[PDF] 120 – Anneaux Z/nZ. Applications. 1 Le groupe additif (Z/nZ+) 2

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120. AnneauxZ/nZ. Applications.

1 Le groupeZ/nZ

1.1

´Etude alg´ebrique

D ´efinition 1.Soientn?N?,x,y?Z. On dit qu"ils sont congrus modulonsi x-y?nZ, et on notex≡y[n]. Proposition 2.nZest un sous-groupe deZ, distingu´e carZab´elien, c"est donc un groupe. Exemple3.Z/2Z={0,1}o`u0est la classe des entiers pairs et1la classe des entiers impairs. Th ´eor`eme 4.`A isomorphisme pr`es,Z/nZest le seul groupe cyclique d"ordren. Proposition 5.Pour toutddiviseur den,Z/nZposs`ede un unique sous-groupe d"ordred, engendr´e par( nd Exemple6.Le sous-groupe d"ordre2deZ/4Zest2Z/4Z={0,2}. D ´efinition 7.Pourn?N?, on appelle indicatrice d"Euler den, et on note?(n), le nombre de g´en´erateurs deZ/nZ. Proposition 8.Pour toutk?Z/nZ,kengendreZ/nZsi et seulement sik?n= 1. Application9.Sippremier,?(p) =p-1et?(pα) =pα-1(p-1). Exemple10.Les g´en´erateurs deZ/6Zsont1,5, et?(6) = 2.

Proposition 11.Pour toutn?N?, on an=?

d|n?(d). Proposition 12.Il y a exactementn?mmorphismes deZ/nZdansZ/mZ.

1.2 Produits directs

Th ´eor`eme 13(chinois).Soientm,n?N?.Z/mnZest isomorphe `aZ/mZ×Z/nZ si et seulement sim?n= 1. Th

´eor`eme 14.SoitGun groupe ab´elien fini.

Alors il existe une unique suite d"entiers naturelsd1,···,dktels queGsoit isomorphe `aZ/d1Z× ··· ×Z/dkZet?i?[[1,k-1]],di|di+1. Exemple15.Z/36Z×Z/15Zest isomorphe `aZ/2Z×Z/6Z×Z/30Z. Application16.`A isomorphisme pr`es, il existe 5 groupes ab´eliens d"ordre 48.2 L"anneauZ/nZ Proposition 17.nZest un id´eal deZ,Z/nZposs`ede donc une structure d"anneau quotient. L"isomorphisme de groupes donn´e par le lemme chinois est en fait un isomorphisme d"anneaux. 2.1

´El´ements inversibles

Proposition 18.kest inversible dansZ/nZsi et seulement sik?n= 1.

Corollaire 19.On a|(Z/nZ)?|=?(n).

Th ´eor`eme 20(Euler).On a, pour touta?Z,a?(n)≡1[n]. Corollaire 21(Fermat).Sipnombre premier, pour touta?Z,ap≡a[p].

Contre-exemple22.Nombres de Carmichael.

Application23(Cryptage RSA).Soientp,qdeux nombres premiers distincts. Soit n=pq, soientc,dtels quecd≡1[?(n)]. Les applicationsZ/nZ→Z/nZd´efinies par c:x?→x cetd:x?→x dsont respectivement appel´ees fonction de chiffrement et de d´echiffrement. On ac◦d=d◦c= IdZ/nZ. On peut ainsi transmettre des messages crypt´es `a l"aide de la cl´e publique(n,c)et de la cl´e priv´eed. Proposition 24.Sip≥3 premier, alors (Z/pαZ)?est isomorphe `aZ/pα-1(p-1)Z. Siα≥3,(Z/2αZ)?est isomorphe `aZ/2Z×Z/2α-2Z. Proposition 25.Pour toutn?N?, Aut(Z/nZ) et (Z/nZ)?sont isomorphes. 2.2

´El´ements nilpotents et idempotents

Proposition 26.Soitn=pα11···pαrr?N.x?Z/nZest nilpotent si et seulement six?p1···prZ. Proposition 27.x?Z/nZest idempotent si et seulement si, pour touti? [[1,r]],x≡0[pαii] oux≡1[pαii]. Corollaire 28.Il y a donc exactement 2r´el´ements idempotents.

Exemple29.Les idempotents deZ/12Zsont0,1,4,9.

3 Le corpsZ/pZ

3.1 G´en´eralit´es

Proposition 30.Z/pZest un corps si et seulement sipest premier. On le note alorsFp. Th ´eor`eme 31(Wilson).Soitp≥2.pest premier si et seulement si (p-1)!≡ -1[p].

Lemme 32.Fpest de caract´eristiquep.

Application33.Tout corps finiKde caract´eristiquepest unFp-espace vectoriel. Si on notersa dimension, il est de cardinalq=pr. Le groupe additif deKest alors isomorphe `a(Z/pZ)r, et son groupe multiplicatif `aZ/(pr-1)Z. 3.2

´El´ements carr´es

D ´efinition 34.Soitpnombre premier. Poura?Fp, on d´efinit le symbole de

Legendre par?ap

= 0 sia= 0,1 siaest un carr´e dansF?pet-1 sinon.

Proposition 35.On a, poura?Fp,?ap

=ap-12 . En particulier, le symbole de

Legendre est multiplicatif.

Corollaire 36.Il y a doncp+12

carr´es dansFp. Corollaire 37.-1 est un carr´e dansFpsi et seulement sip≡1[4]. Th ´eor`eme 38(Frobenius-Zolotarev).Supposonsp≥3, soitu?GLn(Fp). On a

ε(u) =?det(u)p

Th ´eor`eme 39(R´eciprocit´e quadratique).Soientp,qnombres premiers impairs distincts. On a?pq qp = (-1)p-12 q-12

Exemple40.65est un carr´e dansF29.

4 Applications

4.1 Crit`eres de divisibilit´e

Proposition 41.Soitx=k?

j=0a j10j?N. On a :-x≡α0+···+αk[3] etx≡α0+···+αk[9]. -x≡α0[2] etx≡a0[5]. -x≡α0-α1+···+ (-1)kαk[11]. 4.2

´Equations diophantiennes

D ´efinition 42.On appelle ´equation diophantienne une ´equation de la forme P(x1,···,xn) = 0, o`uP?Z[X1,···,Xn] et dont les solutions recherch´ees sont enti`eres. Proposition 43.Soienta≥2,b?Z?,c?Z. L"´equation diophantienneax+by=c est ´equivalente `a l"´equationby=cdansZ/aZ. Cette ´equation a des solutions si et seulement sia?b= 1 ou sic?(a?b)Z. Exemple44.Les solutions de522x+2214y= 36sont{(34+123k,-8-29k),k?Z}. Proposition 45.(x,y,z)?(N?)3est solution dex2+y2=z2si et seulement si il existed,u,v?Navecu?v= 1 tels que (x,y,z) ou (y,x,z) = (d(u2-v2),2duv,d(u2+ v 2)). Application46.Les ´equations diophantiennesx4+y4=z2etx4+y4=z4n"ont pas de solution non triviale. Th ´eor`eme 47.Soit Σ ={n?N,?(a,b)?N2,n=a2+b2}. Soitp≥3 premier.

Alorsp?Σ?p≡1 mod 4.

Corollaire 48.Soitn≥2, de d´ecomposition en facteurs premiersn=? p?Pp vp(n).

Alorsn?Σ?vp(n) pair pour toutp≡3 mod 4.

4.3 Irr´eductibilit´e des polynˆomes dansZ[X]

Th

´eor`eme 49(Eisenstein).SoitP=n?

k=0a kXk?Z[X]. S"il existeppremier tel

Q[X], et dansZ[X] si son contenu est 1.

Th ´eor`eme 50(R´eduction modulop).SoitP?Z[X], soitppremier, on notePle polynˆome obtenu en r´eduisant moduloples coefficients deP. Si deg(P) = deg(P) etPirr´eductible dansFp[X], alorsPirr´eductible dansQ[X]. Exemple51.3X3+ 17X-11est irr´eductible dansZ[X]et dansQ[X]. Contre-exemple52.X4+ 1est r´eductible dansFp[X]pour toutppremier, mais irr´eductible dansZ[X]etQ[X]. D ´efinition 53.Soitn?N?, soitω=e2iπ/n. On d´efinit Φn=? k?n=1(X-ωk). Proposition 54.Φn?Z[X] est irr´eductible dansQ[X].

D´eveloppements

- Loi de r´eciprocit´e quadratique. - Th´eor`eme des deux carr´es.

R´ef´erences

[1] F. Combes,Alg`ebre et g´eom´etrie, Br´eal. [2] X. Gourdon,Les maths en tˆete - Alg`ebre, Ellipses. [3] D. Perrin,Cours d"alg`ebre, Ellipses.quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26

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