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Math 256-Int´egrales

David Harari

2016-2017

1. Int´egrale d"une fonction continue

1.1. Rappels et d´efinitions

Soitfune fonction continue sur un intervalle ferm´e born´e [a,b] deR. Il y a plusieurs fa¸cons de d´efinir l"int´egrale?b af(t)dt. La plus intuitive est de voir l"int´egrale comme limite d"une somme. Historiquement, la notion d"int´egrale a ´et´e invent´ee pour calculer, quandfest `a valeurs positives, l"aire de la portion de plan c"est-`a dire celle comprise entre l"axe des abscisses et le graphe def. Quand fest `a valeurs n´egatives, on affecte cette aire d"un signe moins. Ducoup, la somme dont l"int´egrale va ˆetre la limite s"obtient en partageant [a,b] en intervalles de plus en plus petits et en calculant l"aire comme ci-dessus en approximantfsur chacun de ces petits intervalles par sa valeur en l"une des bornes. Plus pr´ecis´ement, cela donne le th´eor`eme suivant (dont on ne don- nera pas ici de d´emonstration, la th´eorie compl`ete de l"int´egrale de Riemann d´epassant le cadre de ce cours) : Theor`eme 1.1Soitfune fonction continue de[a,b]dansR(ou dansC).

Posonsxk=a+kb-a

n(pourk= 0,...,n; ainsi lesxksubdivisent l"intervalle [a,b]ennsegments d"´egale longueur(b-a)/n). Alors la suite v n:=n-1? k=0b-a nf(xk) =b-ann-1? k=0f(xk) converge. On appelle int´egrale defdea`absa limite, qu"on note?b af(x)dx, ou simplement?b af. 1

Noter que dans la notation?b

af(x)dx, la lettrexest "muette" (elle sert juste `a indiquer par rapport `a quelle variable on int`egre), on pourrait la remplacer par n"importe quelle lettre commetouu. En particulier, si on calcule une int´egrale du type?b af(x,t)dx, o`ufest une fonction de deux variablesxett, le r´esultat va ˆetre une fonction detet non pas dex. Noter aussi que la d´efinition est aussi valable pour des fonctionsen es- calier, c"est-`a-dire telles qu"il existe une subdivision de [a,b] en un nombre fini d"intervalles (Ii) avecfconstante sur chacun de ces intervalles. Dans ce cas, l"int´egrale est facile `a calculer, c"est simplement la somme finie? icili, o`uliest la longueur de l"intervalleIietcila valeur defsurIi.

1.2. Propri´et´es

a)Relation de Chasles. Sicest un point de [a,b], on voit facilement avec la d´efinition que a a f(t)dt= 0;? b a f(t)dt=? c a f(t)dt+? b c f(t)dt.

Avec la convention

?b a f(t)dt:=-? a b f(t)dt sia > b, on voit que cette relation de Chasles est v´erifi´ee poura,b,cquel- conques, `a condition bien entendu quefsoit d´efinie et continue sur les inter- valles concern´es. La relation de Chasles permet aussi d"´etendre la d´efinition de l"int´egrale `a des fonctions qui sont seulementcontinues par morceauxsur [a,b], c"est-`a-dire telles qu"il existe une subdivision finiex0=a,x1,...,xn=b de [a,b] avecfcontinue sur chaque ]xk,xk+1[,k= 0,...,n. Ceci s"applique par exemple `a la fonctionx?→x-E(x), o`uE(x) est la partie enti`ere du r´eel x. b)Lin´earit´e. Sifetgsont continues sur [a,b] etλ?R(ouλ?Csi on travaille avec des fonctions `a valeurs complexes), alors b a (f+g) =? b a f+? b a g. b a

λf=λ?

b a f.

Ainsi, l"application

f?→? b a f 2 est une application lin´eaire duR-espace vectoriel des fonctions continues de [a,b] dansR(not´eC0([a,b],R)) vers l"espace vectorielR. c)Positivit´e.Comme la limite d"une suite `a valeurs≥0 est encore≥0, on obtient : tinue sur[a,b]. On suppose quef(t)≥0pour toutt?[a,b]. Alors b a f(t)dt≥0. l"autre sens). On en d´eduit, en appliquant le th´eor`eme `ag-fet en utilisant la lin´earit´e : b a b a g(t)dt. corollaire : fonction continue. Alors b a b a |f(t)|dt. Ce dernier corollaire est encore valable pour une fonctionf`a valeurs complexes(en rempla¸cant comme d"habitude la valeur absolue par le module), de sens pour une fonction complexe) tombe en d´efaut. Par contre, il suffit d"utiliser la d´efinition du th´eor`eme 1.1 pour conclure. Le corollaire pr´ec´edent s"utilise souvent sous la forme : pour toutt?[a,b]. Alors b a 3

En effet on a

b a b a b a

Mdt=M(b-a).

Rappelons au passage qu"une fonctionfcontinue sur un intervalleferm´e born´e[a,b] est born´ee et atteint ses bornes (c"est faux pour un intervalle non ferm´e comme ]0,1], ex.f(t) = 1/t, ou non born´e commme [0,+∞[, ex. f(t) =t).

1.3. Primitives et int´egrales

D´efinition 1.6SoitIun intervalle deR. Soitfune fonction surI. Une primitivedefsurIest une fonctionF, d´erivable surI, et telle queF?=f. Proposition 1.7SiFest une primitive defsur un intervalleI, alors toutes les primitives defsont donn´ees parF+c, aveccconstante. En effet, une fonctionGest une primitive defsi et seulement siG?= f=F?, soit (F-G)?= 0, soitF-GconstantecarIest un intervalle. Attention cette hypoth`ese est essentielle car par exemple la fonction d´efinie parf(x) =x+ 1 six >0 etf(x) =x+ 2 six <0 est une primitive de la fonction constante 1 surR?. Par exemple la fonctionf(x) = lnxest une primitive de 1/xsurR?+: c"est la seule primitive qui s"annule enx= 1. On admettra dans ce cours le th´eor`eme suivant (aboutissementde la th´eorie de l"int´egrale de Riemann) : Theor`eme 1.8Soitfune fonction continue sur[a,b]. Alors la fonction

F(x) =?

x a f(t)dt est une primitive defsur[a,b]. Ainsi,Fest la primitive defqui s"annule ena. On ´evitera par contre la notation?f(t)dtou encore?xf(t)dt(qu"on trouve dans certains livres) pour d´esigner une primitive def, afin d"´eviter de travailler avec une fonction seulement d´efinie `a une constante pr`es. Corollaire 1.9Soitfune fonction continue sur[a,b]. SoitGune primitive quelconque def. Alors b a f(t)dt=G(b)-G(a). 4 En effet, le th´eor`eme pr´ec´edent donne?b af(t)dt=F(b) =F(b)-F(a), et on sait par ailleurs queF-Gest une constante d"o`uF(b)-F(a) = G(b)-G(a). On notera souvent [G(x)]ba:=G(b)-G(a) (ici,xest encore une variable muette).

Exemple 1.10a) On a?1

0xdx= [x2/2]10= 1/2. Plus g´en´eralement si

n?N?, alors?1 0 xndx= [xn+1/(n+ 1)]10=1 n+ 1. b) On a

0sinxdx= [-cosx]π0= 2.

c) Soitn?Z. Sin?= 0, alors on a 2π 0 eintdt= [eint in]2π0=1in-1in= 0.

Sin= 0, on a par contre?2π

0eintdt=?2π

01dt= 2π. Ce calcul s"av´erera tr`es

important quand on verra les s´eries de Fourier.

1.4. Techniques de calcul

a) Int´egration par parties.Quand on a `a int´egrer un produit de fonctions, il peut ˆetre commode d"utiliser la formule suivante, qui r´esulte de laformule de d´erivation d"un produit (fg)?=f?g+fg?. Theor`eme 1.11Soientfetgdeux fonctions de classeC1(c"est-`a dire d´erivables et dont la d´eriv´ee est continue

1) sur[a,b]. Alors

b a f?(x)g(x)dx= [f(x)g(x)]ba-? b a f(x)g?(x)dx. La formule marche aussi si les fonctionsfetgsont seulementC1par morceaux (via la relation de Chasles), c"est-`a-dire quand il existe une sub- divisiona=x0,...,xn=bde [a,b] telle quefetgsoientC1sur chaque ]xk,xk+1[,k= 0,...,n. Elle est bien entendu utile quand l"une des deux int´egrales est plus simple `a calculer que l"autre.

1Il peut arriver que la d´eriv´ee d"une fonction ne soit pas continue partout; on v´erifiera

par exemple que la fonction d´efinie parf(x) =x2sin(1/x) six?= 0 etf(0) = 0 est d´erivable mais que sa d´eriv´ee n"est pas continue en 0. 5

Exemple 1.12a) SoitI=?π/2

0xcosxdx. La formule donne :

I= [xsinx]π/2

0-?

π/2

0 sinxdx=π/2 + [cosx]π/2

0=π/2-1.

b) On peut calculer une primitive de la fonction ln surR?+par une int´egration par parties de la mani`ere suivante. Une primitive estF(x) =?x

1lntdt. Or,

F(x) =?

x 1

1.lntdt= [tlnt]x1-?

x 1 t(1/t)dt=xlnx-? x 1

1dt=xlnx-x+1.

Ainsi, une primitive de ln est la fonctionx?→xlnx-x+ 1, ou encore la fonctionx?→xlnx-x. b) Changement de variables.La base de cette technique de calcul est l"observation suivante : siF: [a,b]→Ret?: [α,β]→[a,b] sont des fonctionsC1, alors la fonction compos´eeF◦?:t?→F(?(t)) estC1et a pour d´eriv´eeF?(?(t)).??(t), qui vautf(?(t)).??(t) siFest une primitive de f. D"o`u : Theor`eme 1.13Soitfune fonction continue sur[a,b]. Soit?: [α,β]→ [a,b]une fonctionC1, avec?(α) =aet?(β) =b. Alors b a f(x)dx=? f(?(t)).??(t)dt. D´emonstration :SoitFune primitive def, posonsψ(t) =F(?(t)).

Alors?β

f(?(t)).??(t)dt=?

ψ?(t)dt=ψ(β)-ψ(α) =

F(?(β))-F(?(α)) =F(b)-F(a) =?

b a f(x)dx. Observons que sifest d´efinie est continue sur un intervalleIcontenant [a,b], la mˆeme preuve fonctionne `a condition que?([α,β])?I, ce qui est moins restrictif que demander que?soit `a valeurs dans [a,b]. Il n"est en particulier pas n´ecessaire que?soit bijective de [α,β] dans [a,b] mˆeme si en pratique c"est souvent le cas (on essaie de prendre l"intervalle [α,β] le plus petit possible). Par contre, il est essentiel que l"image de [α,β] par?ne sorte pas de l"intervalle de d´efinition def. 6 De fa¸con symbolique, si on veut utiliser la formule de la gauche vers la droite, on peut poserx=?(t) etdx=??(t)dt; il faut ensuite soigneusement choisirαetβtels que?(α) =aet?(β) =bet v´erifiant les hypoth`eses du th´eor`eme, ce qui est souvent la partie la plus difficile.

Exemple 1.14SoitI=?⎷

2/2

01⎷1-x2dx. On posex= sint, en choisissant

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