MAT 1600 Exercices sur les nombres complexes
Soient z1z2
Premier exercice
consider the plane (P) of equation: x – y + z + 2 = 0 and the two straight lines (D) and (D') defined by the parametric equations: x t. (D) y t 1 z 2t 1.
Les nombres complexes - Lycée dAdultes
Nov 9 2014 À tout complexe z
Nombres complexes (partie 1)
> z = 3i est un imaginaire pur. > z = 3 est un réel. Définition 4 – Ensemble des imaginaires purs. On note iR l'ensemble des imaginaires
Nombres complexes (partie 1) - Editions Ellipses
> z = 3i est un imaginaire pur. > z = 3 est un réel. Définition 4 – Ensemble des imaginaires purs. On note iR l'ensemble des imaginaires
Chapitre 3 : C1 : Nombres complexes
Définition 3. Soit z un complexe de forme algébrique x + iy. 1 Si z est nombre imaginaire pur alors il peut s'écrire sous la forme z = iy.
NOMBRES COMPLEXES (Partie 2)
Propriétés : Soit z et z ' deux nombres complexes. a) z imaginaire : z z. = 3. 2. +. 1. 2 i. On cherche donc un argument ? de z tel que :.
Nombres complexes
i est un nombre complexe tel que i2 = ?1. a est la partie réelle de z et b est la partie imaginaire et on note a = Re (z) et b = Im(z).
Effectuer des calculs algébriques avec les nombres complexes
z = 2i ?1 n'est ni un réel
Forme trigonométrique dun nombre complexe. Applications Niveau
1. Module et argument. 2. Forme trigonométrique d'un nombre complexe z est un imaginaire pur si et seulement si Re(z)=0.
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z1 la solution de partie imaginaire positive et par z2 l’autre solution 2) Déterminer le module et un argument de chacune des solutions z1 et z2 3) Déterminer le module et un argument de ( ) 2 z1 et ( )z2 Dans le plan muni d’un repère orthonormal direct (O u v; ;) on considère les points ABA’ et B’ d’affixes respectives :
Comment montrer que le module de Z est un imaginaire pur ?
Je dois montrer que si le module de z est égale à 1 alors (z+1)/ (z-1) est un imaginaire pur ( avec bien-sûr z 1) Cependant je dois trouver deux autres ( ou plus ) méthodes pour le montrer autre qu'en posant z=a+ib et en remplaçant jusqu'à tomber sur un imaginaire pur. Or je ne sais pas comment calculer ce conjugué...
Comment calculer un imaginaire pur ?
Z (barre) = -Z donc Z = (z+1)/ (z-1) est un imaginaire pur. Posté par larrech 05-09-17 à 22:26
Quelle est la différence entre imaginaire pur et imaginaire imaginaire?
Danger imaginaire Sens : Risque inventé. Imaginaire pur Sens : "Imaginaire pur" désigne, dans le domaine des mathématiques, un nombre complexe dont la partie réelle est nulle.
Qu'est-ce que le carré d'un nombre imaginaire pur?
Le carré d'un nombre imaginaire pur est un nombre réel négatif, et les racines carrées d'un nombre réel négatif sont des imaginaires purs. Au XVI e siècle, les travaux de Cardan et de Bombelli ont montré l'intérêt d'utiliser des racines carrées de nombres négatifs dans les calculs.
Past day
Chapitre3:C1:Nombrescomplexes
1 Demander le programme2 Forme algébrique d"un nombre complexe.
2.1 Définitions générales
Un peu d"histoire
Si vous voulez découvrir une brève histoire des nombres en mathématiques avec un survol de l"apparition des
nombres complexes, vous pouvez visionner en cliquant directement sur ce lien.Définition1.
Un nombre complexe est un élément de la formex+iy, oùxetysont des réels etiun nombre imaginaire
vérifianti2=1.L"ensemble des nombres complexes est notéC.
Exemple1.
2 + 3i;i+ 1;5 ; 2;4i;+p2isont des nombres complexes.
Définition2.
L"écriturex+iy, oùx2Rety2R, d"un nombre complexezest appelée la forme algébrique du nombre
complexez.2.2 Partie imaginaire et partie réelle d"un nombre complexe
Définition3.
Soitzun complexe de forme algébriquex+iy.
1 Le nombre réelxest appelé la partie réelle deznotéeRe(z). Le nombre réelyest appelé la partie imaginaire deznotéeIm(z).Exercice1. Déterminer les partie réelle et imaginaire des complexes suivants :1)z1= 5 + 2i
2)z2= 28i
3)z3= 3
4)z4=2i
5)z5= 2i+ 1
Remarques1.
1) L"ensem bledes nom bresréels est incl usdans l"ensem bledes nom brescomplexes : RC2)Re(z)etIm(z)sont des nombres réels.
Définition4.
Un nombre complexe de forme algébriqueiyavecy2Rest appelé imaginaire pur. L"ensemble des nombres complexes imaginaires purs peut être notéiR.Théorème1.
Soientzetz0deux nombres complexes.
Deux complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et imaginaires sont égales.
z=z0si et seulement siRe(z) =Re(z0)etIm(z) =Im(z0).Démonstration.
Idées de la démonstration : travailler par double implication et utiliser un raisonnement par l"absurde pour le
sens réciproque. On notex+iyetx0+iy0les formes algébriques des nombres complexeszetz0respectivement.
(: SiRe(z) =Re(z0)etIm(z) =Im(z0)alorsx=x0ety=y0ainsiz=x+iy=x0+iy0=z0. ): à vous de jouer.Exercice2.Le but de cet exercice est de montrer le sens réciproque du théorème précédent : siz=z0alorsRe(z) =Re(z0)
etIm(z) =Im(z0). On notex+iyetx0+iy0les formes algébriques des nombres complexeszetz0respectivement.On suppose quex+iy=x0+iy0.
1)Démon trergrâce à un raisonnemen tpar l"absurde q uey=y0.( on cherchera à exprimerien fonction de
x,x0,yety0.) 2)En déduire que l"on a auss ix=x0.
Remarques2.
Ce théorème implique que la forme algébrique d"un nombre complexe est unique.Proposition1.
1)zest un réel si et seulement siIm(z) = 0.
2)zest un imaginaire pur si et seulement siRe(z) = 0.
3)z= 0si et seulement siRe(z) = 0etIm(z) = 0.
Démonstration.
Ces 3 propriétés découlent directement du théorème précédent garantisant l"unicité de la forme algébrique
Prenons par exemple la 2. :
Idées de la démonstration : travailler par double implication On notex+iyla forme algébrique du nombre complexez. (: SiRe(z) = 0alorsz=iy: par définition,zest un imaginaire pur. ): Sizest nombre imaginaire pur alors il peut s"écrire sous la formez=iy0D"après l"unicité de la forme algébrique d"un nombre complexe, on a :x= 0ety=y0doncRe(z) = 0.2
Exercice3.
Dans chacun des cas suivants, déterminer les réelsxetyvérifiant l"égalité :1)(2x) +i(2y3) = 4 + 6i.
2)(x+y) +i(2xy4) = 0.
3 Opérations sur les nombres complexes
3.1 Addition et multiplication sur les nombres complexes
Théorème2.(Admis)
Cpeut être muni ainsi d"une addition et d"une multiplication qui prolongent celles deRet pour lesquelles les
règles de calcul restent les mêmes.Proposition2.
Soient deux nombres complexeszetz0de formes algébriquesx+iyetx0+iy0. •Somme :z+z0= (x+x0) +i(y+y0) •Produit :zz0= (xx0yy0) +i(xy0+x0y)Exercice4.Comme la multiplication suit les mêmes règles que celles dansR, développer l"expression suivante :
(x+iy)(x0+iy0).Exercice5.Effectuer les calculs suivants :
2 + 3i(35i)
(1 +i)(212 i)3.2 Nombre conjugué
Définition5.
Nombre conjugué
On appelle nombre conjugué du nombre complexez=x+iyle nombre complexe notézde forme algébrique
xiy.Exercice6.Donnez les conjugué des complexes suivants :
1)z1=5i.
2)z2= 23i.
Proposition3.
z+z= 2Re(z)etzz= 2iIm(z).Démonstration.
Soitzun nombre complexe.
z+z=Re(z) +iIm(z) +Re(z)iIm(z) = 2Re(z) zz=Re(z) +iIm(z)Re(z) +iIm(z) = 2iIm(z).Proposition4. Pour tous nombres complexeszetz0et pour tout entier natureln.1)zest réel si et seulement siz=z.
2)zest imaginaire pur si et seulement siz=z.
3)z=z4)z+z0=z+z
0.5)zz0=zz
0. 6)z n=z n.Démonstration.
Toutes ces propriétés se démontrent à l"aide de la forme algébrique. 31)Idée de la démonstration p ource p oint: par double implication.
(sens direct) On suppose quezest un réel : z=Re(z). AlorsIm(z) = 0et doncz=Re(z) +i0 =Re(z) =z. (sens réciproque) On suppose quez=zdoncRe(z)+iIm(z) =Re(z)iIm(z)et par unicité de la forme algébrique d"un complexe, on en déduit doncRe(z) =Re(z)etIm(z) =Im(z). D"oùIm(z) = 0:z est un réel. 2)De la même manière que ci-dessus.
3)De la même manière que ci-dessus.
4)z+z0=Re(z+z0)iIm(z+z0) =Re(z)+Re(z0)iIm(z)iIm(z0) = (Re(z)iIm(z))+(Re(z0)
iIm(z0)) =z+z 0 5) démonstration à sa voirfaire !cf. l"exercice ci-dessous 6) démonstration à sa voirfaire !cf. l"exercice ci-dessous. Exercice7. Soientzetz0deux nombres complexes de forme algébrique respectivex+iyetx0+iy0.Montrer quezz0=zz
0.Exercice8.
Soientzun nombre complexe de forme algébriquex+iy.Montrer que pour tout entier natureln, on a :z
n=z n.Exercice9.Résoudre dansCles équations suivantes :
1)2z+ 5 + 2i=3(z+ 1) + 1 +i.
2)2z+iz= 52i.
Proposition5.
Voici la propriété essentielle sur le conjugué : Soitzun nombre complexe dont la forme algébrique estx+iy. zz=x2+y2.Exercice10.Développer(x+iy)x+iypour le prouver.
3.3 Inverse et division sur les nombres complexes
Définition6.
Soitzun nombre complexe de forme algébriquex+iy.Siz6= 0alors :1z
=z zz , c"est-à-dire :Siz6= 0alors :1z
=1x+iy=xiy(x+iy)(xiy)=xx2+y2+iyx
2+y2.Exercice11.
Déterminer la forme algébrique du nombre complexe :11+3i.
Définition7.
Quotient
Soitzetz0deux complexes de forme algébriquex+iyetx0+iy0.Siz06= 0alors :zz
0=z1z 0.Proposition6.
Soitzetz0deux complexes de forme algébriquex+iyetx0+iy0. Soitzun nombre complexe dont la forme algébrique estx+iy.Pour calculer une division
zz0, on multiplie le numérateur et le dénominateur parz
0le conjugué dez0.
Ainsi,
zz0=x+iyx
02+y02+ix0yxy0x
02+y02.
4Exercice12.
Déterminer la forme algébrique du nombre complexe :3+2i1i.
Proposition7.
zz0= 0si et seulement siz= 0ouz0= 0.Exercice13.
Résoudre l"équation suivante :
(z2)(2z1 +i) = 0.Exercice14.Résoudre l"équation2z3i= (z5)(1 +i).
Proposition8.
Pour tous nombres complexeszetz0et pour tout entier natureln.Siz06= 0alors1
z 0=1z 0et( zz 0) =z z 0.Démonstration.
Soitzun complexe non nul.(
1z )z=(4)1 z z=1 = 1.Ainsi(
1z )z= 1et( 1z ) =1zEn outre, siz06= 0,(
zz0) =z1z
0z1 z0=d"après ci-dessusz1z
0=z z0.4 Formule du binôme
4.1 Coefficients binomiaux
On considère une répétition denexpériences identiques où pour chacune, il n"y a que deux possibilités :
•soit un succès (notéS) •soit un échec (notéEouS)Définition8.
Une telle répétition est appelée un schéma de Bernoulli.On peut représenter cette répétition par un arbre comme ci-dessous oùn= 4répétitions sont considérées :5
On s"intéresse maintenant aux chemins qui permettent d"avoir un nombre fixekde succès.Par exemple, dans l"arbre précédent, si l"on veut obtenir les chemins où l"on ne rencontre quek= 1succès sur
lesn= 4répétitions, on obtient l"image suivante :Définition9. Soit un schéma de Bernoulli avecnrépétitions identiques. Pour tout entier06k6n, on appelle coefficient binomial, notén k, le nombre de chemins du schéma deBernoulli menant àksuccès.n
kpeut être lu "k parmi n".Remarques3.
Par convention0
0= 1Exemple2.4
2= 6: il y a 6 chemins possibles qui conduisent àk= 2succès surn= 4répétitions :
6Exercice15.
1) 42= 6: il y a 6 chemins possibles qui conduisent àk= 2succès surn= 4répétitions :
2)En déduire les v aleursde 3
0,3 1,3 2et3 3.Vous travaillerez en spécilité maths sur ces coefficients, en particulier, vous démontrerez les propriétés suivantes :
Proposition9.
Pour tout entierketntels que :06k6n:
1) n 0 =n n = 1. 2) n 1 =n 3) n k =n nk 4)n+ 1
k+ 1 =n k +n k+ 1Ces propriétés et les premières valeurs des coefficients binomiaux peuvent être mémorisées grâce au triangle de
Pascal :
7Exercice16.
Compléter le tableau précédent présentant le triangle de Pascal en rajoutant la ligne correspondant àn= 7.
Proposition10.
Soientnetkdeux entiers naturels tels que0kn.
Les coefficients binomiaux peuvent être obtenus par la formule : n k =n!k!(nk)!, oùn! =n(n1):::21avec la convention0! = 14.2 La formule du binôme de Newton
Exercice17.
aetbdésigne deux nombres complexes quelconques. 1)Dév elopperl"expression (a+b)2.
2)Dév elopperl"expression (a+b)3.
3)Dév elopperl"expression (a+b)4.
4) Que remarquez-v ousquan taux co efficentsapparaissan tdans le dév eloppementde (a+b)ndans les cas précédant? 5) Quel dév eloppementp ouvez-vousc onjecturerquan tà l"expression (a+b)5?Proposition11.
La formule du binôme de Newton :
Quels que soient les nombres complexesaetbet l"entier natureln, on a : 8 (a+b)n=nX k=0 n k a nkbk Ce qui peut s"écrire de manière moins condensée en : (a+b)n=an+n 1 a n1b+n 2 a n2b2+:::+n n2 a2bn2+n
n1 ab n1+bnVoici une démonstration de cette formule du binôme de Newton. Commencer par lire cette démonstration
ci-dessous avant de répondre aux questions qui suivent : 9Exercice18.
Démonstration.
On noteP(n)la propriété(a+b)n=nX
k=0 n k a nkbk, oùnest un entier naturel.Initialisation :
Pourn= 0, on a :
D"une part :(a+b)0= 1;
d"autre part : 0X k=0 0 k a0kbk=0
0 a0b0= 111 = 1.Ainsi,P(0)est vraie.
Hérédité :
Considérons un entiermtel queP(m)soit vraie, c"est-à-dire que(a+b)m=mX k=0 m k a mkbk. Montrons queP(m+ 1)est vraie, c"est-à-dire que :(a+b)m+1=m+1X k=0 m+ 1 k a m+1kbkLigne 1 :(a+b)m+1= (a+b)(a+b)m
Ligne 2 :(a+b)m+1= (a+b)mX
k=0 m k a mkbkLigne 3 :(a+b)m+1=mX
k=0 m k a m+1kbk+mX k=0 m k a mkbk+1Ligne 4 :(a+b)m+1=m
0 a m+1b0+mX k=1 m k a m+1kbk+m1X k=0 m k a mkbk+1+m m a 0bm+1Ligne 5 :(a+b)m+1=m
0 a m+1+mX k=1 m k a m+1kbk+mX p=1 m p1 a mp+1bp+m m b m+1Ligne 6 :(a+b)m+1=mX
k=1 m k a m+1kbk+mX p=1 m p1 a m+1pbp+am+1+bm+1Ligne 7 :(a+b)m+1=mX
k=1quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37[PDF] questions ? poser lors dun audit interne
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