[PDF] Intégrales convergentes 9 mai 2012





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Épreuve de Mathématiques 3 Exercice 1 (PT 2013 C)

15 nov. 2013 t2 dt est absolument convergente. Conclusion. lim. T?+?. ? T. 1 sin t t dt existe : L'intégrale. ? +?. 0 sin t t dt converge.



Intégrales impropres

+?. 2. 1 t (ln t)2 dt converge alors notre intégrale initiale est aussi convergente. Mini-exercices.1. Étudier la convergence des intégrales suivantes : ? 



lintégrale de Dirichlet

12 mars 2020 2. t ?? sin(t)/t est continue sur ]0 +?[ et prolongeable par continuité en 0 (valeur 1). L'unique borne impropre est au voisinage.



Chapitre 2 - Intégrales généralisées (ou impropres)

t2 dt. 2.1 Définition et exemples d'intégrales impropres cos(t) dt est divergente puisque la fonction sin(x) ne converge pas lorsque x tend.





Intégrales généralisées

sin(1/t)e?1/tt?k dt. Exercice 2. Calcul fractions rationnelles. Prouver la convergence des intégrales suivantes puis les calculer : 1). ? +? t=0.



Math 256-Intégrales

f(t)dt. La plus intuitive est de voir l'intégrale comme limite d'une somme. ?2/2. 0. 1. ?. 1?x2 dx. On pose x = sin t en choisissant.



TD 1 Intégrales généralisées

16 sept. 2016 en 0+ à 1 en 1 (fausse impropreté). Les changements de variable x = sin. 2 ?



1 Intégrales généralisées

sin(t)dt = 1 ? cos(x) et la fonction cos n'a pas de limite `a l'infini. 2 Calcul pratique des intégrales généralisées. Proposition 2.1 On désigne par [a 



The sine and cosine integrals - Lancaster

Hence also the value of this integral is ? 2 for a0 we deduce Z 1 0 sinatcosat t dt= 1 2 Z 1 0 sin2at t dt= ? 4: (3) We will use this several times later Since sin(a+ b)t+ sin(a b)t= 2sinatcosbt we can also deduce Z 1 0 sinatcosbt t dt= ˆ ? 2 if a>b 0; 0 if b>a 0: (4) Integrating by parts and using (3) and the fact that sin2 t



The sine and cosine integrals - Lancaster

Integrals with Trigonometric Functions Z sinaxdx= 1 a cosax (63) Z sin2 axdx= x 2 sin2ax 4a (64) Z sinn axdx= 1 a cosax 2F 1 1 2; 1 n 2; 3 2;cos2 ax (65) Z sin3 axdx= 3cosax 4a + cos3ax 12a (66) Z cosaxdx=



Evaluation of the sine and cosine integrals - Lancaster

We shall consider the integrals in their various appropriate forms of sint t and cost t We start with the “complete sine integral”: THEOREM 1 We have Z ? 0 sint t dt = ? 2 (1) Note ?rst that there is no problem of convergence at 0 because sint t ? 1 as t ? 0 A very quick and neat proof of (1) (to be seen for example in [Lo



FT SECOND FUNDAMENTAL THEOREM - MIT Mathematics

of variable rule (see (7) p PI 2 in these notes) You get successively t = au dt = adu dt t = adu au = du u We have to change the limits on the integral also: t = a and t = ab correspond respectively to u = 1u = b Thus the rule for changing variable in a de?nite integral gives Z ab a dt t = Z b 1 du u = L(b)



42 Line Integrals - Cornell University

and Cis the curve x= cost;y= sint;z= t0 t 2 4 2 LINE INTEGRALS 3 MATH 294 SPRING 1989 FINAL # 4 294SP89FQ4 tex 4 2 15 Evaluate the path integral I C

What are the integrals of Sint=T and cost=ton intervals?

In these notes, we consider the integrals of sint=tand cost=ton intervals like (0;1),(0; x) and (x;1). Most of the material appeared in [Jam1]. Companion notes [Jam2], [Jam3]deal with integrals ofeit=tpand, more generally,f(t)eit. THEOREM 1. We have Note rst that there is no problem of convergence at 0, becausesint!1 ast!0.

What is the definite integral of from to?

The definite integral of from to , denoted , is defined to be the signed area between and the axis, from to . Both types of integrals are tied together by the fundamental theorem of calculus. This states that if is continuous on and is its continuous indefinite integral, then . This means .

How do you express S(x)2 as an integral?

, we can expressS(x)2as an integral: in which we used (32) and limx!1[xS(x)2] = 0 (recalljS(x)j 2=x). The integral ofC(x)2is similar, with the additional remark that limx!0+[xC(x)2] = 0. We nish with another pair of integrals that require a little more work.

Are the integrals in 32 and 33 double integrals?

Of course, the integrals in (32) and (33) are really double integrals. Formal reversal ofthe double integrals duly delivers the stated values. However, the conditions for reversal ofimproper integrals are not satised, and one should really consider the integral on [0; R] ofRRsintdt=S(x) S(R).

Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne

Intégrales convergentes

La plupart des intégrales que vous rencontrerez ne sont pas des aires de domaines bornés du plan. Nous allons apprendre ici à calculer les intégrales de domaines non bornés, soit parce que l"intervalle d"intégration est infini, soit parce que la fonction à intégrer tend vers l"infini aux bornes de l"intervalle. Pour assimiler ce chapitre, vous avez juste besoin d"une petite révision des techniques de calcul des primitives, et d"une bonne compréhension de la notion de limite.

Table des matières

1 Cours 1

1.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Fonctions positives, intervalle non borné . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Fonctions positives, intervalle borné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Fonctions oscillantes, intervalle non borné . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 Fonctions oscillantes, intervalle borné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6 Plan d"étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Entraînement 19

2.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4 Devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5 Corrigé du devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Compléments 37

3.1 La pédagogie des sourds-muets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Un tour de passe-passe d"Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3 La courbe de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

9 mai 2012

Maths en LigneIntégrales convergentesUJF Grenoble1 Cours

1.1 Définitions et propriétés

Notre but dans ce chapitre est de calculer des intégrales sur des intervalles non bornés (allant jusqu"à+∞ou-∞), ou bien des intégrales sur un domaine borné, de

fonctions ayant une limite infinie en un point de l"intervalle d"intégration. Si on se réfère

à l"interprétation intuitive d"une intégrale comme la surface d"un domaine dans le plan, dans les deux cas nous cherchons à calculer des surfaces de domainesnon bornés. Considérons par exemple la fonctionfqui àt?R?associef(t) =|t|-3/2sin(t):

son graphe est représenté sur la figure 1. Comment donner un sens à l"intégrale def-20-16-12-8-4048121620-1.5

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 y=|t|^(-3/2) sin(t) tyFigure1 - Graphe de la fonctiont?→ |t|-3/2sin(t). surR? Nous souhaitons une définition qui respecte les propriétés de base que sont la relation de Chasles, la linéarité et la monotonie. On commence d"abord par identifier lespoints incertains, soit±∞d"une part, et d"autre part le ou les points au voisinage desquels la fonction n"est pas bornée (t= 0 dans notre exemple). On découpe ensuite l"intervalle d"intégration en autant d"inter- valles qui faut pour que chacun d"eux ne contienne qu"un seul point incertain, placé à l"une des deux bornes. La relation de Chasles impose que l"intégrale sur l"intervalle complet soit la somme des intégrales sur les intervalles du découpage. Dans l"exemple de la fonctionf(t) =|t|-3/2sin(t)ci-dessus, il faut découper en 4 sous-intervalles : 2 pour isoler-∞et+∞, et 2 autres pour le point incertain0. On pourra écrire par exemple : -∞f(t)dt=? -1 -∞f(t)dt+? 0 -1f(t)dt+? 1

0f(t)dt+?

1f(t)dt .

Le seul but est d"isoler les difficultés : les choix de-1et1comme points de découpage sont arbitraires (par exemple-3et10auraient convenu tout aussi bien). Par ce découpage, on se ramène à des intégrales de 4 types. 1 Maths en LigneIntégrales convergentesUJF Grenoble1. intégrale sur]- ∞,a],

2. intégrale sur[a,+∞[,

3. intégrale sur]a,b], fonction non bornée ena,

4. intégrale sur[a,b[, fonction non bornée enb,

Le changement de variablet?→ -tpermet de réduire ces 4 cas à 2 seulement. En effet : a -∞f(t)dt=? -af(-u)du , b af(t)dt=? -a -bf(-u)du . Nous devons donc définir l"intégrale dans deux cas distincts.

Définition 1.

1. Soitfune fonction continue sur[a,+∞[. On dit que l"intégrale?+∞

af(t)dt convergesi la limite quandxtend vers+∞de la primitive?x af(t)dtexiste.

Si c"est le cas, on pose :

af(t)dt= limx→+∞? x af(t)dt .(1) Dans le cas contraire, on dit que l"intégralediverge.

2. Soitfune fonction continue sur]a,b]. On dit que l"intégrale?b

af(t)dtconverge si la limite à droite quandxtend versade?b xf(t)dtexiste. Si c"est le cas, on pose :?b af(t)dt= limx→a+? b xf(t)dt .(2) Dans le cas contraire, on dit que l"intégralediverge.

Observons que la deuxième définition est cohérente avec les propriétés de l"intégrale

d"une fonction continue : si la fonctionfest continue sur[a,b]tout entier, alors?b xf(t)dt est une fonction dexcontinue ena, et (2) est vérifié.

Dans?+∞

af(t)dt, la borne de gauche de l"intervalle d"intégration n"a pas d"influence sur le comportement de l"intégrale. Supposonsfcontinue sur[a,+∞[et choisissons un réela?> a. Par la relation de Chasles, x af(t)dt=? a? a f(t)dt+? x a ?f(t)dt Comme ?a? af(t)dtne dépend pas dex, la limite de?x af(t)dtexiste si et seulement si celle de?x a ?f(t)dtexiste aussi. La convergence d"une intégrale ne dépend donc pas du comportement de la fonction sur des intervalles bornés, mais seulement de son comportement au voisinage de+∞. 2

Maths en LigneIntégrales convergentesUJF GrenobleSifn"est pas bornée au voisinage dea, la convergence de?b

af(t)dtne dépend pas deb, pour la même raison : elle ne dépend que du comportement defau voisinage de a.

Le résultat suivant est une conséquence immédiate de la linéarité des intégrales et

des limites.

Proposition 1.

1. Soientfetgdeux fonctions continues sur[a,+∞[, etα,βdeux réels. Si les inté-

grales?+∞ af(t)dtet?+∞ ag(t)dtconvergent, alors?+∞ aαf(t)+βg(t)dtconverge et aαf(t) +βg(t)dt=α? af(t)dt+β? ag(t)dt .

2. Soientfetgdeux fonctions continues sur]a,b], etα,βdeux réels. Si les intégrales?b

af(t)dtet?b ag(t)dtconvergent, alors?b aαf(t) +βg(t)dtconverge et b aαf(t) +βg(t)dt=α? b af(t)dt+β? b ag(t)dt . Quand on peut calculer une primitive de la fonction à intégrer, l"étude de la conver- gence se ramène à un calcul de limite. Voici plusieurs exemples.

L"intégrale

011 +t2dtconverge.

En effet,

x

011 +t2dt=?

arctan(t)? x

0= arctan(x)etlimx→+∞arctan(x) =π2

On pourra écrire :

011 +t2dt=?

arctan(t)?

0=π2

à condition de se souvenir que

arctan(t)?

0désigne une limite en+∞.

Par contre, l"intégrale

011 +tdtdiverge.

En effet,

x

011 +tdt=?

ln(1 +t)? x

0= ln(1 +x)etlimx→+∞ln(1 +x) = +∞.

L"intégrale

?1

0ln(t)dtconverge.

3 Maths en LigneIntégrales convergentesUJF GrenobleEn effet, 1 xln(t)dt=? tln(t)-t? 1 x=x-xln(x)-1etlimx→0+(x-xln(x)-1) =-1

On pourra écrire :

?1

0ln(t)dt=?

tln(t)-t? 1 0=-1.

Par contre, l"intégrale

?1 01t dtdiverge.

En effet,

?1 x1t dt=? ln(t)? 1

x=-ln(x)etlimx→0-ln(x) = +∞.(a)(b)(c)(d)Figure2 - Différents types d"intégrales : (a) intervalle non borné, fonction de signe

constant; (b) intervalle borné, fonction de signe constant; (c) intervalle non borné, fonction de signe non constant; (d) intervalle borné, fonction de signe non constant. Quand on ne sait pas calculer une primitive, on a recours à deux types de méthodes, selon que la fonction est ou non de signe constant au voisinage du point incertain. Il y a donc 4 cas distincts, selon le type du point incertain, et le signe, constant ou non, de

la fonction à intégrer. Ces 4 types sont schématisés dans la figure 2 et leur étude fait

l"objet des sections suivantes. 4 Maths en LigneIntégrales convergentesUJF Grenoble1.2 Fonctions positives, intervalle non borné

Nous considérons ici

af(t)dt, oùfest de signe constant au voisinage de+∞.

Quitte à réduire l"intervalle d"intégration, et à changer éventuellement le signe defs"il

est négatif, nous pouvons supposer que la fonction est positive ou nulle sur l"intervalle

d"intégration[a,+∞[(figure 3). Rappelons que par définition,(a)Figure3 - Intégrale d"une fonction positive sur un intervalle non borné.

af(t)dt= limx→+∞? x af(t)dt . Observons que si la fonctionfest positive, alors la primitive?x af(t)dtest une fonction croissante dex(car sa dérivée estf(x)). Quandxtend vers l"infini, soit?x af(t)dtest bornée, et l"intégrale?+∞ af(t)dtconverge, soit?x af(t)dttend vers+∞. Si on ne peut pas (ou si on ne veut pas) calculer une primitive def, on étudie la convergence en comparant avec des intégrales dont la convergence est connue, grâce au théorème suivant. Théorème 1.Soientfetgdeux fonctions positives et continues sur[a,+∞[. Suppo- sons quefsoit majorée pargau voisinage de+∞: ?A,?t > A , f(t)6g(t). •Si?+∞ ag(t)dtconverge alors?+∞ af(t)dtconverge. •Si?+∞quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19
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