[PDF] Achille et le paradoxe de l'infini Terminale Mathématiques

Quelle est la première approche mathématique sur l’infiniment grand ?

Mais les premières approches mathématiques sur le sujet datent du VIème siècle avant J.C. et ne traitent pas encore de l’infiniment grand mais de l’infiniment petit. La découverte de l’irrationalité de ?2, que les pythagoriciens ont tenté de cacher, en est le point de départ.

Comment expliquer le paradoxe d’une infinité d’étapes en un temps fini ?

La notion de limite de suite permet d’expliquer facilement le paradoxe qu’une infinité d’étapes peut se faire en un temps fini. On pourrait transposer ce paradoxe à de nombreux phénomènes usuels. Par exemple le lâcher d’une balle qui rebondit à 80 % de sa hauteur initiale. Elle effectuera une infinité de rebonds en un temps fini.

Quels sont les premiers paradoxes de l’infini ?

Au Vème siècle avant J.C., le grec Zénon d’Elée (-490 ; -425) propose les premiers paradoxes de l’infini. Exposons-en un : A priori la somme d’un nombre infini de longueurs est une longueur infinie.

Comment calculer la longueur de l’Achille ?

Achille doit d’abord parcourir la moitié de la longueur (1/2) puis la moitié de la longueur restante (1/4) et ainsi de suite en poursuivant le processus de division à l’infini. La longueur totale sera ainsi égale à 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + ...