[PDF] Chapitre 4 Groupe des inversibles de Z/nZ et applications





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1 Définitions 2 Le groupe Z/nZ.

k → e2iπk/n est un isomorphisme de groupes de Z/nZ dans µn. Si G est un groupe cyclique d'ordre n alors il existe y ∈ G tel que G = {e y



1 Le groupe Z/nZ 2 Lanneau Z/nZ

Théor`eme 4. `A isomorphisme pr`es Z/nZ est le seul groupe cyclique d'ordre n. Proposition 5. Pour tout d diviseur de 



120 – Anneaux Z/nZ. Applications. 1 Le groupe additif (Z/nZ+) 2

(Un groupe cyclique non-fini est isomorphe `a Z). Proposition 6. ¯k est générateur dans (Z/nZ+) ⇐⇒ pgcd(k



Chapitre 1 - Groupes monogènes. Groupes cycliques. Exemples

3. Pour tout entier naturel non nul n ((Z/nZ)∗.



Propriétés de Z/nZ

Un tel ensemble s'appelle un groupe une structure mathématique très importante. Un autre exemple de groupe est Z/nZ tout en- tier



Anneaux Z/nZ. Applications.

Cette première partie va définir Z/nZ en tant que groupe anneau et corps. Elle va notamment présenter en quoi ces structures se trouvent au coeur des groupes 





Leçon 120 : Anneaux Z/nZ. Applications. 1 Groupes cycliques 2

Elle est compa- tible avec l'addition et la multiplication dans Z ce qui munit l'ensemble quotient Z/nZ d'une structure d'anneau. 1 Groupes cycliques.



AUTOMORPHISMES DE Z/nZ

Les groupes Aut(Z/nZ) et (Z/nZ)∗ sont isomorphes. Aut(Z/nZ) ≃ (Z/nZ). ∗. En particulier Aut(Z/nZ) est un groupe abélien de cardinal ϕ(n). Démonstration 



Groupes monogènes

Z et Z/nZ sont des groupes monogènes 1 et ¯1 constituant des générateurs évidents. (notons que



1 Définitions 2 Le groupe Z/nZ.

k ? e2i?k/n est un isomorphisme de groupes de Z/nZ dans µn. Si G est un groupe cyclique d'ordre n alors il existe y ? G tel que G = {e y



1 Le groupe Z/nZ 2 Lanneau Z/nZ

Théor`eme 4. `A isomorphisme pr`es Z/nZ est le seul groupe cyclique d'ordre n. Proposition 5. Pour tout d diviseur de 



Condition de cyclicité des (Z/nZ)

Prérequis. On admet le fait suivant : si p est premier alors le groupe (Z/pZ). × est cyclique. Théorème. Pour n ? 1



Propriétés de Z/nZ

Un autre exemple de groupe est Z/nZ tout en- tier muni de son addition. Nous prouverons plus loin que dans certains cas ces groupes ont en fait une structure 



The Structure of (Z/nZ)

Apr 6 2018 If (Z/nZ)× is cyclic with generator a + nZ





AUTOMORPHISMES DE Z/nZ

s est un générateur du groupe (Z/nZ+);. • s appartient au groupe (Z/nZ)? des éléments inversibles pour la multiplication de l'anneau. Z/nZ. Démonstration.



120 – Anneaux Z/nZ. Applications. 1 Le groupe additif (Z/nZ+) 2

Définition 1. Les sous-groupes de (Z +) sont de la forme nZ



Chapitre 1 - Groupes monogènes. Groupes cycliques. Exemples

3. Pour tout entier naturel non nul n ((Z/nZ)?.



Cours : Groupes

On étu- diera ensuite les applications entre deux groupes : les morphismes de groupes. Finalement nous détaillerons deux groupes importants : le groupe Z/nZ et 



Cosets Lagrange’s theorem and normal subgroups

Our goal will be to generalize the construction of the groupZ=nZ Theidea there was to start with the groupZand the subgroupnZ=hni where 2N and to construct a set Z=nZwhich then turned out to be a group(under addition) as well (There are two binary operations + and onZ but Zis just a group under addition



Contents Introduction Preliminary results

THE MULTIPLICATIVE GROUP (Z/nZ)? Contents 1 Introduction 1 2 Preliminary results 1 3 Main result 2 4 Some number theoretic consequences : 3 1 Introduction Let n be a positive integer and consider Z/nZ = {01 n?1} If a and b are elements of Z/nZ we de?ned a·b = ab



Pro?nite Groups - Universiteit Leiden

(Z/nZ) the product topology This product is compact as a result of the theorem of Tychono? (the product of compact topological spaces is itself compact); the restriction Zb is therefore itself compact as Zb is closed in Q n (Z/nZ) The ring homomorphism Z ? Q n (Z/nZ) which takes every element to its reduction modulo n realizes Zb as the



The Structure of (Z=nZ - Trinity University

The Structure of (Z=nZ) R C Daileda April 6 2018 The group-theoretic structure of (Z=nZ) is well-known We have seen that if N = p n1 1 p r r with p i distinct primes and n i 2N then the ring isomorphism ˆof the Chinese remainder theorem provides a multiplication preserving bijection (Z=nZ) !(Z=pn 1 1 Z) (Z=pnr r Z)



Cyclic groups and elementary number theory II

(Z=nZ) is the set of all a2Z=nZ such that there exists an x2Z=nZ with ax= 1 i e ais an invertible element in the binary structure (Z=nZ;) Proposition 1 5 ((Z=nZ);) is an abelian group Proof The product of two invertible elements is invertible so that multipli-cation is a well-de ned operation on (Z=nZ) It is associative and commu-



Feuille d’exercices n 3 - Université Sorbonne Paris Nord

C - Le groupe Z/nZ 5 - Deux groupes d’ordre 4 non-isomorphes Montrer que les groupes Z/4Z et (Z/2Z) × (Z/2Z) sont tous les deux commutatifs et d’ordre 4 mais ne sont pas isomorphes 6 - Sous-groupes de Z/54Z D´eterminer les sous-groupes de Z/54Z Pour chaque sous-groupe en donner les g´en´erateurs



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Nous allons introduire dans ce chapitre la notion de groupe puis celle de sous-groupe On étu-diera ensuite les applications entre deux groupes : les morphismes de groupes Finalement nous détaillerons deux groupes importants : le groupe Z/nZ et le groupe des permutations Sn 1 Groupe 1 1 Dé?nition Dé?nition 1

Chapitre4

GroupedesinversiblesdeZ/nZet

applications

4.1Rappelsetexemples

U(Z/nZ)={

k,PGCD(k,n)=1}

Exercice4.1.1.D´emontrerquel"ordrede

kdans(Z/nZ,+)estnPGCD(k,n).

Exemples.

Z/abZ?Z/aZ×Z/bZ.

4.2StructuredeU(Z/pZ)pourppremier

ditqu"ilestcyclique. 15 Th´eor`eme4.2.2.Unpolynˆomede degr´em`acoefficientsdansuncorps(parexemple

Z/pZ,avecppremier)aauplusnracines.

telque:

P(a)=0etP?(a)?=0,

4.3StructuredeU(Z/pαZ)

4.3.1Casppremierimpair

suivantmontrequea=1+pestd"ordrepα-1.

Lemme4.3.2.Pourppremier,k≥0:

(1+p)pk≡1+pk+1(modpk+2). 16

4.3.2Casp=2,α≥3

LegroupeU(Z/2αZ)estdecardinal2α-1.

Th´eor`eme4.3.4.Pourα≥3

b)DansU(Z/2αZ)laclasse

5estd"ordrepα-2.

5k.

Lemme4.3.5.Pourk≥0:

(1+4)2k≡1+2k+2(mod2k+3). baseasietseulementsi:an-1≡1(modn). pourtoutebasepremi`ereavecn. toutdiviseurpremierden: a)p-1divisen-1, b)p2nedivisepasn. 17

TestdeMiller-Rabin.

b←0;r←n-1;

Tantque(restpair)faire

b←b+1;r←r/2;

FaitPourjde1`atfaire

choisirauhasarddentre2etn-2; d←(drmodn);

Si(d?=1)Alors

k←0;

Tantque(k d←(d2modn);k←k+1; Fait

Si(d?=n-1)Alors

Sortie("nonpremier");

FinSi FinSi

FinPour

Sortie("tr`esprobablementpremier");

Algorithme7:TestdeMiller-Rabin

toutapremieravecn: soitar≡1(modn), 18quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44

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