STA240 : Estimation parametrique 1 Estimation ponctuelle PDF

196 est le quantile d'ordre 0

Estimation et intervalle de confiance

Exercices : Martine Quinio. Exo7. Estimation et intervalle de confiance. Exercice 1. Un échantillon de 10000 personnes sur une population étant donné

L2 PSYCHOLOGIE 2012-13 (L.Gerin - L.Mesnager) EXAMEN

2.2) Donner une estimation ponctuelle de la proportion de salariés ayant déjà une estimation de cette proportion par un intervalle de confiance à 90%.

Solutions dexercices TD n 3

1) Déterminer une estimation ponctuelle de la proportion p des personnes qui votent. « oui » au référendum. 2) Déterminer un intervalle de confiance pour p

II - Estimation dun paramètre par intervalle de confiance

On veut estimer un paramètre (moyenne proportion…) d'un caractère dans une population P. Une estimation ponctuelle à partir d'un échantillon donné ne renseigne

Estimation ponctuelle et intervalle de confiance

e-?. Exercice 3. Le temps de vie en heure d'un certain composant électronique est supposé distribué suivant une loi normale N(µ

Exercices et problèmes de statistique et probabilités

6.2 Intervalles de confiance pour des paramètres de lois normales . Les chapitres concernant l'estimation ponctuelle permette d'aborder les notions ...

STA240 : Estimation parametrique 1 Estimation ponctuelle

Exercice 1. Utiliser la moyenne empirique pour proposer une estimation ponctuelle pour p. ... 2 Intervalles de confiance pour un échantillon gaus-.

Fascicule dexercices

3.3 Détermination d'estimateur et d'intervalle de confiance . Maurice (519 LET) Probabilités - Estimation statistique en 24 fiches et Exercices de.

Estimation par intervalle de confiance Corrigés

Exercice 1. 1. La proportion de poissons porteurs de parasites parmi les poissons péchés est 180. 900. = 1.

quantile d'ordre 095 de la loi N(01) l'estimation par intervalle de confiance au niveau 99 (au risque ?=1 ) de ? dans P s'écrit : 99 0 995 IC ( ? ) = 111 ± z 13 = [ 100 111 ± 2 575 × 1 3 ] ? [ 111 ± 3 3 ] = [ 107 7 ; 114 3 ] où z1?(?/2) = z0995 = 2575 est le

Estimation et intervalle de con?ance

intervalle de con?ance pour la proportion au seuil 95 : Ia = [f ya q f(1 f) n 1;p+ya q f(1 f) n 1] ’[4:7 10 4;1:7 10 3]: On peut choisir Ia comme intervalle de con?ance au seuil 95 de la proportion cherchée Par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev on a l’intervalle I = [f a; f +a]; avec: P[ X p 6 a] > 1 (VarX a2) et P[jX pj6 a

Estimations ponctuelles et par intervalles – Exercices – Devoirs

Aide aux calculs : ?530 7 ?9; ?15?4 1 Calculer la moyenne m et l’écart type s de cet échantillon 2 Estimer la moyenne et l’écart-type pour la population de cette entreprise 3 Déterminer un intervalle de confiance à 955 pour la moyenne QCM 2 corrigé disponible

Estimations et intervalles de con?ance Exemple - univ-toulousefr

On obtient donc l’intervalle de con?ance IC 0 95 = 35s2 k 350 975; 35S2 k 350 025 = [4 96;12 83] 5 A quel niveau de con?ance correspondrait un intervalle centré en m et de demi-longueur 0 76? On a 2t 351 a/2 s p n = 0 76 t 1 a/2 = 0 76 p n 2s1 a/2 = F 0 76 p n 2s a = 2 1 F 0 76 p n 2s a = 2(1 F(0 42)) = 0 68

CORRIGE des exercices sur les intervalles de confiance

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Résumé Cette vignette introduit la notion d’estimateur et ses propriétés : convergence biais erreur quadratique avant d’aborder l’estimation ponctuelle de paramètres de loi : proportion moyenne variance La connaissance des lois de ce estimateurs permet l’estimation par in- tervalle de confiance et donc de préciser l

STA240 : Estimation parametrique

1 Estimation ponctuelle

•Pour un paramètre inconnu, un estimateur est une fonction des données, qui prend des valeurs proches de ce paramètre. Il estsans biaissi son espérance est égale au paramètre. Il estconvergentsi la probabilité qu"il prenne des valeurs à distance au plusεdu paramètre, tend vers 1 quand la taille de l"échantillon tend vers l"infini. •Lafréquence empiriqued"un événement est un estimateur sans biais et convergent de la probabilité de cet événement. •Lamoyenne empiriqued"un échantillon est un estimateur sans biais et convergent de l"espérance théorique des variables. •Lavariance empiriqued"un échantillon est un estimateur convergent de la va- riance théorique des variables. On obtient un estimateur sans biais en multipliant la variance empirique parn/(n-1), oùnest la taille de l"échantillon. Exercice 1.On considère l"échantillon statistique(1,0,2,1,1,0,1,0,0).

1. Calculer sa moyenne et sa variance empiriques.

On trouve :x=69

=23 ets2x=49

2. En supposant que les données de cet échantillon sont des réalisations d"une va-

riable de loi inconnue, donner une estimation non biaisée de l"espérance et de la variance de cette loi. La moyenne empirique (2/3) est une estimation non biaisée de l"espérance. On obtient une estimation non biaisée de la variance en multipliants2xpar9/8: on trouve1/2.

3. On choisit de modéliser les valeurs de cet échantillon par une loi binomialeB(2,p).

Utiliser la moyenne empirique pour proposer une estimation ponctuelle pourp. L"espérance de la loiB(2,p)est2p. Elle est estimée par la moyenne empirique (ici :2/3). Donc la probabilitéppeut être estimée par : 2/32 =13

4. Avec le même modèle, utiliser la variance empirique pour proposer une autre

estimation dep. La variance de la loiB(2,p)est2p(1-p). Elle est estimée par1/2. On obtient une estimation depen résolvant l"équation2p(1-p) = 1/2, dont la solution est p= 1/2. 1

5. On choisit de modéliser les valeurs de cet échantillon par une loi de PoissonP(λ),

qui a pour espéranceλ. Quelle estimation ponctuelle proposez-vous pourλ?

On estimeλpar la moyenne empirique,2/3.

Exercice 2.On considère l"échantillon statistique (1,3,2,3,2,2,0,2,3,1).

1. En supposant que les variables de cet échantillon sont des réalisations d"une

variable de loi inconnue, donner une estimation non biaisée de l"espérance et de la variance de cette loi.

2. On choisit de modéliser les valeurs de cet échantillon par une loi binomialeB(3,p).

Utiliser la moyenne empirique pour proposer une estimation ponctuelle pourp. Exercice 3.On considère l"échantillon statistique (1.2,0.2,1.6,1.1,0.9,0.3,0.7,0.1,0.4).

1. On choisit de modéliser les valeurs de cet échantillon par une loi uniforme sur

l"intervalle[0,θ]. Quelle estimation ponctuelle proposez-vous pourθ?

2. On choisit de modéliser les valeurs de cet échantillon par une loi normaleN(μ,σ2).

Quelle estimation ponctuelle proposez-vous pourμetσ2?

2 Intervalles de confiance pour un échantillon gaus-

sien Un échantillon gaussien est unn-uplet(X1,...,Xn)de variables aléatoires indé- pendantes et de même loi normaleN(μ,σ2). On note :X=1n n i=1X ietS2=?1n n i=1X2i? -X 2, la moyenne et la variance empiriques de l"échantillon. •Si la variance théoriqueσ2estconnue, on obtient un intervalle de confiance de niveau1-αpourμpar : ?X-uα⎷σ

2⎷n

;X+uα⎷σ

2⎷n

oùuαest le quantile d"ordre1-α/2de la loi normaleN(0,1). 2 •Si la variance théoriqueσ2estinconnue, on obtient un intervalle de confiance de niveau1-αpourμpar : ?X-tα⎷S

2⎷n-1;X+tα⎷S

2⎷n-1?

oùtαest le quantile d"ordre1-α/2de la loi de Student de paramètren-1. •Si la variance théoriqueσ2estinconnue, on obtient un intervalle de confiance de niveau1-αpourσ2par :?nS2v

α;nS2u

oùuαest le quantile d"ordreα/2de la loi de khi-deux de paramètren-1, etvα est son quantile d"ordre1-α/2. Exercice 4.La force de compression d"un type de béton est modélisée par une variable gaussienne d"espéranceμet de varianceσ2. L"unité de mesure est lepsi(pound per square inch). Dans les questions de 1. à 4., on supposera la varianceσ2connue et égale à 1000. Sur un échantillon de 12 mesures, on a observé une moyenne empirique de 3250quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5

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CORRIGE DES EXERCICES : Estimation ponctuelle et estimation