[PDF] Intégrales généralisées sin(1/t)e?1/





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Épreuve de Mathématiques 3 Exercice 1 (PT 2013 C)

15 nov. 2013 t2 dt est absolument convergente. Conclusion. lim. T?+?. ? T. 1 sin t t dt existe : L'intégrale. ? +?. 0 sin t t dt converge.



Intégrales impropres

+?. 2. 1 t (ln t)2 dt converge alors notre intégrale initiale est aussi convergente. Mini-exercices.1. Étudier la convergence des intégrales suivantes : ? 



lintégrale de Dirichlet

12 mars 2020 2. t ?? sin(t)/t est continue sur ]0 +?[ et prolongeable par continuité en 0 (valeur 1). L'unique borne impropre est au voisinage.



Chapitre 2 - Intégrales généralisées (ou impropres)

t2 dt. 2.1 Définition et exemples d'intégrales impropres cos(t) dt est divergente puisque la fonction sin(x) ne converge pas lorsque x tend.





Intégrales généralisées

sin(1/t)e?1/tt?k dt. Exercice 2. Calcul fractions rationnelles. Prouver la convergence des intégrales suivantes puis les calculer : 1). ? +? t=0.



Math 256-Intégrales

f(t)dt. La plus intuitive est de voir l'intégrale comme limite d'une somme. ?2/2. 0. 1. ?. 1?x2 dx. On pose x = sin t en choisissant.



TD 1 Intégrales généralisées

16 sept. 2016 en 0+ à 1 en 1 (fausse impropreté). Les changements de variable x = sin. 2 ?



1 Intégrales généralisées

sin(t)dt = 1 ? cos(x) et la fonction cos n'a pas de limite `a l'infini. 2 Calcul pratique des intégrales généralisées. Proposition 2.1 On désigne par [a 



The sine and cosine integrals - Lancaster

Hence also the value of this integral is ? 2 for a0 we deduce Z 1 0 sinatcosat t dt= 1 2 Z 1 0 sin2at t dt= ? 4: (3) We will use this several times later Since sin(a+ b)t+ sin(a b)t= 2sinatcosbt we can also deduce Z 1 0 sinatcosbt t dt= ˆ ? 2 if a>b 0; 0 if b>a 0: (4) Integrating by parts and using (3) and the fact that sin2 t



The sine and cosine integrals - Lancaster

Integrals with Trigonometric Functions Z sinaxdx= 1 a cosax (63) Z sin2 axdx= x 2 sin2ax 4a (64) Z sinn axdx= 1 a cosax 2F 1 1 2; 1 n 2; 3 2;cos2 ax (65) Z sin3 axdx= 3cosax 4a + cos3ax 12a (66) Z cosaxdx=



Evaluation of the sine and cosine integrals - Lancaster

We shall consider the integrals in their various appropriate forms of sint t and cost t We start with the “complete sine integral”: THEOREM 1 We have Z ? 0 sint t dt = ? 2 (1) Note ?rst that there is no problem of convergence at 0 because sint t ? 1 as t ? 0 A very quick and neat proof of (1) (to be seen for example in [Lo



FT SECOND FUNDAMENTAL THEOREM - MIT Mathematics

of variable rule (see (7) p PI 2 in these notes) You get successively t = au dt = adu dt t = adu au = du u We have to change the limits on the integral also: t = a and t = ab correspond respectively to u = 1u = b Thus the rule for changing variable in a de?nite integral gives Z ab a dt t = Z b 1 du u = L(b)



42 Line Integrals - Cornell University

and Cis the curve x= cost;y= sint;z= t0 t 2 4 2 LINE INTEGRALS 3 MATH 294 SPRING 1989 FINAL # 4 294SP89FQ4 tex 4 2 15 Evaluate the path integral I C

What are the integrals of Sint=T and cost=ton intervals?

In these notes, we consider the integrals of sint=tand cost=ton intervals like (0;1),(0; x) and (x;1). Most of the material appeared in [Jam1]. Companion notes [Jam2], [Jam3]deal with integrals ofeit=tpand, more generally,f(t)eit. THEOREM 1. We have Note rst that there is no problem of convergence at 0, becausesint!1 ast!0.

What is the definite integral of from to?

The definite integral of from to , denoted , is defined to be the signed area between and the axis, from to . Both types of integrals are tied together by the fundamental theorem of calculus. This states that if is continuous on and is its continuous indefinite integral, then . This means .

How do you express S(x)2 as an integral?

, we can expressS(x)2as an integral: in which we used (32) and limx!1[xS(x)2] = 0 (recalljS(x)j 2=x). The integral ofC(x)2is similar, with the additional remark that limx!0+[xC(x)2] = 0. We nish with another pair of integrals that require a little more work.

Are the integrals in 32 and 33 double integrals?

Of course, the integrals in (32) and (33) are really double integrals. Formal reversal ofthe double integrals duly delivers the stated values. However, the conditions for reversal ofimproper integrals are not satised, and one should really consider the integral on [0; R] ofRRsintdt=S(x) S(R).

Intégrales généralisées

Exercice 1.Étude de convergence

Étudier la convergence des intégrales suivantes : 1) t=-∞ dt et+t2e-t2) t=1 esint tdt3) ?1 t=0 tα-1 lntdt 4) t=e2 dt t(lnt)(lnlnt)5) t=0ln ?1 +t2 1 +t3 dt6) t=0

2 + (t+ 3)ln?t+ 2

t+ 4 dt 7) t=0 tlnt (1 +t2)αdt8) ?1 t=0 dt

1-⎷t9)

t=0 (t+ 1)α-tα tβdt 10) t=0sin(t2)dt11) ?1 t=0 dt arccost12) t=0 ln(arctant) tαdt 13) t=1 ln(1 + 1/t)dt (t2-1)α14) ?1 t=0 |lnt|β (1-t)αdt15) t=0tα?1-e-1/⎷t?dt 16) ?1 t=0sin(1/t)e-1/tt-kdt

Exercice 2.Calcul, fractions rationnelles

Prouver la convergence des intégrales suivantes puis les calculer : 1) t=0 dt (1 +t2)22) t=-∞ dt t2+ 2t+ 23) t=0 dt (1 +t2)4 4) t=-∞ dt (t2+ 1)(t2-2tcosα+ 1)5) t=0

2t2+ 1

(t2+ 1)2dt6) t=-∞ t2dt (t2+ 1)(t2+a2) 7) t=0 dt

1 +t48)

t=0 t2dt

1 +t49)

t=1 dt t6(1 +t10)

Exercice 3.Calcul, fonctions trigonométriques

Prouver la convergence des intégrales suivantes puis les calculer : 1) ?2π t=0 dt

2 + sint2)

t=-π 2dt

2 + sint+ cost3)

?π/2 t=0 ⎷tantdt 4) ?π/2 t=0 dt

3tant+ 25)

t=0 dt (asin2t+bcos2t)26) ?π/4 t=0costln(tant)dt

Exercice 4.Calcul, radicaux

Prouver la convergence des intégrales suivantes puis les calculer : 1) ?1 t=0 ?t

1-tdt2)

?10 t=1 dt

3⎷t-23)

?b t=a dt?(t-a)(b-t) 4) ?1 t=0 t5dt?1-t25) ?1 t=-1 dt (1 +t2)?1-t26) ?1 t=0 dt (4-t2)?1-t2 7) ?1 t=0 tdt?(1-t)(1 + 3t)8) ?1 t=0 dt (1 +t)

3?t2-t39)

?1 t=0arctan?1-t2dt 10) t=1 dt t?t10+t5+ 111) t=0 dt (1 +t2)⎷t int-généralisées.tex - vendredi 5 août 2016

Exercice 5.Calcul, divers

Prouver la convergence des intégrales suivantes puis les calculer : 1) t=2 etdt (e2t-5et+ 6)(et-1)2) t=0 dt ch4t+ sh4t3) t=0te-⎷tdt 4) ?1 t=0arcsintdt5) ?1 t=0 ln(1-t2) t2dt6) t=0 t3lnt (1 +t4)3dt 7) ?π/2 t=0lnsintdt8) ?1 t=0 lnt⎷1-tdt9) t=0 lnt

1 +t2dt

10) ?1 t=0 lnt (1 +t)?1-t2dt11) ?1 t=0 dt⎷1 +t+⎷1-t12) t=0ln 1 +a2 t2 dt 13) t=0ln 1 +t 1-t tdt (a2+t2)2

Exercice 6.Centrale PC 1999

Soit (ak) une suite de réels telle que?n

k=0ak= 0. Étudier la convergence de?+∞ t=0(?n k=0akcos(akt))dt/t.

Exercice 7.Chimie P 91

Existence et calcul def(x) =?π

0dt/(1-xcost).

Exercice 8.Chimie P 1996

Convergence et calcul de?+∞

t=0tdt/sht(on pourra décomposer l"intégrande en somme d"une série de fonctions).

Exercice 9.Calcul par récurrence

On poseIn=?π/2

t=0cos(2nt)ln(sint)dt(n?N?). Calculer 2nIn-(2n+2)In+1et en déduireInen fonction den.

Exercice 10.Calcul par récurrence

Soitα?]0,π[ etIn=

t=0 cosntdt

1-sinαcost.

CalculerIn+In+2en fonction deIn+1puis exprimerInen fonction deαetn.

Exercice 11.Calcul par récurrence

Calculer par récurrence :In=

?1 t=0 tndt

4?t3(1-t).

Exercice 12.Mines-Ponts 1999

CalculerIn=

t=0 dt (t+ 1)(t+ 2)...(t+n).

Exercice 13.Calcul de?∞

0sint/tdt

1)A l"aide d"une intégration par parties, montrer que

t=0 sint tdt= t=0 sin2t t2dt.

2)Montrer que l"intégraleIn=

?π/2 t=0 sin2nt t2dtest comprise entre les intégralesAn= ?π/2 t=0 sin2nt sin2tdtet

Bn=?π/2

t=0cotan2tsin2ntdt.

3)CalculerAn+An+2-2An+1etAn-Bn. En déduire les valeurs deAnetBnen fonction den.

4)Montrer queInn-→n→∞J=

t=0 sin2t t2dtet donner la valeur de cette dernière intégrale.

Exercice 14.?∞

0périodique/tdt

Soitf:R→Rcontinue, périodique de périodeT >0. On notem=1 T ?T t=0f(t)dt. Montrer que?+∞ t=Tf(t)/tdtconverge si et seulement sim= 0. int-généralisées.tex - page 2

Exercice 15.?∞

1f(t)/tdt

Soitfune application continue de [1,+∞[ dansR. Montrer que si l"intégrale?+∞ t=1f(t)dtconverge, il en est de même de l"intégrale?+∞ t=1f(t)/tdt. On pourra introduire la fonctionF(x) =?x t=1f(t)dt.

Exercice 16.Polynôme×e-t

Soit?:

?Rn[X]-→Rn+1

P?-→(a0,...,an)avecak=?+∞

t=0e-ttkP(t)dt.

1)Justifier l"existence de?.

2)Montrer que?est un isomorphisme d"ev.

Exercice 17.Constante d"Euler

Calculer

t=1 t-[t] t2dten fonction de la constante d"Euler.

Exercice 18.Constante d"Euler

Soitγla constante d"Euler. Montrer que...

1)?+∞

t=0e-tlntdt=-γ.2) ?1 t=0

1-e-t-e-1/t

tdt=γ.3) ?1 t=0 ?1 t+1 ln(1-t) dt=γ.

Exercice 19.Sommes de Riemann

Soitf: [a,b[→R+continue croissante. On poseSn=b-a n ?n-1 k=0f a+kb-a n

1)Si?b

t=af(t)dtconverge, montrer queSn-→n→∞ ?b t=af(t)dt.

2)Si?b

t=af(t)dtdiverge, montrer queSn-→n→∞+∞.

Exercice 20.Sommes de Riemann

Calculer limn→∞1⎷n2-1+1⎷n2-4+...+1?n2-(n-1)2.

Exercice 21.Comparaison série-intégrale

Soitf: [0,+∞[→Rcontinue décroissante telle que?+∞ t=0f(t)dtconverge.

1)Montrer que la série?∞

k=0f(k) converge et encadrer le reste :?∞ k=nf(k) à l"aide d"intégrales def.

2)Application : Pourα >1, donner un équivalent pourn→ ∞de?∞

k=nk-α.

Exercice 22.Comparaison série-intégrale

Soitf:R+→R. On pose, sous réserve de convergence,g(t) =?∞ n=0f(nt) pourt >0.

1)Sifest monotone et intégrable, montrer queg(t) existe pour toutt >0 et que l"on a :

tg(t)-→t→0+ u=0f(u)du.

2)Même question en supposantfde classeC1etf,f?intégrables.

3)On suppose maintenantfde classeC2etf,f?,f??intégrables.

Montrer queg(t) =1

t 0f+1

2f(0) + Ot→0+(t).

Exercice 23.Valeur moyenne d"une variable aléatoire à densité Soitf: [0,+∞[→R+continue telle que?+∞ t=0tf(t)dtconverge. On poseF(x) =?+∞ t=xf(t)dt.

1)Justifier l"existence deF(x), et montrer queF(x) = o(1/x) pourx→+∞.

2)Montrer que?+∞

t=0F(t)dt=?+∞ t=0tf(t)dt.

Exercice 24.?∞

0f(t)/t2dt

Soitf:R+→R+une fonction de classeC1vérifiant :?α >0 tq?x>0,f?(x)>α. Montrer que?+∞

t=1f(t)/t2dtdiverge.

Exercice 25.x(f(x)-f(x+ 1))

Soitf: [1,+∞[→R+une fonction décroissante telle que?+∞ t=1f(t)dtconverge. Montrer quexf(x)-→x→+∞0, puis que?+∞ t=1t(f(t)-f(t+ 1))dtconverge, et calculer la valeur de cette intégrale. int-généralisées.tex - page 3

Exercice 26.f(|t-1/t|)

Soitf: [0,+∞[→R+une fonction continue telle que?+∞ t=0f(t)dtconverge.quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19
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