MAT 1600 Exercices sur les nombres complexes
Soient z1z2
Premier exercice
consider the plane (P) of equation: x – y + z + 2 = 0 and the two straight lines (D) and (D') defined by the parametric equations: x t. (D) y t 1 z 2t 1.
Les nombres complexes - Lycée dAdultes
Nov 9 2014 À tout complexe z
Nombres complexes (partie 1)
> z = 3i est un imaginaire pur. > z = 3 est un réel. Définition 4 – Ensemble des imaginaires purs. On note iR l'ensemble des imaginaires
Nombres complexes (partie 1) - Editions Ellipses
> z = 3i est un imaginaire pur. > z = 3 est un réel. Définition 4 – Ensemble des imaginaires purs. On note iR l'ensemble des imaginaires
Chapitre 3 : C1 : Nombres complexes
Définition 3. Soit z un complexe de forme algébrique x + iy. 1 Si z est nombre imaginaire pur alors il peut s'écrire sous la forme z = iy.
NOMBRES COMPLEXES (Partie 2)
Propriétés : Soit z et z ' deux nombres complexes. a) z imaginaire : z z. = 3. 2. +. 1. 2 i. On cherche donc un argument ? de z tel que :.
Nombres complexes
i est un nombre complexe tel que i2 = ?1. a est la partie réelle de z et b est la partie imaginaire et on note a = Re (z) et b = Im(z).
Effectuer des calculs algébriques avec les nombres complexes
z = 2i ?1 n'est ni un réel
Forme trigonométrique dun nombre complexe. Applications Niveau
1. Module et argument. 2. Forme trigonométrique d'un nombre complexe z est un imaginaire pur si et seulement si Re(z)=0.
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z1 la solution de partie imaginaire positive et par z2 l’autre solution 2) Déterminer le module et un argument de chacune des solutions z1 et z2 3) Déterminer le module et un argument de ( ) 2 z1 et ( )z2 Dans le plan muni d’un repère orthonormal direct (O u v; ;) on considère les points ABA’ et B’ d’affixes respectives :
Comment montrer que le module de Z est un imaginaire pur ?
Je dois montrer que si le module de z est égale à 1 alors (z+1)/ (z-1) est un imaginaire pur ( avec bien-sûr z 1) Cependant je dois trouver deux autres ( ou plus ) méthodes pour le montrer autre qu'en posant z=a+ib et en remplaçant jusqu'à tomber sur un imaginaire pur. Or je ne sais pas comment calculer ce conjugué...
Comment calculer un imaginaire pur ?
Z (barre) = -Z donc Z = (z+1)/ (z-1) est un imaginaire pur. Posté par larrech 05-09-17 à 22:26
Quelle est la différence entre imaginaire pur et imaginaire imaginaire?
Danger imaginaire Sens : Risque inventé. Imaginaire pur Sens : "Imaginaire pur" désigne, dans le domaine des mathématiques, un nombre complexe dont la partie réelle est nulle.
Qu'est-ce que le carré d'un nombre imaginaire pur?
Le carré d'un nombre imaginaire pur est un nombre réel négatif, et les racines carrées d'un nombre réel négatif sont des imaginaires purs. Au XVI e siècle, les travaux de Cardan et de Bombelli ont montré l'intérêt d'utiliser des racines carrées de nombres négatifs dans les calculs.
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71. Effectuer des calculs algébriques avec les nombres complexes 7
1Effectuer des calculs algébriques
avec les nombres complexes Tout nombre complexe z peut s'écrire sous la forme unique x+iyx et y sont deux réels. Cette forme est la forme algébrique du nombre complexe z, le réel x est la partie réelle de z, notée Re(z), et le réel y est la partie imaginaire de z, notée Im(z).EXEMPLE 1. Si z=2i1Rez
=1 et Imz =2 car z=1+2iL'ensemble des nombres complexes est noté C
Un nombre complexe z est un réel si et seulement si Imz =0. Un nombre complexe z est un imaginaire pur si et seulement si Rez =0. EXEMPLE 2. Le nombre complexe 2i est un imaginaire pur et le nombre complexe z=2i1 Le conjugué du nombre complexe z=x+iyx et y réels, est le nombre z=xiyRe =Rez et Im =ImzEXEMPLE 3. Le conjugué de z=1+2iz=12i
L'addition, la soustraction et la multiplication dans C Ri 2 =1.EXEMPLE 4. Si z=1+2iz=42i
z+z=3 zz=1+2i 42i=1+2i4+2i=5+4i. zz=1+2i 42i
=4+2i+8i4i 2
Comme i
2 =1, on trouve : zz=4+2i+8i+4=10i z=x+iy iy =x 2 +y29782340-038493_001_336.indd 7
Nombres complexes8
Explication : d'après la 3
e identité remarquable, on a : x+iy iy =x 2 iy 2 =x 2 i 2 y 2 =x 2 +y 2EXEMPLE 5. En posant x=2y=1
2+i 2i =2 2 +1 2 =5 Connaître et savoir appliquer la formule du binôme de Newton.Pour tous nombres complexes a et b, on a :
a+b n k=0 n n k a nk b k =a n n 1 a n1 b+...+ n n1 ab n1 +b nEXEMPLE 6. En posant a=1b=2in=4
1+2i 4 =1 4 4 1 1 3 2i 1 4 2 1 2 2i 2 4 3 12i 3 +2i 4 1+2i 4 =1+42i +62i2 +42i
3 +2i 4 1+2i 4 =1+8i2432i+16=724i.
Que faire ?
Pour écrire un quotient sous forme algébrique, multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.EXEMPLE 7.
42i1+2i 42i
12i 1+2i 12i
48i+2i+4i
2 1 +2 248i+2i4
1+4 86i5
On trouve donc :
42i1+2i 8 6 i. Pour déterminer la partie réelle et la partie imaginaire d'un nombre complexe, donner sa forme algébrique. Si ce dernier dépend d'un nombre complexe z, remplacer z par x+iyx et y sont des réels (cf. exemple traité).
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1. Effectuer des calculs algébriques avec les nombres complexes 9
Conseils
Le conjugué de i2i+22i
i2 i+2 , n'est pas du type zz ab +b , ce qui donne alors i 2 2 =14=5.La partie réelle de z=2+i34i
() n'est pas 2. En effet, après avoir développé puis simplifié, on obtient : z=6+3iRez =6. Voilà pourquoi il faut penser à bien préciser que x et y sont des réels lorsqu'on pose z=x+iy Les parties réelle et imaginaire sont des nombres réels ! La partie imaginaire de 2+3ii. En particulier, ne pas confondre la partie imaginaire d'un nombre complexe avec un imaginaire pur. Si le temps le permet, penser à vérifier le résultat à l'aide de la calculatrice qui donne la forme algébrique du nombre complexe saisi.Exemple traité
Pour tout nombre complexe z, on associe le nombre complexe fz =z 2 +2z11 Déterminer les parties réelle et imaginaire de chacun des nombres suivants :
a fi b f2+i c f 1 2i2 Déterminer les parties réelle et imaginaire de fz
en fonction de celles de z.3 Existe-t-il des nombres complexes z non réels tels que fz
soit un réel ?Solution
1 a fi
=i 2 +2i1=1+2i1=2+2i.La partie réelle de fi
est 29782340-038493_001_336.indd 9
Nombres complexes10
b f2+i =2+i 2 +22+i1 donc en développant, on a :
f2+i =2+2i2+i 2 +22+2i1f2+i =2+2i21+22+2i1=22+i2+22
La partie réelle de f2+i
est 222+22 c f 1 2i 1 2i 2 2 2i 1= 1 44i+i2 2 2i 1= 1 34i
2 2i 1.
Or on a
1 34i3+i 4i 3+4i 3+i +4 2 3+i 3 25
4 25
i.
On a aussi
2 2i 22+i2i 2+i 4+2i 2 2 +1 2 4+2i 5 4 5 2 5 i, d'où : f 1 2i 3 25
4 25
i+ 4 5 2 5 i1= 2 25
14 25
i.
La partie réelle de f
1 2i est 2 et sa partie imaginaire est 142 On pose z=x+iyx et y réels, ce qui donne :
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