[PDF] MAT 1600 Exercices sur les nombres complexes

View - Download MAT 1600 Exercices sur les nombres complexes

Previous PDF

Next PDF

MAT 1600

Exercices sur les nombres complexes

Les nombres complexes sont des nombres de la formez=a+ibo`uaetbsont des nombres r ´eels etirepr´esente une racine du nombre-1(et donci=p-1eti2= -1).`A cause de l"ajout de cette racineid"un nombre n´egatif (-1), l"ensemble des nombres complexes, not ´eC, contient plus que les nombres r´eels. L"ensembleCposs`ede quand mˆeme les quatre op

´erations´el´ementaires qu"a l"ensemble des r´eels,`a savoir l"addition, la soustraction, la

multiplication et la division. Siz1=a1+ib1etz2=a2+ib2, ces op´erations sont : addition:z1+z2= (a1+a2) +i(b1+b2); soustraction:z1-z2= (a1-a2) +i(b1-b2); multiplication:z1z2= (a1+ib1)(a2+ib2) = (a1a2-b1b2) +i(a1b2+a2b1); division:z1=z2= (a1+ib1)=(a2+ib2). Le r ´esultat d"une division peut souventˆetre simplifi´e comme suit : z 1z

2=a1+ib1a

2+ib2=a1+ib1a

2+ib2a

2-ib2a

2-ib2=(a1a2+b1b2) +i(b1a2-a1b2)a

22+b22:

Pour un nombre complexez=a+ibavecaetbr´eels, les nombresaetbsont appel´es parties r ´eelle et imaginaire respectivement. On´ecrit a=Rezetb=Imz:1. (a)(3-2i) + (-1-i) (b)(1+ip2) + (p2-i) (c)(1+i)(1-2i) (d)(2+3i)(2+i) (e)(p2+ip3)(p3-ip2) - (p3+ip2)(p2-ip3) (f)(4+i3)f(2-i) - (i-3)g (g)(2+ia)f(3+2i)+(1-i)gi; siaest lui-mˆeme un nombre complexe, est-ce que la r´eponse est diff

´erente?

2.

´Evaluer; s"il y a un d´enominateur, faire les simplifications n´ecessaires pour qu"il soit r´eel.

(a)(1-i)(1+i) (b)(1-i)=(1+i) (c)(1+ip3)(2+ip3)(p3-i)=(1-i)2 (d)

21-2i1+2i+i2+i2-i

(e) a+ibc+id-a-ibc-id (f) i2+i7+i11i

4+i10+i21+i23+i311

La conjugaison complexe d"un nombre complexez=a+ibest d´enot´ee par une barre

horizontale au-dessus de ce nombre (¯zest le conjugu´e complexe dez) et est donn´ee, lorsque

aetbsont les parties r´eelle et imaginaire dez, par :

Conjugaison complexe: ¯z=a-ib

La valeur absolue d"un nombre complexe, not

´ee parjzj, est donn´ee par

Valeur absolue:jzj= +pz¯z

et, siaetbsont les parties r´eelle et imaginaire dez, alors jzj=pa

2+b2:3.Siz1=1-i,z2= -2+ietz3=p5-i,´evaluer :

(a)z21+z2 (b)j¯z1j2 (c)¯z1z2+z1¯z2 (d)jz1-z3j (e)jz1(2+z2)j (f)Re(z1+2z2+z3) (g)Im(z1=z2) (h)jz1j2-ijz3j2 (i)(z2=¯z2+¯z2=z2) (j)(z1+¯z2)(z2+¯z3)

4.Soientz1;z2;z3trois nombres complexes quelconques. V´erifier que :

(a)z1¯z2-¯z1z2est un imaginaire pur, c"est-`a-dire sa partie r´eelle est nulle; (b)z1=z2+¯z1=¯z2est un nombre r´eel, c"est-`a-dire sa partie imaginaire est nulle; (c)la multiplication est associative :(z1z2)z3=z1(z2z3)et commutative :z1z2=z2z1; (d)(z1z2) = (z 1)(z

2).Chaque point deCpeutˆetre repr´esent´e par un point du plan. En effet, si on appellexla par-

tie r ´eelle dezetysa partie imaginaire, alors le nombre complexezpeutˆetre repr´esent´e par le point de coordonn ´ees(x;y)dans le plan. Alors l"axe horizontal correspond aux parties r ´eelles des nombres complexes et l"axe vertical aux parties imaginaires. (Exercice : v´erifier surlafigureci-contre( tionlelongdesaxesr

plexezposs`ede unerepr´esentation polaire, similaire`a celle utilis´ee pour les points du planxy.

Soit doncz=r(cos+isin)o`urest un nombre r´eel0etest un angle r´eel choisi tel que

0 < 2. Puisque la valeur absolue d"un nombre complexez=x+iy(de partie r´eellexet

imaginairey) estjzj=px

2+y2, le nombrerest simplementr=jzj. (Ceux qui se rappellent

la repr ´esentation polaire d"un vecteur(x;y)pourront faire le lien avec(x;y) =r(cos;sin) o `urestpx

2+y2.) L"angle doitˆetre choisi pour quex=Rez=rcosety=Imz=rsin.

Il faudra donc prendre la bonne branche de la fonction arctan pour que=arctany=x reproduise correctementxety. La d´efinition usuelle de arctan donne un r´esultat dans l"in- tervalle(-2 ;2 )et, pour couvrir tous les angles entre dans l"intervalle(0;2), un multiple entier dedevra peut-ˆetre ajout´e`a l"arctangente du quotienty=x. Ainsi 2

Out[422]=z1=-1+iz2=2+3iz3=3-iImzRezOut[663]=ImzRez-3z4=22HcosHq4L+isinHq4LLz5=2HcosHq5L+isinHq5LLq4=pê4q5=4pê3Repr´esentation polaire: siz=x+iyo`uxetysont des nombres r´eels, alors ce nombre

complexe peut

ˆetre´ecrit commez=r(cos+isin)avec

x=rcosety=rsin r=jzj=px

2+y2et=arctany=x+n;o`un2Z:

(Exercice:v bien

`a leur repr´esentation polaire.)5.Utiliser le lien entre les nombres complexes et leur repr´esentation cart´esienne pour montrer

que, pour toutz1;z22C: (a)jz1+z2jjz1j+jz2j; (b)jz1-z2jjz1j-jz2j; (c)et montrer cette derni`ere relation directement`a partir de la d´efinition de la valeur absolue :jz1z2j=jz1jjz2j.

6.Soientz1=r1(cos1+isin1)etz2=r2(cos2+isin2), montrer que :

(a)1=z1= (cos1-isin1)=r1 (b)¯z1=r1(cos1-isin1) (c)z1z2=r1r2(cos(1+2) +isin(1+2) (d)z1=z2=r1(cos(1-2) +isin(1-2)=r2 (e)zn1=(r1(cos1+isin1))n=rn1(cos(n1) +isin(n1)). Ceci est la formule de De Moivre.Un nombreuest appel´e une racinen-i`eme d"un nombre complexe si u n=z:

La repr

´esentation polaire permet de calculer les racinesn-i`emes d"un nombre complexe. Pour unz6=0donn´e, il existenracines distinctes de l"´equationun=z. Siz=r(cos+ isin), les racines sont

Lesnracinesn-i`emes dezsont :

u k=r1=n(cos((+2k)=n) +isin((+2k)=n)) 3 pourk=0;1;:::;n-1. Le r

´esultat ci-dessus d´ecoule de l"exercice 6 (e). Un autre r´esultat est intimement reli´e au

pr ´ec´edent. Supposons que le d´eveloppement en s´erie de Taylor pour la fonction exponen- tielle e z=1+z+12!z2+13!z3+=1X i=0z nn! ait un sens pourzun nombre imaginaire (z=i;2R) et qu"il soit possible d"intervertir l"ordre d"un nombre infini de termes de cette s ´erie (en d"autres termes, que la s´erie soit absolument convergente). Alors on peut

´ecrire pourz=i:

e =1+i-22!-i33!+44!+i55!-66!+:::

1-22!+44!-66!+:::

+i -33!+55!-::: =cos+isin o

`u,`a la derni`ere´etape, nous avons utilis´e le d´eveloppement de Taylor des fonctions sinus

et cosinus.

Formule d"Euler:

e i=cos+isin:

La formule d"Euler peut

ˆetre utilis´ee pour´ecrire l"exponentielle d"un nombre complexez quelconque. En effet, pour unz=x+iyavecxetyr´eels, on a : e z=ex+iy=exeiy=ex(cosy+isiny):7.Trouver les racines carr´ees et les racines cubiques de1+i.

8.Donner la forme desnracinesn-i`emes de l"unit´e, c"est-`a-dire dez=1, et v´erifier que, pour

n=4, on a bienu4=1pour les quatre racines.

9. (a)Soitnpair. Montrer que la somme desnracinesn-i`emes de l"unit´e´egale`a z´ero. Sug-

gestion : commencer par v ´erifier le r´esultat en dessinant les racines sixi`emes de l"unit´e dans le plan complexe. (b)Soitnimpair. Montrer que la somme desnracinesn-i`emes de l"unit´e´egale`a z´ero.

Note : cet exercice est plus difficile que le pr

´ec´edent.

10.Utiliser la formule d"Euler pour d´emontrer que

(a)cos(2) =cos2-sin2 (b)sin(2) =2sincos (c)sin3=34 sin-14 sin3 Note : pour les deux premiers de ces exercices, consid

´erer les parties r´eelles et imaginaires

dee2i=eiei.4

Solutions de quelques exercices

1. (a)2-3i

(c)3-i (e)2i (g)(-2-4a)+i(8-a); siaest un nombre r´eel, alors la partie r´eelle du nombre propos´e est (-2-4a)et sa partie imaginaire est(8-a). Si, cependant,aposs`ede une partie imaginaire, alors la partie r ´eelle du nombre propos´e sera(-2-4Rea+Ima)et sa partie imaginaire (8-Rea-4Ima).

2. (a)2

(c)-5+ip3 (e)2i(bc-ad)=(c2+d2)

3. (a)-2-i

(c)-6 (e)p2 (g) 15 (i)65

4. (a)Si on posez1=a1+ib1etz2=a2+ib2aveca1;b1;a2;b2des nombres r´eels, alors

z

1¯z2-¯z1z2=2i(a2b1-a1b2)qui est clairement un imaginaire pur.

(c)Et siz3=a3+ib3, les deux membres de l"´equation propos´ee sont : (a1a2a3-a3b1b2-a2b1b3-a1b2b3) +i(a2a3b1+a1a3b2+a1a2b3-b1b2b3):

5. (a) et (b)Siz1=x1+iy1etz2=x2+iy2, ces deux relations sont des cons´equences

de l"in ´egalit´e du triangle pour les vecteursv1= (x1;y1)etv2= (x2;y2). Par exemple, la premi `ere relation est pour un triangle dont deux des cˆot´es vont de l"origine`av1et l"autre`a -v2. Le troisi`eme cˆot´e va donc dev1`a-v2et est de longueurjv1-v2j=jz1+z2j.

6. (a)

1z 1=1r

1(cos+isin)=1r

1(cos+isin)cos-isincos-isin=1r

1(cos-isin):

(c) z

1z2=r1r2(cos1+isin1)(cos2+isin2)

=r1r2(cos1cos2-sin1sin2) +i(cos1sin2+sin1cos2) =r1r2(cos(1+2) +isin(1+2):

7.En coordonn´ees polaires, le nombre1+is"´ecritp2e

i=4. Donc ses racines carr´ees sont 2

1=4ei=8et21=4e9i=8.

8.Lesnracinesn-i`emes de1sontuk=e2ik=npourk=0;1;:::;n-1. Pourn=4, cette

expression devientu0=1,u1=ei=2=cos=2+isin=2=iet, similairementu2= -1 etu3= -i. Clairement, pour ces quatre racines, on a bienu4k=1. 5

9. (a)Notons d"abord queei=cos+isin= -1. Maintenant, sinest pair, il est de la forme

n=2mpour un certain entierm. Alors les racinesuketuk+ms"annulent deux`a deux dans la somme. En effet : u k+m=e2i(k+m)=n=e2i(k+m)=(2m)=e2ik=(2m)+i=e2ik=nei= -uk: Donc la somme des racinesn-i`emes de1est nulle, car lesmpremi`eres racines annulent les mderni`eres. 6quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32

[PDF] z+1/z-1=2i

[PDF] questions ? poser lors dun audit interne

[PDF] questions posées lors dun audit

[PDF] questionnaire audit interne pdf

[PDF] questionnaire d'audit interne gratuit

[PDF] audit interne questionnaire exemple

[PDF] integrale t^n/(1 t)

[PDF] intégrale de exp(-t)ln(t)

[PDF] ln(t)/(1 t^2)

[PDF] intégrale exp(-t)/t

[PDF] integrale sin(t)/t^2

[PDF] integrale sin(t)/t

[PDF] procédés théatraux

[PDF] tendinopathie genou traitement

[PDF] tendinite demi membraneux