1 Définitions 2 Le groupe Z/nZ.
k → e2iπk/n est un isomorphisme de groupes de Z/nZ dans µn. Si G est un groupe cyclique d'ordre n alors il existe y ∈ G tel que G = {e y
1 Le groupe Z/nZ 2 Lanneau Z/nZ
Théor`eme 4. `A isomorphisme pr`es Z/nZ est le seul groupe cyclique d'ordre n. Proposition 5. Pour tout d diviseur de
120 – Anneaux Z/nZ. Applications. 1 Le groupe additif (Z/nZ+) 2
(Un groupe cyclique non-fini est isomorphe `a Z). Proposition 6. ¯k est générateur dans (Z/nZ+) ⇐⇒ pgcd(k
Chapitre 1 - Groupes monogènes. Groupes cycliques. Exemples
3. Pour tout entier naturel non nul n ((Z/nZ)∗.
Propriétés de Z/nZ
Un tel ensemble s'appelle un groupe une structure mathématique très importante. Un autre exemple de groupe est Z/nZ tout en- tier
Anneaux Z/nZ. Applications.
Cette première partie va définir Z/nZ en tant que groupe anneau et corps. Elle va notamment présenter en quoi ces structures se trouvent au coeur des groupes
Chapitre 4 Groupe des inversibles de Z/nZ et applications
U(Z/nZ) = {k PGCD(k
Leçon 120 : Anneaux Z/nZ. Applications. 1 Groupes cycliques 2
Elle est compa- tible avec l'addition et la multiplication dans Z ce qui munit l'ensemble quotient Z/nZ d'une structure d'anneau. 1 Groupes cycliques.
Groupes monogènes
Z et Z/nZ sont des groupes monogènes 1 et ¯1 constituant des générateurs évidents. (notons que
1 Définitions 2 Le groupe Z/nZ.
k ? e2i?k/n est un isomorphisme de groupes de Z/nZ dans µn. Si G est un groupe cyclique d'ordre n alors il existe y ? G tel que G = {e y
1 Le groupe Z/nZ 2 Lanneau Z/nZ
Théor`eme 4. `A isomorphisme pr`es Z/nZ est le seul groupe cyclique d'ordre n. Proposition 5. Pour tout d diviseur de
Condition de cyclicité des (Z/nZ)
Prérequis. On admet le fait suivant : si p est premier alors le groupe (Z/pZ). × est cyclique. Théorème. Pour n ? 1
Propriétés de Z/nZ
Un autre exemple de groupe est Z/nZ tout en- tier muni de son addition. Nous prouverons plus loin que dans certains cas ces groupes ont en fait une structure
The Structure of (Z/nZ)
Apr 6 2018 If (Z/nZ)× is cyclic with generator a + nZ
Chapitre 4 Groupe des inversibles de Z/nZ et applications
U(Z/nZ) = {k PGCD(k
AUTOMORPHISMES DE Z/nZ
s est un générateur du groupe (Z/nZ+);. • s appartient au groupe (Z/nZ)? des éléments inversibles pour la multiplication de l'anneau. Z/nZ. Démonstration.
120 – Anneaux Z/nZ. Applications. 1 Le groupe additif (Z/nZ+) 2
Définition 1. Les sous-groupes de (Z +) sont de la forme nZ
Chapitre 1 - Groupes monogènes. Groupes cycliques. Exemples
3. Pour tout entier naturel non nul n ((Z/nZ)?.
Cours : Groupes
On étu- diera ensuite les applications entre deux groupes : les morphismes de groupes. Finalement nous détaillerons deux groupes importants : le groupe Z/nZ et
Cosets Lagrange’s theorem and normal subgroups
Our goal will be to generalize the construction of the groupZ=nZ Theidea there was to start with the groupZand the subgroupnZ=hni where 2N and to construct a set Z=nZwhich then turned out to be a group(under addition) as well (There are two binary operations + and onZ but Zis just a group under addition
Contents Introduction Preliminary results
THE MULTIPLICATIVE GROUP (Z/nZ)? Contents 1 Introduction 1 2 Preliminary results 1 3 Main result 2 4 Some number theoretic consequences : 3 1 Introduction Let n be a positive integer and consider Z/nZ = {01 n?1} If a and b are elements of Z/nZ we de?ned a·b = ab
Pro?nite Groups - Universiteit Leiden
(Z/nZ) the product topology This product is compact as a result of the theorem of Tychono? (the product of compact topological spaces is itself compact); the restriction Zb is therefore itself compact as Zb is closed in Q n (Z/nZ) The ring homomorphism Z ? Q n (Z/nZ) which takes every element to its reduction modulo n realizes Zb as the
The Structure of (Z=nZ - Trinity University
The Structure of (Z=nZ) R C Daileda April 6 2018 The group-theoretic structure of (Z=nZ) is well-known We have seen that if N = p n1 1 p r r with p i distinct primes and n i 2N then the ring isomorphism ˆof the Chinese remainder theorem provides a multiplication preserving bijection (Z=nZ) !(Z=pn 1 1 Z) (Z=pnr r Z)
Cyclic groups and elementary number theory II
(Z=nZ) is the set of all a2Z=nZ such that there exists an x2Z=nZ with ax= 1 i e ais an invertible element in the binary structure (Z=nZ;) Proposition 1 5 ((Z=nZ);) is an abelian group Proof The product of two invertible elements is invertible so that multipli-cation is a well-de ned operation on (Z=nZ) It is associative and commu-
Feuille d’exercices n 3 - Université Sorbonne Paris Nord
C - Le groupe Z/nZ 5 - Deux groupes d’ordre 4 non-isomorphes Montrer que les groupes Z/4Z et (Z/2Z) × (Z/2Z) sont tous les deux commutatifs et d’ordre 4 mais ne sont pas isomorphes 6 - Sous-groupes de Z/54Z D´eterminer les sous-groupes de Z/54Z Pour chaque sous-groupe en donner les g´en´erateurs
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Nous allons introduire dans ce chapitre la notion de groupe puis celle de sous-groupe On étu-diera ensuite les applications entre deux groupes : les morphismes de groupes Finalement nous détaillerons deux groupes importants : le groupe Z/nZ et le groupe des permutations Sn 1 Groupe 1 1 Dé?nition Dé?nition 1
2019-2020
AUTOMORPHISMES DEZ=nZ
Références : Perrin, Cours d"Algèbre, pages24-26 Serre, Cours d"arithmétique, PUF, Paris (1970), pages12-13.Leçons possibles :
120: AnneauxZ=nZ. Applications.
104: Groupes finis. Exemples et applications.
Soitnun entier2. Sisdésigne un élément deZ, nous notonssson image dansZ=nZ. Proposition 1.Soits2Z. Les propriétés suivantes sont équivalentes : setnsont premiers entre eux; sest un générateur du groupe(Z=nZ;+); sappartient au groupe(Z=nZ)des éléments inversibles pour la multiplication de l"anneau Z=nZ.Démonstration.D"après Bezout on a
setnsont premiers entre eux()il existe,2Ztels ques+n= 1 ()il existe2Ztel ques=1dansZ=nZ ()s2(Z=nZ)D"autre part siappartient àZ, alorss=1()s=1
()s+s+:::+s |{z} fois=1 ()12 hsi () hsi=Z=nZ Définition.On appelle fonction d"Euler et on note'(n)le nombre d"entiersmtels que1mn mpremier avecn 1D"après la Proposition 1 on a l"égalité
'(n) =j(Z=nZ)j Par ailleurs sipest premier il est clair que'(p) =p1 '(p) =p1(p1)pour un certain2N Proposition 2.Les groupesAut(Z=nZ)et(Z=nZ)sont isomorphesAut(Z=nZ)'(Z=nZ)
En particulierAut(Z=nZ)est un groupe abélien de cardinal'(n). Démonstration.Soit un élément deAut(Z=nZ). Alors (1)est un générateur de(Z=nZ;+) donc (1)appartient à(Z=nZ)(Proposition 1). On peut vérifier que : 7! (1) est un homomorphisme. Soitdéfini sur(Z=nZ)par(s)x=sx. Commes(x+y) =sx+syon a :(s)est un endomorphisme de(Z=nZ;+). C"est un automorphisme puisque,sétant inversible,sx= 0 entraînex= 0. On peut vérifier queetsont réciproques l"un de l"autre. Précisons maintenant la structure de(Z=nZ)suivant la décomposition en facteurs premiers den. Pour ce faire rappelons le Lemme chinois : Proposition 3(Lemme chinois).Sipetqsont premiers entre eux, alorsZ=pqZ'Z=pZZ=qZ:
Démonstration.Soitn, resp.bn, resp._nla classe denmodulopq, resp.p, resp.q. Considérons l"homomorphismeZ=pqZ!Z=pZZ=qZ;n7!(bn;_n)
Il est injectif carpgcd(p;q) = 1. On conclut grâce à l"égalitéjZ=pqZj=jZ=pZZ=qZj. Proposition 4.Soitnun entier. Sin=p11p22:::prroù lespidésignent des entiers premiers distincts et lesides éléments deN, alors on a un isomorphisme d"anneauxZ=nZ'rY
i=1Z=piiZ un isomorphisme de groupes (Z=nZ)'rY i=1(Z=piiZ) et '(n) =rY i=1'(pii) =nrY i=1 11p i 2/5 Démonstration.La première assertion résulte du Lemme chinois. En passant aux éléments inversibles on obtient la seconde assertion.Il en résulte la troisième assertion.
Reste à déterminer la structure des(Z=pZ)pourppremier. Commençons par l"énoncé suivant :Lemme 5.Sipest un nombre premier, alors
(Z=pZ)'Z=(p1)Z: Remarque 6.Siddivisen, désignons parCdl"unique sous-groupe deZ=nZd"ordred. Soit dl"ensemble des générateurs deCd. Comme tout élément deZ=nZengendre l"un desCdle groupeZ=nZest réunion disjointe desdet n= #(Z=nZ) =X djn# d=X djn'(d): Lemme 7.SoitHun sous-groupe d"ordre finin. Supposons que pour tout diviseurdden #g2Hjgd= 1d:AlorsHest cyclique.
Démonstration.Soitdun diviseur den. S"il existeg2Hd"ordred, alors le sous-groupehgi=f1; g; g2; :::; gd1gengendré pargest cyclique d"ordred. Étant donnée l"hypothèse tout
élémenthdeHtel quehd= 1appartient àhhi. En particulier les seuls éléments deHd"ordred sont les générateurs dehgiet il y en a'(d). Si c"était0pour une valeur ded, alorsn=X djn'(d) impliqueraitjHj< n: contradiction. En particulier il existegdansHd"ordrenetH=hgi. Démonstration du Lemme 5.On applique le Lemme 7 àH= (Z=pZ)etn=p1. Il est en effet clair que l"équationxd= 1qui est de degréda au plusdsolutions dansZ=pZ.Il faut ensuite distinguer les casp= 2etpimpair.
Proposition 8.Sipest un nombre premier3etun entier2, alors (Z=pZ)'Z='(p)Z'Z=p(p1)Z: Lemme 9.Sikappartient àN, alors(1 +p)pk= 1 +pk+1pour un certain2Npremieràp.
Démonstration.Sik= 1, on a
(1 +p)p= 1 +p 1 p+:::+p i p i+:::+pp et pour1i < p,pdivisep idonc pouri2eti < p p3divisep ipiet commep3p3divise aussippde sorte que (1 +p)p= 1 +p2+up3= 1 +p2(1 +up) et= 1 +upest bien premier àp. 3/5 Supposons que(1 +p)pk= 1 +pk+1avecpremier àp, alors (1 +p)pk+1= (1 +pk+1)p= 1 +p1X i=1 p i ip(k+1)i+pp(k+1)p:Sii= 1, on apk+2et pouri2pk+3est en facteur donc
(1 +p)pk+1= 1 +pk+2(+up): Démonstration de la Proposition 8.D"après le Lemme 91 +pest un élément d"ordrep1de (Z=pZ). En effet (1 +p)p1= 1 +p1modp et (1 +p)p2= 1 +p1 avecp6 jdonc(1 +p)p26= 1dansZ=pZ. Considérons l"homomorphisme surjectif naturel induit par l"identité deZ: : (Z=pZ)!(Z=pZ) Soitgun élément de(Z=pZ)qui engendreZ=(p1)Z(Lemme 5). L"ordre degest un multiple dep1et donc dans le groupehgiil y a un élémenthd"ordrep1. Mais comme(Z=pZ) est abélien,h(1+p)est d"ordrep1(p1)en vertu du Lemme 9 et le groupe est cyclique.Il reste à traiter le casp= 2:
Proposition 10.On a8<
:(Z=2Z)=f1g (Z=4Z)=f1;1g 'Z=2Z (Z=2Z)'Z=2ZZ=22Zpour3 Remarque 11.Le groupe(Z=2Z)n"est donc pas cyclique dès que3. Lemme 12.Sikdésigne un élément deN, alors52k= 1 +2k+2pour un certainimpair. Démonstration.Pourk= 1, on a d"une part52= 25et d"autre part1 + 323= 25.Suppsons que(5)2k= 1 +2k+2. Alors
(5)2k+1= (1 +2k+2)2= 1 +2k+3+222k+4= 1 +(2 +2k+2)2k+2:
Démonstration de la Proposition 10.Les cas2et4sont triviaux. Traitons les autres,i.e.supposons que3. Considérons l"homomorphisme surjectif : (Z=2Z)!(Z=4Z)=f1;1g 'Z=2Z: PosonsN= ker . AlorsjNj= 22et52Nest d"ordre22(Lemme 12). Par suiteNest cyclique et on a la suite exacte1!Z=22Z!(Z=2Z) !Z=2Z!1
4/5 D"autre part comme1et1ne sont pas égaux modulo4, le sous-groupef1;1gde(Z=2Z) fournit un relèvement deZ=2Zde sorte que l"extension est scindée. Mais comme(Z=2Z)est abélien on a un produit direct : (Z=2Z)'Z=2ZZ=22Z 5/5quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26[PDF] classe de congruence
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