[PDF] 1 Définitions 2 Le groupe Z/nZ.

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Ecole Polytechnique

Formation preparatoire - EV2- Mathematiques

Resume sur les groupes

1 Denitions

Ungroupeest un ensembleG6=;muni d'une application deGGdansGqui a (g1;g2) associe g

1g2veriant les proprietes suivantes :

(i)g1(g2g3) = (g1g2)g3(associativite) (ii) il existee2Gtel que pour toutg2Gon aiteg=ge=g(eest l'element neutre) (iii)8g2G9g12G gg1=g1g=e(g1est l'inverse deg).

Exemples.

L'ensemble des entiersZmuni de l'addition + est un groupe. L'ensemble des matrices inversibles de taillen( c'est-a-direMde determinant non nul) surR(ou C) muni de la multiplication est un groupe noteGl(n;R) (ouGl(n;C)). L'ensemblen=fz2C;zn= 1g=fe2ik=n;k= 0;1;:::n1gmuni de la multiplication est un groupe

Zmuni de la multiplication n'est pas un groupe

Un groupeGest ditcommutatif(ouabelien) si pour tout (g;h)2GGon agh=hg. Tres souvent dans ce cas, la loi du groupe est notee + (Exemple :G=Z). Sixetysont dansG, on n'a pas toujours (xy)n=xnyn. Cette egalite n'est vraie que lorsque xy=yx(on ditxetycommutent). Exemples.Les groupesGl(n;R) etGl(n;C) ne sont pas commutatifs pourn2, les autres exemples donnes sont des groupes commutatifs. Un sous-groupeHdeGest ditdistingue(ounormal) si pour toutx2Get touth2H, on a xhx 12H. Un groupe est ditsimplesi ses seuls sous-groupes distingues sontfegetG.

2 Le groupeZ=nZ.

Soitn2N. On denit la relation d'equivalencesurZparxysi et seulement sindivisexy.

On noteZ=nZl'ensemble des classes d'equivalence :

La classe d'equivalence d'un entierxest le sous-ensemble deZforme des entiers de la formekn+x aveck2Z. Dans la suite, on representera la classe d'equivalence dexpar le rester2 f0;:::n1g de la division euclidienne dexparn. On note egalementxmodnla classe d'equivalence dex. La loi de groupe surZ=nZest denie par (xmodn) + (ymodn) = (x+y) modn. Cette ad- dition ne depend pas du choix dexet deydans la classe d'equivalence. En general, on ecrit : dansZ=nZ;on ax+y=:::. Exemple.DansZ=21Z, on a 10 + 33 = 10 + 12 = 22 = 1

Muni de cette loi,Z=nZest un groupe commutatif.

Bien s^ur, on peut denir une loi multiplicative surZ=nZen posant (xmodn)(ymodn) = (xy) modn. L'ensembleZ=nZ f0gmuni de cette loi n'est pas un groupe en general. On rappelle le resultat suivant : Theoreme de Bezout :Soitk2Z. Alors,ketnsont premiers entre eux si et seulement si il existe (u;v)2Z2tels queuk+vn= 1. Ainsi, on a : (Z=nZf0g;) est un groupe si et seulement sinest un nombre premier. Sinn'est pas premier, une classe n'a pas toujours d'inverse. On note (Z=nZ)l'ensemble des elements inversibles deZ=nZpour la loi. L'ensemble (Z=nZ) est forme desx2Z=nZtels quexest premier avecnet(Z=nZ);est un groupe commutatif.

Exemple.On aZ=5Z=f0;1;2;3;4get 44 = 1 32 = 1.

DansZ=8Z, 4 n'a pas d'inverse pour la multiplication (on ne peut pas trouverxtel que 4x=

1 mod 8).

Lemme Chinois: Simetnsont premiers entre eux alors

3 Groupes cycliques.

Un groupeGest ditcycliques'il existex02Gtel que, pour toutx2G, il existen2Zveriant x=xn0. On dit quex0est ungenerateurdeG.

Exemples et proprietes.

1)Zest cyclique dont les generateurs sont 1 et1. Un entierkpositif s'ecritk= 1 + 1 +:::+ 1|{z}

kfois2)Z=nZest cyclique,xest un generateur si et seulement sixest premier an. En eet par le theoreme de Bezout sixetnsont premiers entre eux, il existeuetvdansZtels queux+nv= 1 et donc ux= 1 modn. (Verier par vous-m^eme ce resultat pourn= 5,n= 6 etn= 12.)

3)n=fz2C;zn= 1gest cyclique de generateurse2ik=naveckpremier an.

4) SiGest cyclique, ses sous-groupes sont cycliques.

5) SiGest cyclique de cardinalnalorsGest isomorphe aZ=nZet pour toutddiviseur den, il existe

un unique sous-groupeHdeGcyclique de cardinald.

4 Groupes nis.

Un groupeniest un groupe qui a un nombre nind'elements. L'entiernest appele lecardinal oul'ordredeG. On note souventn=jGj.

SoitGun groupe d'ordre nijGj=n.

Theoreme de Lagrange.siHest un sous-groupe deGalorsjG=Hj jHj=jGj. L'ordred'un elementxdeGest le plus petit entierrtel quexr=e. Ne pas confondre l'ordre d'un groupe et l'ordre d'un element du groupe: sixest d'ordrek alors le sous-groupeHengendre parx(c'est-a-dire le plus petit sous-groupe contenantx) est d'ordre k. On aH=fe;x;x2;:::;xk1g. Ainsi, par le theoreme de Lagrange,l'ordre d'un elementx2Gdivise l'ordrejGjdu groupe

G. En particulier, pour toutx2G, on axn=e.

Exemples.

Dans (Z=pZ;+) avecpnombre premier, tout element non nul est d'ordre p.

DansZ=12Z, on a 1 est d'ordre 12, 2 est d'ordre 6, 3 est d'ordre 4, 6 est d'ordre 2, 7 est d'ordre 12,

8 est d'ordre 3, 9 est d'ordre 4, 11 est d'ordre 12.

5 Morphisme de groupes.

Unmorphisme de groupesentre deux groupesGetG0notes multiplicativement est une application':G!G0telle que (a) pour toutxetydansGl'on ait'(xy) ='(x)'(y) (b)'(e) =e0. Si de plus'est bijective, on dit que'est un isomorphisme (de groupes). SiGest note multiplicativement etG0additivement ces relations deviennent : (a) pour toutxetydansGl'on ait'(xy) ='(x) +'(y) (b)'(e) = 0.

Remarques:

(1) On a'(x) ='(y) si et seulement si'(xy1) =eet donc'est injective si et seulement si le noyau de'(noteKer(') =fx2G;'(x) =eg) estfeg. (2) sixest d'ordrekalors l'ordre de'(x) divisek. Ainsi, il est facile de voir queZ=2ZZ=2ZetZ=4Zne sont pas isomorphes, dans le premier les elements non nuls sont d'ordre 2, dans le second, l'element 3 est d'ordre 4.

Exemples:

':Z=nZ!n k!e2ik=nest un isomorphisme de groupes deZ=nZdansn. SiGest un groupe cyclique d'ordrenalors il existey2Gtel queG=fe;y;:::yn1g. et dans ce cas':Z=nZ!G k!ykest un isomorphisme de groupes deZ=nZdansG.

6 Le groupe symetrique.

Soitn2Nf0g. Legroupe symetriqueSnest l'ensemble des bijections def1;:::ng. Un element deSnest appelepermutation. Lesupportde2Snestfi2 f1;:::ng;(i)6=ig. Unk-cycleest une permutationtelle qu'il existei1;:::ikdistincts veriant(i1) =i2;(i2) = i

3;:::(ik) =i1et(j) =jsinon. On le note (i1;i2;:::ik).

Un 2-cycle est appele unetransposition.

Lasignaturedeestsign() =Y

i6=j(i)(j)ij2 f1;1g(on la noteegalement()). La signature est l'unique morphisme de groupes deSndansf1g. Legroupe altermeAnest le sous-groupe deSndes permutations de signature 1.

Proprietes:

1) Deux permutations de supports disjoints commutent.

2) Une permutation est produit de cycles de support disjoints.

3)Snest engendre par les transpositions.

4)Anest engendre par les 3 cycles.

5) Pourn5 le groupeAnest simple.

7 Action de groupe

SoitGun groupe etXun ensemble.

On dit queGopere (a gauche) surX(ou encore "Xest muni d'une action (a gauche) deG" ou encoreGagit (a gauche) surX") s'il existe une applicationGX!Xqui a (g;x) associeg:xtelle quee:x=xetg:(g0:x) = (gg0):x.

On noteg:X!Xl'application denie parg(x) =g:x.

C'est une bijection deXetg!gest morphisme de groupes deGdans l'ensemble des bijections de

Xmuni de la composition.

L'orbitedex2Xest l'ensembleOx=G:x=fy2X;9g2G y=g:xg. Lestabilisateurdex2Xest le sous-groupeGx=fg2G;g:x=xgdeG. L'applicationg!g:xinduit une bijection deG=GxdansOx. SiGest un groupe ni qui agit sur un ensemble niX, on al'equation aux classes: jXj=X x2GnXjOxj=jGjX x2GnX1jGxj Exemple.Laclasse de conjugaisond'un elementx2Gest l'orbite dexsous l'action deG sur lui-m^eme par conjugaison : (g;x)!g(x) =g x g1. Le sous-groupeGxest alors appele le centralisateurdex. A noter que la relationxysi et seulement si il existez2Gtel quex=zyz1denit une relation d'equivalence surGet les classes d'equivalence pour cette relation sont les classes de conjugaison.quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44

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