LE PARADOXE DE ZENON
infinie. Au Vème siècle avant JC le grec Zénon d'Elée (-490 ; -425) nous exprime qu'il peut en être autrement. Achille
Paradoxe de Achille et la tortue - Lycée dAdultes
3 oct. 2014 Le paradoxe d'Achille et de la tortue formulé par Zénon d'Élée
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maths de Lacan mission délicate mais impossible souviens de ce paradoxe sur l'infini. J'entends ... tous c'est faux
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l'infini mathématique sont de fait
ENSEIGNEMENT DES MATHÉMATIQUES AUX NIVEAUX POST
Praslon F. (2000) Continuités et ruptures dans la transition Terminale S / DEUG Figure 2 – Configuration initiale du paradoxe Achille et la tortue.
Recueil de blagues mathématiques et autres curiosités
1 avr. 2009 8.1.1 Le paradoxe d'Achille et de la tortue . ... les blagues mathématiques connues à tous les coins de l'univers par le biais.
MATHS 110c cHAPITRE III : NOTIONS DE LIMITES Nous allons
qu'Achille parcourt la nouvelle distance qui le sépare de son adversaire la tortue a U ne autre fagon d'énoncer ce paradoxe est de dire qu'un mobile se ...
Les suites - Partie I : Raisonnement par récurrence
rapidement des démonstrations mathématiques. Zénon d'Elée lorsqu'il a soumis le paradoxe d'Achille et la tortue. (cf - ... La suite tend vers l'infini.
histoire des mathématiques
13 nov. 2014 Achille ne rattrapera donc jamais la tortue ! Le paradoxe vient de « jamais » car les grecs pensent qu'un nombre infini de.
ECE3 2011-2012 : Un an de maths
10 juil. 2012 Achille sera toujours derrière. Comment résoudre le paradoxe? Regardons les choses d'un point de vue temporel : Achille met 10 secondes pour ...
ACHILLE ET LE PARADOXE DE L’INFINI - maths et tiques
la moitié de la longueur restante et ainsi de suite en poursuivant le processus de division L’objectif de cette activité est de démontrer que plus on ajoute d’étapes plus on se rapproche de l’arrivée sans la dépasser 1) Quelle est la distance parcourue durant 2e étape de la course ? Durant la 3e étape ?
LE PARADOXE DE ZENON - maths et tiques
de longueur 1 Achille doit d’abord parcourir la moitié de la longueur (1/2) puis la moitié de la longueur restante (1/4) et ainsi de suite en poursuivant ce processus de division à l'infini 1) a) Calculer la distance parcourue après le 2e étape de sa course puis après la 3e et la 4e étape Que constate-t-on ?
Paradoxe de Achille et la tortue - lyceedadultesfr
Achille ne peut rattraper la tortue qu’après une infinité d’étapes L’erreur consiste à dire que cette infinité d’étapes se fait en un temps infini 10 ms?1 ce qui en fait un très bon sprinter de 100 m et la tortue à 01 ms?1 soit une vitesse 100 fois inférieure à celle de Achille
ECE3 2011-2012 : Un an de maths
Guillaume LAFON
10 juillet 2012
iiTable des matières
Last but not leastxv
I Cours1
1 Calcul; logique5
1.1 Calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Identités remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.5 Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Fonctions usuelles 9
2.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1 Domaine de définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.2 Parité et périodicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.3 Monotonie et bornes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Logarithmes et exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.1 La fonction logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.2 La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.3 Logarithmes et exponentielles de basea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4.1 Puissances entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4.2 Puissances quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4.3 Limites classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5 Valeur absolue, partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5.1 Équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5.2 Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Récurrence; sommes, produits 19
3.1 Démonstration par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Sommes et produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.1 Sommes : notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.2 Sommes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.3 Sommes doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.4 Produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
iii ivTABLE DES MATIÈRES4 Suites classiques 25
4.1 Généralités sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2 Quelques suites à connaitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2.1 Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2.2 Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2.3 Suites arithmético-géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2.4 Suites récurrentes linéaires d"ordre2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5 Ensembles et applications 31
5.1 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6 Convergence de suites 37
6.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.1.1 Limites finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.1.2 Limites infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.2 Propriétés principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.2.1 Opérations et limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.2.2 Limites de suites usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.2.3 Théorèmes de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.2.4 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.3 Équivalents et négligeabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7 Dénombrement47
7.1 Cardinaux d"ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.2 Listes, arrangements et combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7.3 Propriétés des coefficients binomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
8 Séries55
8.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
8.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.3 Séries classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
9 Systèmes linéaires 61
9.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
9.2 Méthode de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
10 Limites, continuité 67
10.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
10.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
10.1.2 Opérations et limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
10.1.3 Négligeabilité, équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
10.1.4 Asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
10.1.5 Branches paraboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
10.1.6 Propriétés supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
10.2 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
10.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
10.2.2 Théorème des valeurs intermédiaires et applications . . . . . . . . . . . . . . . 72
10.2.3 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
TABLE DES MATIÈRESv
11 Fonctions à deux variables 75
11.1 Aspect graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
11.2 Exemples de surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
11.3 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
12 Probabilités, généralités 83
12.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
12.1.1 Expérience aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
12.1.2 Événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
12.1.3 Tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
12.1.4 Lois de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
12.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
12.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
12.2.2 Probabilités sur un univers fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
12.3 Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
12.3.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
12.3.2 Théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
12.4 Indépendance d"événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
13 Matrices91
13.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
13.2 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
13.2.1 Addition de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
13.2.2 Produit d"une matrice par un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
13.2.3 Produit de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
13.2.4 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
13.3 Puissances de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
14 Dérivation99
14.1 Définitions et formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
14.1.1 Aspect graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
14.1.2 Opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
14.1.3 Dérivées de fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
14.2 Dérivées successives; convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
14.2.1 Fonctions de classeCketDk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
14.2.2 Convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
14.3 Inégalité des accroissements finis et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
14.3.1 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
14.3.2 Application à l"étude des variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
14.3.3 Application à l"étude de suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
15 Variables aléatoires finies 113
15.1 Variables aléatoires finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
15.1.1 Définition, notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
15.1.2 Loi d"une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
15.1.3 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
15.1.4 Moments d"une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
15.2 Lois usuelles finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
15.2.1 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
15.2.2 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
15.2.3 Loi binômiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
15.2.4 Loi hypergéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
viTABLE DES MATIÈRES16 Inversion de matrices 123
16.1 Inversion de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
16.2 Lien entre matrices et systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
16.3 Pivot de Gauss sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
16.4 Diagonalisation de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
17 Intégration131
17.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
17.1.1 Aire sous une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
17.1.2 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
17.1.3 Définition de l"intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
17.2 Propriétés de l"intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
17.3 Méthodes de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
17.3.1 Intégration directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
17.3.2 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
17.3.3 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
17.4 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
17.4.1 Fonctions définies par une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
17.4.2 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
18 Variables aléatoires infinies 141
18.1 Compléments de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
18.2 Variables infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
18.2.1 Définition, opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
18.2.2 Loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
18.2.3 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
18.2.4 Moments d"une variable aléatoire infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
18.3 Lois usuelles infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
18.3.1 Loi géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
18.3.2 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
19 Couples de variables aléatoires 147
19.1 Loi d"un couple de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
19.2 Indépendance de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
20 Polynômes153
20.1 Définitions, notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
20.2.1 Algorithme naïf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
20.3 Factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
21 Espaces vectoriels 159
21.1 Espaces et sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
21.2 Familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
21.3 Application linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
21.3.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
21.3.2 Noyau, image d"une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
21.3.3 Aspect matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
TABLE DES MATIÈRESvii
II Fiches-méthode 171
Suites174
Dénombrement175
Séries176
Probabilités177
Dérivation178
Variables aléatoires 180
Matrices181
Intégration182
Espaces vectoriels 183
III Exercices 185
Calcul et Logique 188
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Fonctions usuelles 193
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Récurrence, sommes et produits 209
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
Révisions DS1217
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Suites classiques222
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
Ensembles et applications 229
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
Révisions DS2238
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
Convergence de suites 243
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
Dénombrement258
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
Révisions DS3266
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
Séries273
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
viiiTABLE DES MATIÈRESProblème coefficients binomiaux 282
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
Systèmes285
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
Limites, continuité 293
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
Fonctions à deux variables 305
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
Complément sur les fonctions 314
Probabilités321
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
Révisions DS5335
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
Matrices337
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
Révisions DS6345
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
Dérivation, convexité 348
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
Suites récurrentes 369
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
Variables aléatoires discrètes 377
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
Lois usuelles386
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
Révisions DS7394
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
Inversion de matrices 399
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
Intégration410
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
Préparation CB : Analyse 420
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
Préparation CB : Probabilités 428
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
Variables aléatoires finies 438
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
TABLE DES MATIÈRESix
Révisions DS10443
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
ESSEC 2008446
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
Couples de variables aléatoires 451
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
ESSEC 98, partie II 460
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
Polynômes465
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
Best Of Ecricome 472
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
Espaces Vectoriels 481
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
Devoirs de vacances 493
IV Devoirs 499
QCM de rentrée502
QCM : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
Devoir Surveillé n°1 507
DS1 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509
Devoir Surveillé n°2 513
DS2 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
Devoir Surveillé n°3 520
DS3 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523
Concours Blanc n°1 529
CB1 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
Devoir Surveillé n°5 536
DS5 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538
Devoir Surveillé n°6 542
DS6 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545
Devoir Surveillé n°7 550
DS7 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553
Concours Blanc n°2 - Probabilités 559
CB2 - Probabilités : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563
Concours Blanc n°2 - Analyse 569
CB2 - Analyse : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572
xTABLE DES MATIÈRESDevoir Surveillé n°10 577
DS10 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578
Devoir Maison n°1 581
DM1 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
Devoir Maison n°2 587
DM2 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589
Devoir Maison n°3 594
DM3 : Aide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597
DM3 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599
Devoir Maison n°4 602
DM4 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604
Devoir Maison n°5 608
DM5 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611
Interrogation Écrite n°1 614
IE1 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615
Interrogation Écrite n°2 616
IE2 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617
Interrogation Écrite n°3 618
IE3 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619
Interrogation Écrite n°4 620
IE4 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621
Interrogation Écrite n°5 622
IE5 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623
Interrogation Écrite n°6 625
IE6 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626
Interrogation Écrite n°7 627
IE7 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628
V Colles629
Colloscope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632
Programme semaine 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636 Programme semaine 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637 Programme semaine 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638 Programme semaine 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639 Programme semaine 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640 Programme semaine 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641 Programme semaine 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642 Programme semaine 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643 Programme semaine 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644 Programme semaine 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645 Programme semaines 13 et 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646TABLE DES MATIÈRESxi
Programme semaine 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647 Programme semaine 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648 Programme semaine 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649 Programme semaine 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650 Programme semaine 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651 Programme semaine 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652 Programme semaine 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653 Programme semaine 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654 Programme semaine 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655 Programme semaine 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656 Programme semaine 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657 Programme semaine 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658 Programme semaine 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659 Programme semaine 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 660 Programme semaine 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661 Programme semaine 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662VI Informatique 663
TD1 : Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669
TD2 : Instructions conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671
TD3 : Instructions répétitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675
TD4 : Instructions répétitives (exercices) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678
TD5 : Boucles REPEAT et WHILE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683
TD6 : Boucles REPEAT et WHILE (exercices) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686
TD7 : Révisions sur les boucles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688
TD8 : Tableaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692
TD9 : Jeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695
Lexique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697
TD10 : Exercices sur les tableaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 700
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701
TD11 : Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705
TD12 : Complexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708
TD13 : Dichotomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710
TD14 : Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713
TD15 : Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717
TD16 : Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720
xiiTABLE DES MATIÈRESTD17 : Suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723
TD18 : Intégration numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726
TD19 : Variables infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 729
A Trombinoscope 733
B Pique-nique de fin d"année 739
Last but not least
xiiiTABLE DES MATIÈRESxv
Vous en rêviez tous depuis des mois, ça y est, le bilan final de votre année de mathématiques en
ECE3 est enfin prêt. Ah ouais, quand même, 12 juillet, il serait peut-être temps. Pour justifier ce
retard absolument honteux, je vous laisse le choix entre les explications suivantes : le prof est encore plus flemmard que (insérer ici le nom du camarade de votre choix dans laclasse, dont vous vous êtes dit à chaque fois que je rendais un devoir " Mais c"est pas possible
qu"il/elle ait encore douze points de plus que moi en en ayant glandé dix fois moins, la vie est injuste! »), il a mis deux semaines à se remettre au boulot après le pique-nique.le prof est moins organisé que toute la classe d"ECE3 réunie, et avait paumé la moitié des
documents distribués tout au long de l"année, il a du tout retaper.c"est totalement calculé, pour que vous ayez votre bilan au soir des résultats d"admission d"HEC
(ça y est, j"ai une ancienne élève qui a intégré, je peux partir tranquille, je n"aurai pas à prier
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