[PDF] Nombres complexes i est un nombre complexe

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¸01¸°¸023

■■■■#! fl ´fi*" ggR´esum´e de cours

ΞNotation alg´ebrique des nombres complexes

Pr´esentation de C

D´efinition :On appellenombre complexetoute quantite de la formea+i?∅oθu(a∅?)2R?et oθu

iest un nombre complexe tel quei?=?1: aest lapartie reelledezet?est lapartie imaginaireet on notea=Re(z)et?=?m(z).

Vocabulaire :Si la partie reelle dezest nulle, on dit quezestimaginaire pur.Th´eor`eme 1.1.- Unicit´e de l"´ecriture d"un nombre complexe en notation alg´ebrique -.Pour

tout couple (z∅z0)2C?de nombres complexes,z=z0? ? Rez=Rez0 ?mz=?mz0On noteCl'ensemble des nombres complexes non nuls.

Conjugu´e et module d"un nombre complexe

D´efinition :Le conjuguedu nombre complexez=a+i?∅oθu(a∅?)2R?estz=a?i?:

Le conjugue verie les dierentes proprietes suivantes.Proposition 1.2.-Soit (z∅z0)2C?un couple de nombres complexes. Alors :

z+z0= z+ z0; siz06= 0,z=z 0= z=z0;z=z; z:z

0= zz0;Re(z) =∞?

(z+z);

?m(z) =∞?i(z?z).Corollaire 1.3.- Caract´erisation des nombres r´eels, imaginaires purs -.Soitz2Cun nombre

complexe. Alors :ze s tr eel,?m(z) = 0,z= z;

zest imaginaire pur,Re(z) = 0,z=?z.D´efinition :Le moduledu nombre complexez=a+i?∅oθu(a∅?)2R?est le reel positif ou nul

deβni parjzj=?zz=?a R

emarque :soitz2C, on a l'encadrement maxfjRezj∅j?mzjg ? jzj ? jRezj+j?mzj.Proposition 1.4.- Propri´et´es du module -.Pour tout couple (z∅z0) de nombres complexes,jz

: z0j=jzjjz0j;jz=z0j=jzj=jz0j;

jz+z0j ? jzj+jz0j;jz?z0j ?ββjzj ? jz0jββ:Remarque :jz+z0j=jzj+jzj0si, et seulement si, il existe un reel≥ >0 tel quez0=≥z.?OMBRES COMPLEXES3ΞΞ

Plan complexe

L

e plan complexePest le plan muni d"un rep`ere orthonormal directR= (O∅ ~{∅ ~|).`A tout nombre

complexez=x+iy∅o`u (x∅ y)2R2, on associe le pointMdePtel queωOM=x~{+y~|:On dit queMest l"?mage du c?m?lexezet quezest l"axe du ????tM:On peut associer aussi `az le vecteur~u=x~{+y~|:On dit quezest l"affixe du vecteur~u:

Nombres complexes de module 1

On noteUl"ensemble des nombres complexes de module 1:

Exponentielle imaginaire pure

D´efinition :Soit?2R, on appelleexponentielle imaginaire d'angle?, et on noteeiθle

complexeeiθ= cos(?) +isin(?).Proposition 1.5.- Repr´esentation des nombres complexes demodule 1 -.Pour tout nombre

complexez2U, il existe?2R, unique `a 2-pr`es, tel quez=eiθ.Th´eor`eme 1.6.- R`egles de calcul pour l"exponentielle imaginaire -.Soit (?∅?0)2R2, alors :ei0=

1 ; eiθ= 1=eiθ=e

iθ; ei(θ+θ0)=eiθeiθ0;ei(θθ0)=eiθ=eiθ0:Formules d"Euler et Moivre Th´eor`eme 1.7.-Pour tout r´eel?2Ret tout entier relatif\2Z,E u ler: cos(?) =eiθ+eiθ2 et sin(?) =eiθeiθ2i; M oivre :eiθn=einθ, soitcos(?) +isin(?)n= cos(\?) +isin(\?).Applications `a la trigonom´etrie

Lemme 1.8.- Factorisation d"une somme d"exponentielles -.Soit (?1∅?2)2R2, alorseiθ1+eiθ2= 2cos`?1?22

e iθ1+θ22 eiθ1eiθ2= 2isin`?1?22 e iθ1+θ22

:On d´eduit de ces propri´et´es, les formules de trigonom´etrie rappel´ees `a la fin du r´esum´e de cours.

Notation exponentielle des nombres complexesProposition 1.9.-Soitz2Cun nombre complexe non nul. Ilex??teun couple de r´eels (?∅?)2

R +Rtel quez=?eiθ=?cos?+isin?. Cette ´ecriture est appel´eef??me ex???e?t?elle ?u t??g???m?et???uedez.4CHAPITRE 1 D´efinition :Siz2C?s"´ecritz=ρe??, alors n´ecessairementρ=jzj. On appelleu\ ar}ume\t dez, et on noteArg(z)tout nombre r´eel tel quez=jzje?Arg(?).

Interpr´etation :soitMl

' imaged ansl ep lanc omplexed 'unc omplexen onn ulz=ρe??. Alors

ρ=jzjest la longueur du vecteurωOMetθest une mesure modulo 2πde l'angle oriente (?ı,ωOM).

Il n'y a donc pas unicite de l'ecriture exponentielle.Th´eor`eme 1.10.- D´efaut d"unicit´e de l"´ecriture en notation exponentielle -.Pour tout couple

(z,z0)2C?C?de nombres complexes non nuls :z=z0( ) jzj=jz0j

Arg(z)η Arg(z0)[2π]Notation :dans l"´enonc´e ci-dessus, on a not´eθ1ηθ2[2π]la relation9k2Z, θ2=θ1+ 2kπ.Proposition 1.11.- Propri´et´es des arguments -.Soit (z,z0)2C?C?etn2Z. AlorsAr

g (z.z0)η Arg(z) +Arg(z0) [2π] ;Arg(z/z0)η Arg(z) Arg(z0) [2π] ; Arg(z)η Arg(z) [2π] ;Arg(z?)ηnArg(z) [2π].Fonction exponentielle complexe D ´efinition :Soitz=x+iyen notation alg´ebrique. On d´efinit l"ex⎷o\e\tielle dezpar : e ?=ex+?y=exe?y=excosy+isiny). On appelle{o\?tio\ ex⎷o\e\tielle ?om⎷lexela fonction :CωC, z7ωe?. Les r`egles de calcul pour les fonctions exponentielles reelle et imaginaire pure, s'etendent `a la fonction exponentielle complexe. On a notamment8(z, z0)2C2, e?e??=e?+??. ?Racinesni`emesd"un complexe D´efinition :On appellera?i\eniemede l'u\itetout complexezv´erifiantz?= 1.L"ensemble des

racinesniemesde l"unit´e est not´eU?.Th´eor`eme 1.12.-Soitn2N,nλ1. Notons pourk2Z,zk= exp2?k?

.AlorsU ?=fzk;k2Zg=fz0,z1,...,z?-1gExemples : U

1=f1g,U2=f1,1g,U3=f1, j, j2g,U4=f1, i,1,ig, o`uj=e?2π3

.Proposition 1.13.- Racinesni`emesd"un complexe non nul quelconque -.Pour tout nombre complexeω2C?,il existe exactementncomplexeszveriantz?=ω. Si on poseω=ρe??, avec (ρ,θ)2R?+R, il s'agit des complexes denis par :8k2[ [ 0,n1]], zk(ω) =ρ1n e?(θn +2kπn )NOMBRES COMPLEXES5?? Proposition 1.14.-Siz2U\n f1g. Alors 1 +z+z2+...+z\?1= 0.F o rmulaired et rigonom´etrie En utilisant les nombres complexes, on peut d´emontrer certaines formules de trigonom´etrie et retrouver les autres :Proposition 1.15.- Formules d"addition et de duplication -. c o s(a+b) = cosacosbsinasinbcos2a= cos2asin2a sin(a+b) = sinacosb+ cosasinbsin2a= 2sinacosa tan(a+b) =tana+ tanb1t a natanbtan2a=2tana1ta n2aProposition 1.16.- Produits en somme (lin´earisation) -. c o sacosb=12 cos(a+b) + cos(ab) sinasinb=12 cos(ab)cos(a+b) sinacosb=12 sin(a+b) + sin(ab)En particulier, lorsquea=b,nous avons cos2a=12

1+ cos2a,sin2a=12

1cos2a.Proposition 1.17.- Transformations de sommes en produits

c o sp+ cosq= 2cospq2 cosp+q2 sinp+ sinq= 2cospq2 sinp+q2 c ospcosq=2sinpq2 sinp+q2 sinpsinq= 2cosp+q2 sinpq2 Proposition 1.18.- Formules utilisant la tangente de l"angle moiti´e -.En posantt= tanx2 quand cette quantit´e existe, on peut ´ecrire :cos(x)

= 1t21 +t2,sin(x) =2t1 +t2,tan(x) =2t1t2Attention :Les deux premi`eres formules permettent une param`etrisation du cercle unit´e priv´e

def1gque l"on explicitera dans le chapitre 4. Par ailleurs, ces formules seront aussi utiles pour trouver certaines primitives.6CHAPITRE 1

Methodes

??M´ethodes

´Etude d"une expression complexe

?M´ethode 1.1.- Comment montrer qu"un complexezest r´eel IO\ ⎷eut ?s?il est \o\ \ul? mo\trer ou e?rire que so\ ar}ume\t est u\ multi⎷le deπ. IO\ ⎷eut aussi mo\trer ou e?rire qu?il est e}al ?a so\ ?o\|u}ue.

IO\ ⎷eut aussi mo\trer que sa ⎷artie ima}i\aire est \ulle.Exemples :do\\o\s deux exem⎷les qui develo⎷⎷e\t deux ?hemi\eme\ts diere\ts.

Determi\o\s les valeurs den2N⎷our lesquelles le ?om⎷lexez?= ?∞+i??soit reel. Comme z ?est sous {orme d?u\e ⎷uissa\?en-i?eme? le mieux est de ⎷asser ?a la {orme tri}o\ometrique de ∞ +i.O\ e?rit ∞ +i=p?e?4 et do\? ?ommez?est evidemme\t \o\ \ul?Argz?= nArg?∞ +i? =nπ4 doit ?etre u\ multi⎷le deπ??est-?a-dire quendoit ?etre u\ multi⎷le de 4.

Soitz2CΓ fΓ∞getZ=zΓ∞z+

∞ ,o\ veut determi\erzde telle ma\i?ere queZsoit reel. Pour ?ela? o\ e?rit queZest reel si et seuleme\t siZ=Z,relatio\ qui s?e?rit? de ma\i?ere equivale\te ⎷arzΓ∞z+ ∞ =zΓ∞z+∞ ??est-?a-dire :zzΓz+zΓ∞ =zzΓz+ zΓ∞,z=z.Et o\ e\ deduit queZest reel si et seuleme\t sizest reel et diere\t deΓ∞.

Mise en oeuvre : exercice 1.2.

?M´ethode 1.2.- Comment montrer ou caract´eriser qu"un complexezest ima- ginaire pur IO\ ⎷eut mo\trer ou e?rire que so\ ar}ume\t est de la {ormeπ/? +kπ, k2Z. IO\ ⎷eut aussi mo\trer ou e?rire qu?il est o⎷⎷ose ?a so\ ?o\|u}ue.

IO\ ⎷eut aussi mo\trer que sa ⎷artie reelle est \ulle.Exemple :soitz2CΓ fΓ∞get re⎷re\o\sZ=zΓ∞z+∞ ,o\ veut determi\erzde telle ma\i?ere que

Zsoit ima}i\aire ⎷ur. Pour ?ela? o\ e?rit queZest ima}i\aire ⎷ur si et seuleme\t siZ=ΓZ,

relatio\ qui s?e?ritzΓ∞z+

∞ =ΓzΓ∞z+∞ ??est-?a-dire?zzΓz+zΓ∞ =Γzz+zΓz+∞,zz= ∞. Et o\

e\ deduit queZest ima}i\aire ⎷ur si et seuleme\t sizest eleme\t deU?z6=Γ∞?. ?M´ethode 1.3.- Comment simplifier un complexez´ecrit sous forme d"une puissance de complexes, du typeZ?,o`un2N etZnon nul U\e methode est d?e?rireZsous {orme tri}o\ometriqueZ=ρe??et da\s ?e ?as? o\ e?rit? de {a≂?o\ immediatez=ρ?e???NOMBRES COMPLEXES7ΞΞ

Exemple :on peut repartir de l"exemple pr´ec´edent de lam´ethode 1.1en ´ecrivant imm´ediatement

z= (1 +i)n= (⎷2) neinπ/4

Remarquons, au passage, que l"id´ee qui viendrait `a certains d"utiliser laformule du binˆome de

Newtonpour d´evelopper (1+i)n,dans l"espoir de simplifier cette expression, est `a sortir rapidement

de leur esprit. Ici ce n"est absolument pas indiqu´e voire contre-indiqu´e. Par contre laformule du

binˆome de Newtonpeut aider `a calculer certaines sommes. Ne r´esistons pas au plaisir de le faire,

vous aurez ainsi une m´ethode gratuite en plus! Par exemple, comme (1 +i)n= (⎷2) neinπ/4=n? k=0? n k? i k, en prenant s´epar´ement la partie r´eelle et la partie imaginaire, on a : ⎷2) nc o s? nπ4 n 2k? (-1)k,(⎷2) nsi n? nπ4 n

2k+ 1?

(-1)k

Mise en oeuvre : exercice 1.5.

?M´ethode 1.4.- Comment simplifier dans certains cas une expression complexe z´ecrite sous forme d"une somme ?Sizest une somme ou une diff´erence de complexes conjugu´es, on remarque alors que z=Z+Z=

2 Re(Z) ouz=Z-Z=2 iIm(Z).

?Sizest une somme de complexes de module 1,on ´ecrit alors ((α, β)?R2), z=eiα+eiβ=eiα+β2 eiα-β2 +ei-α+β2 =2eiα+β2 cos?α-β2 ?Exemple :siθest fix´e dans [0, π],on consid`ere z= 1 + cosθ+isinθ et on ´ecrit successivement z= 1 +eiθ=eiθ2 e i-θ2 +eiθ2 =2eiθ2 cos?θ2 O n remarque, en passant, que commeθ/2?[0, π/2],la forme obtenue dezest la forme trigo- nom´etrique (sizest non nul!). ?M´ethode 1.5.- Comment simplifier une expression complexez´ecrite sous forme d"un quotient ?On peut par exemple ´ecrire sous forme trigonom´etrique le num´erateur et le d´enominateur dezet utiliser les r`egles sur le module et l"argument d"un quotient. ?On peut aussi multiplier `a la fois le num´erateur et le d´enominateur par la quantit´e conjugu´ee du d´enominateur. ?On peut combiner les deux m´ethodes pr´ec´edentes.??8CHAPITRE 1quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37

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