[PDF] Mathématiques : mise à niveau pour entrer dans une licence

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CHAPITRE1

Rappelssurl ecal culnuméri que

Dansce chap itre,onrappellelesn otions debaseducalcu ln umérique:les priorités

decalcu l,lesnotion sd edéveloppemen tetd efactorisation,ainsiquelecalcullittéral,les fractionsetlesp uissan ces.

Sommaire

1 Nombresentierset prioritésde calcul ...............7

2 Développementetfactorisation..................11

3 Lesf ractions............................15

4 Lesp uissances...........................20

5 Correctiond esexercicesd ucours.................22

6 Exercices..............................261Nombresent iersetpriorités decal cul

Rappelonstoutd "abordlad éfinitiondesn omb resentiers.Définition:Nombresentiers ?Les nombresentiersnaturels sontles nom bres 0 ,1,2,3,4,... ?Les nombresentiersrelatifs (ou simplemententiers) sontles nombres ...,-4,-3,-2,-1,0,1,2 ,3,4,...On listeci-ap rèsquelques propriétésducalcu lavecles nombres entiersque l"on

utilisegén éralementdefaçon intuitive. 9782340-061156_001_492.indd 79782340-061156_001_492.indd 706/09/2021 10:0206/09/2021 10:02

8Chapitre 1: Rappelssur lecalculn umériqu e

Propriétés:Associativitéetc ommutativité ?L"addition etl amultiplic ationd"entierssontassociatives: pourtous entiersa,betc. ?L"addition etl amultiplic ationd"entierssontcommutatives: a+b=b+aeta×b=b×a pourtous entiersaetb. L"associativitéet lacomm utativité del"additionet delam ultiplicationimpliquen t qu"eneffectu antuniquementdesad ditionsouuniquementdesm ultiplications,ces opérationspeu ventêtrefaitesdansn "importe quelordre : Ainsi,d ansl"exempleci-d essus,onp eutcommencerpar lam ultiplicationquino us semblelap lus simple(parexemple 3×5 =15 ) puiseffectue rensuitelamultip lication restante:

3×5?

HAP =15

4=15×4=60

Propriétés:Élémentsneutr esetopposé ?L"addition possèdeunélément neutre, lenombre 0,c"est-à-dire a+0=0+a=a pourtout entiera. ?Lamul tiplicationpossèdeunél émentneutre,lenombr e1, c"est-à-dire a×1=1×a=a pourtout entiera. ?Toutentier apossèdeunopposé, noté-a, quivérifie a+(-a)=(-a)+a=0 L"existenced "unopposép ourtoutentier permetdedéfi nirlasou stractionde deuxentiers. Autrement dit,étantdonnés deuxen tiersaetb, lasoustractiondea

1 Nombresentierset prioritésde calcul 9

parbest définiepar a-b=a+(-b) Ce quisign ifiequesoustraireun nombre c"estad ditionner sonopposé.Lasoustraction vérifielesp ropriétés ci-dessous: Propriétés:Propriétésde la soustractionetde l"opposé

Soientaetbdeux entiers.

?a-b=a+(-b)=-(-a+b)=-(b-a) ?a-(-b)=a+b ?a×(-b)=-(a×b)=(-a)×b ?(-a)×(-b)=a×b ?-(-a)=a

Exemples

Reprenonschacu nedespropriétésavec a=3etb=5. ?3-5=-2=-(-3+5)? HAP =2 =-(5-3)? HAP =2 ?3-(-5)=3+5=8 ?3×(-5) =-15 =-(3×5)? HAP =15 =(-3)×5 ?(-3)×(-5)=3×5=15 ?-(-5)=(-5)×(-1)=5×1=5

Remarque

Nousn "avonspasencoreparlé delad ivision,notée ÷, etd esesprop riétés . Celle-ci seraétud iéeplusspécifi quementdans lasection3consacréeau x fractions. Lorsqu"uncalcul comporteun mélanged"ad ditions,d esoustractions, demul- tiplications,de divisionset desparenthèses, ilest nécessairede savoirdansquel ordree ffectuertoutesces opérations.P ourcela,il existedesrèglespré cisesdonnées ci-après.

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8Chapitre 1: Rappelssur lecalculn umériqu e

Propriétés:Associativitéetc ommutativité ?L"addition etl amultiplic ationd"entierssontassociatives: pourtous entiersa,betc. ?L"addition etl amultiplic ationd"entierssontcommutatives: a+b=b+aeta×b=b×a pourtous entiersaetb. L"associativitéet lacomm utativité del"additionet delam ultiplicationimpliquen t qu"eneffectu antuniquementdesad ditionsouuniquementdesm ultiplications,ces opérationspeu ventêtrefaitesdansn "importe quelordre : Ainsi,d ansl"exempleci-d essus,onp eutcommencerpar lam ultiplicationquino us semblelap lus simple(parexemple 3×5 =15 ) puiseffectu erensuitelamu ltiplication restante:

3×5?

HAP =15

4=15×4=60

Propriétés:Élémentsneutr esetopposé ?L"addition possèdeunélément neutre, lenombre 0,c"est-à-dire a+0=0+a=a pourtout entiera. ?Lamul tiplicationpossèdeunél émentneutre,lenombr e1, c"est-à-dire a×1=1×a=a pourtout entiera. ?Toutentier apossèdeunopposé, noté-a, quivérifie a+(-a)=(-a)+a=0 L"existenced "unopposép ourtoutentier permetdedéfi nirlasou stractionde deuxentiers. Autrement dit,étantdonnés deuxen tiersaetb, lasoustractiondea

1 Nombresentierset prioritésde calcul 9

HAPbest définiepar

a-b=a+(-b) Ce quisign ifiequesoustraireun nombre c"estad ditionner sonopposé.Lasoustraction vérifielesp ropriétés ci-dessous: Propriétés:Propriétésde la soustractionetde l"opposé

Soientaetbdeux entiers.

?a-b=a+(-b)=-(-a+b)=-(b-a) ?a-(-b)=a+b ?a×(-b)=-(a×b)=(-a)×b ?(-a)×(-b)=a×b ?-(-a)=a

Exemples

Reprenonschacu nedespropriétésavec a=3etb=5. ?3-5=-2=-(-3+5)? HAP =2 =-(5-3)? HAP =2 ?3-(-5)=3+5=8 ?3×(-5) =-15 =-(3×5)? HAP =15 =(-3)×5 ?(-3)×(-5)=3×5=15 ?-(-5)=(-5)×(-1)=5×1=5

Remarque

Nousn "avonspasencoreparlé delad ivision,notée ÷, etd esesprop riétés . Celle-ci seraétud iéeplusspécifi quementdans lasection3consacréeau x fractions. Lorsqu"uncalcul comporteun mélanged"ad ditions,d esoustraction s,demul- tiplications,de divisionset desparenthèses, ilest nécessairede savoirdansquel ordree ffectuertoutesces opérations.P ourcela,il existedesrèglespré cisesdonnées ci-après.

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10Chapitre 1: Rappelssur lecalculn umériqu e

Propriétés:Règlesdepriorité

Lesc alculss"effectuentdegaucheà droitedansl "ordr esuivant :

1)en premierles parenthèses,

2)puis lesmultipl icationsetlesdivisions,

3)enfin, lesadditionset les soustractions.

Exemples

?Calcula vecunem ultiplicationetu neaddition.

23+7×5?

HAP =35 = 23+ 35= 58 ?Calcula vecunem ultiplication,un eadditionetdesparenth èses. (23 +7) HAP =30

5=30×5 =150

Remarquonsque l"ajoutd eparenthèsesp arrapport àl"exempleprécédent a modifiél"ordredes opérations,et donclerésu ltat. Calcul(p luscompliqué)a vecunem ultiplication,un eadditionetd es parenthèses.

12×(8-3)?

HAP =5 +15 =12 ×5? HAP =60 +15 =60 +15 =75 ?Calculcomp renantunedivision .

8÷2?

HAP =4 +3×(4-5)? HAP 1 =4+3

×(-1)=4-3=1

?Calcula vecutilisationde larègle-(-a)=a.

15-(14-27)?

HAP 13 +7×3=15-(-13) +7 ×3? HAP =21 = 15-(-13)? HAP =13 +21
= 15+ 13+ 21= 28+ 21= 49

2 Développementetfactorisation11

Exercice1.1

Effectuerlescalc uls cidessous:

2-3×41)3-4+4×12)

(5×5)+0-(2-4)+33)24 +(12 ÷6)×34)

2Développementetfactorisati on

Danscette section, onintrod uit lecalcullittéral,c"est-à-direa vec deslettres. On yp résentelesnotions de développementet defactorisation, ainsiqu elestrois identités remarquables.

Propriétés:Développementsdepr oduits

Lamul tiplicationestdistributiveparr apport àl "additionetàl asoustraction. Autrementdit,p ourtous entiersa,betk, ona les relationssuivantes : ?k×(a+b)=k×a+k×b ?k×(a-b)=k×a-k×b

Remarque

Lorsquel"on trav ailleavecdes lettres,engénéralon n"écritpas lesym bole ×. Ainsi,on écritp lutôt lesformulesp récéden tessouslaforme ?k(a+b)=ka+kb ?k(a-b)=ka-kb ?(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

Exemples

Soientxetydeuxentie rs.Alors,

?2(x+ 8)-(x+6)=2x+ 16-x-6=x+ 10 ?(x-3)(y-1) =xy-x-3y+3 Lafactorisationd"uneexpressi onmathématiqueestladémarc heinversed ecelle dud éveloppement.Autrementdit,la factorisationconsisteàécrireun eexpres sion

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10Chapitre 1: Rappelssur lecalculn umériqu e

Propriétés:Règlesdepriorité

Lesc alculss"effectuentdegaucheà droitedansl "ordr esuivant :

1)en premierles parenthèses,

2)puis lesmultipl icationsetlesdivisions,

3)enfin, lesadditionset les soustractions.

Exemples

?Calcula vecunem ultiplicationetu neaddition.

23+7×5?

HAP =35 = 23+ 35= 58 ?Calcula vecunem ultiplication,un eadditionetdesparenth èses. (23 +7) HAP =30

5=30×5 =150

Remarquonsque l"ajoutd eparenthèsesp arrapport àl"exempleprécédent a modifiél"ordredes opérations,et donclerésu ltat. Calcul(p luscompliqué)a vecunem ultiplication,un eadditionetd es parenthèses.

12×(8-3)?

HAP =5 +15 =12 ×5? HAP =60 +15 =60 +15 =75 ?Calculcomp renantunedivision .

8÷2?

HAP =4 +3×(4-5)? HAP 1 =4+3

×(-1)=4-3=1

?Calcula vecutilisationde larègle-(-a)=a.

15-(14-27)?

HAP 13 +7×3=15-(-13) +7 ×3? HAP =21 = 15-(-13)? HAP =13 +21
= 15+ 13+ 21= 28+ 21= 49

2 Développementetfactorisation11

Exercice1.1

Effectuerlescalc uls cidessous:

2-3×41)3-4+4×12)

(5×5)+0-(2-4)+33)24 +(12 ÷6)×34)

2Développementetfactorisati on

Danscette section, onintrod uit lecalcullittéral,c"est-à-direa vec deslettres. On yp résentelesnotions de développementet defactorisation, ainsiqu elestrois identités remarquables.

Propriétés:Développementsdepr oduits

Lamul tiplicationestdistributiveparr apport àl "additionetàl asoustraction. Autrementdit,p ourtous entiersa,betk, ona les relationssuivantes : ?k×(a+b)=k×a+k×b ?k×(a-b)=k×a-k×b

Remarque

Lorsquel"on trav ailleavecdes lettres,engénéralon n"écritpas lesym bole ×. Ainsi,on écritp lutôt lesformulesp récéden tessouslaforme ?k(a+b)=ka+kb ?k(a-b)=ka-kb ?(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

Exemples

Soientxetydeuxentie rs.Alors,

?2(x+ 8)-(x+6)=2x+ 16-x-6=x+ 10 ?(x-3)(y-1) =xy-x-3y+3 Lafactorisationd"uneexpressi onmathématiqueestladémarc heinversed ecelle dud éveloppement.Autrementdit,la factorisationconsisteàécrireun eexpres sion

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12Chapitre 1: Rappelssur lecalculn umériqu e

mathématiquesenmettan ten avant un facteurcommun.Pou rcela,on utiliseles formulesvuesp récédemmentmais danslesensin verse.

Propriétés:Factorisationde pro duits

Pour tousentier sa,betk, ona les relationssuivantes : ?ka+kb=k(a+b) ?ka-kb=k(a-b) ?ac+ad+bc+bd=(a+b)(c+d)

Exercice1.2

Soientxetydeuxentiers. Développer etsimplifier(réduireà lafor melaplus simplep ossible)lesexpression sci-dessous : (4-x)+(2×x)1)4-(x×2y)+52) 4 x-(3×2y+ 5)-2x×5y3)(1-x)×(5 +y)4)

1+(y×5x)-2xy5)(3+2x)(4+ y-5(2-y))6)

Lorsquel"on mu ltiplieunentierpar luimême(on effectuea×a), onu tilise l"écrituresimp lifiéesuivante :

Définition:Carréd"unentier

Lecarréd"unentier aest l"entierdonn épara×aet s"écrita 2 . Ainsi, a 2 =a×a

Exemples

Les 9p remierscarrésd"en tiers(u tilesàconnaître) 1 2 =11)2 2 =42)3 2 =93) 4 2 = 164)5 2 = 255)6 2 = 366) 7 2 = 497)8 2 = 648)9 2 = 819)

De plus,onretiend rale casducarréde zéro: 0

2 =0.

2 Développementetfactorisation13

Remarque:Carréd"unentier négatif

Pourtout entiera, ona

a 2 =(-a)×(-a)=a×a=a 2 On end éduitquelecarréest toujours positif etqu ele carrédeaet de-a sontles mêmes.

Propriétés:Identitésr emarquables

Lesr èglesdedistributivitéentraînent,entr eautr es,p ourtousentiersaetb, lesformul essuivantes: ?(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 ?(a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 ?(a+b)(a-b)=a 2 -b 2 Démonstration.Afind emieuxreten ircesform ulesilest utile desavoirlesredémon- trer. Celles-cis"ob tiennenttrèssimplement. ?D"aprèsles règles dedistrib utivité,ona a+b) 2 =(a+b)(a+b)=aquotesdbs_dbs44.pdfusesText_44

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