = P(ω2 U ω4 U

ω7) = P(ω2) + P(ω4) + P(ω7)

•La loi de probabilité de X est l'ensemble des couples (xi, pi) ; elle peut être présentée dans un tableau.

Loi de probabilité d'une variable

aléatoire discrète

Loi de probabilité d'une variable

aléatoire discrète •Une loi de probabilité discrète est définie par les couples (xi,pi)

Loi de probabilité d'une variable

aléatoire discrète •Loi d'un couple de variables aléatoires •Soit X une variable aléatoire définie sur Ω1 et Y une variable aléatoire définie sur Ω2 X(ω1) = x et Y(ω2) = y, Z = (X,Y) est un couple de variables aléatoires (X, Y) z = Z(ω1,ω2) = (X(ω1),Y(ω2)) = (x,y) •La loi de Probabilité du couple de variables aléatoires (X, Y) est définie par l'ensemble des Couples (x, y) et les probabilités d'obtenir ces couples (désignée

également par loi conjointe).

Loi de probabilité d'une variable

aléatoire discrète •Loi d'un couple de variables aléatoires •Ainsi si l'on note : •pij = P(X = xi ;Y = yi) •pij = P(X = xi) . P(Y = yj/X = xi) •pij = P(Y = yj) . P(X = xi/Y = yi)

Loi de probabilité d'une variable

aléatoire discrète

Loi d'un couple de variables aléatoires

•Les variables X et Y sont indépendantes si tous les événements X = xi et Y = yj le sont, c'est-à-dire :

pij = P(X = xi) . P(Y = yi) = pi.pj •Pour tout i et tout j : pij = pi . pj <=> X et Y sont indépendantes

•La modélisation la plus classique en statistique inductive sur les intervalles de confiance, les tests, se base sur des variables aléatoires indépendantes en probabilité.

Loi de probabilité du couple

(X,Y) p.. =

1p.q...p.j...p.2p.1Totalpp.ppq...ppj...pp2pp1xp........................pi.piq...pij...pi2pi1xi........................p2.p2q...p2j...p22p21x2p1.p1q...p1j...p12p11x1Totalyq...yj...y2y1X Y

Loi de probabilité d'une variable

aléatoire discrète

Composition de plusieurs variables aléatoires

•une variable aléatoire est définie comme une application en mathématiques.

•Il est donc possible de faire avec les variables aléatoires toutes les opérations classiques des applications : la somme, le produit, le quotient de deux variables aléatoires.

•Soit : -X une variable aléatoire définie sur Ω, Sx = {ensembles des valeurs x} -Y une variable aléatoire définie sur Ω, Sy = {ensembles des valeurs y}

Loi de probabilité d'une variable

aléatoire discrète

Composition de plusieurs variables aléatoires

•Addition Z = X + Y •Pour ω є Ω, Z(ω) = (X + Y)(ω) = X(ω) + Y(ω), soit z = x + y. •Cette relation définit la loi d'addition de deux variables aléatoires, elle a été notée + pour la distinguer du signe + qui concerne l'addition des nombres réels. Pour la suite on emploie le même symbole et on note : Z = X + Y.