1 Définitions 2 Le groupe Z/nZ.
k → e2iπk/n est un isomorphisme de groupes de Z/nZ dans µn. Si G est un groupe cyclique d'ordre n alors il existe y ∈ G tel que G = {e y
1 Le groupe Z/nZ 2 Lanneau Z/nZ
Théor`eme 4. `A isomorphisme pr`es Z/nZ est le seul groupe cyclique d'ordre n. Proposition 5. Pour tout d diviseur de
120 – Anneaux Z/nZ. Applications. 1 Le groupe additif (Z/nZ+) 2
(Un groupe cyclique non-fini est isomorphe `a Z). Proposition 6. ¯k est générateur dans (Z/nZ+) ⇐⇒ pgcd(k
Chapitre 1 - Groupes monogènes. Groupes cycliques. Exemples
3. Pour tout entier naturel non nul n ((Z/nZ)∗.
Propriétés de Z/nZ
Un tel ensemble s'appelle un groupe une structure mathématique très importante. Un autre exemple de groupe est Z/nZ tout en- tier
Anneaux Z/nZ. Applications.
Cette première partie va définir Z/nZ en tant que groupe anneau et corps. Elle va notamment présenter en quoi ces structures se trouvent au coeur des groupes
Chapitre 4 Groupe des inversibles de Z/nZ et applications
U(Z/nZ) = {k PGCD(k
Leçon 120 : Anneaux Z/nZ. Applications. 1 Groupes cycliques 2
Elle est compa- tible avec l'addition et la multiplication dans Z ce qui munit l'ensemble quotient Z/nZ d'une structure d'anneau. 1 Groupes cycliques.
AUTOMORPHISMES DE Z/nZ
Les groupes Aut(Z/nZ) et (Z/nZ)∗ sont isomorphes. Aut(Z/nZ) ≃ (Z/nZ). ∗. En particulier Aut(Z/nZ) est un groupe abélien de cardinal ϕ(n). Démonstration
Groupes monogènes
Z et Z/nZ sont des groupes monogènes 1 et ¯1 constituant des générateurs évidents. (notons que
1 Définitions 2 Le groupe Z/nZ.
k ? e2i?k/n est un isomorphisme de groupes de Z/nZ dans µn. Si G est un groupe cyclique d'ordre n alors il existe y ? G tel que G = {e y
1 Le groupe Z/nZ 2 Lanneau Z/nZ
Théor`eme 4. `A isomorphisme pr`es Z/nZ est le seul groupe cyclique d'ordre n. Proposition 5. Pour tout d diviseur de
Condition de cyclicité des (Z/nZ)
Prérequis. On admet le fait suivant : si p est premier alors le groupe (Z/pZ). × est cyclique. Théorème. Pour n ? 1
Propriétés de Z/nZ
Un autre exemple de groupe est Z/nZ tout en- tier muni de son addition. Nous prouverons plus loin que dans certains cas ces groupes ont en fait une structure
The Structure of (Z/nZ)
Apr 6 2018 If (Z/nZ)× is cyclic with generator a + nZ
Chapitre 4 Groupe des inversibles de Z/nZ et applications
U(Z/nZ) = {k PGCD(k
AUTOMORPHISMES DE Z/nZ
s est un générateur du groupe (Z/nZ+);. • s appartient au groupe (Z/nZ)? des éléments inversibles pour la multiplication de l'anneau. Z/nZ. Démonstration.
120 – Anneaux Z/nZ. Applications. 1 Le groupe additif (Z/nZ+) 2
Définition 1. Les sous-groupes de (Z +) sont de la forme nZ
Chapitre 1 - Groupes monogènes. Groupes cycliques. Exemples
3. Pour tout entier naturel non nul n ((Z/nZ)?.
Cours : Groupes
On étu- diera ensuite les applications entre deux groupes : les morphismes de groupes. Finalement nous détaillerons deux groupes importants : le groupe Z/nZ et
Cosets Lagrange’s theorem and normal subgroups
Our goal will be to generalize the construction of the groupZ=nZ Theidea there was to start with the groupZand the subgroupnZ=hni where 2N and to construct a set Z=nZwhich then turned out to be a group(under addition) as well (There are two binary operations + and onZ but Zis just a group under addition
Contents Introduction Preliminary results
THE MULTIPLICATIVE GROUP (Z/nZ)? Contents 1 Introduction 1 2 Preliminary results 1 3 Main result 2 4 Some number theoretic consequences : 3 1 Introduction Let n be a positive integer and consider Z/nZ = {01 n?1} If a and b are elements of Z/nZ we de?ned a·b = ab
Pro?nite Groups - Universiteit Leiden
(Z/nZ) the product topology This product is compact as a result of the theorem of Tychono? (the product of compact topological spaces is itself compact); the restriction Zb is therefore itself compact as Zb is closed in Q n (Z/nZ) The ring homomorphism Z ? Q n (Z/nZ) which takes every element to its reduction modulo n realizes Zb as the
The Structure of (Z=nZ - Trinity University
The Structure of (Z=nZ) R C Daileda April 6 2018 The group-theoretic structure of (Z=nZ) is well-known We have seen that if N = p n1 1 p r r with p i distinct primes and n i 2N then the ring isomorphism ˆof the Chinese remainder theorem provides a multiplication preserving bijection (Z=nZ) !(Z=pn 1 1 Z) (Z=pnr r Z)
Cyclic groups and elementary number theory II
(Z=nZ) is the set of all a2Z=nZ such that there exists an x2Z=nZ with ax= 1 i e ais an invertible element in the binary structure (Z=nZ;) Proposition 1 5 ((Z=nZ);) is an abelian group Proof The product of two invertible elements is invertible so that multipli-cation is a well-de ned operation on (Z=nZ) It is associative and commu-
Feuille d’exercices n 3 - Université Sorbonne Paris Nord
C - Le groupe Z/nZ 5 - Deux groupes d’ordre 4 non-isomorphes Montrer que les groupes Z/4Z et (Z/2Z) × (Z/2Z) sont tous les deux commutatifs et d’ordre 4 mais ne sont pas isomorphes 6 - Sous-groupes de Z/54Z D´eterminer les sous-groupes de Z/54Z Pour chaque sous-groupe en donner les g´en´erateurs
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Nous allons introduire dans ce chapitre la notion de groupe puis celle de sous-groupe On étu-diera ensuite les applications entre deux groupes : les morphismes de groupes Finalement nous détaillerons deux groupes importants : le groupe Z/nZ et le groupe des permutations Sn 1 Groupe 1 1 Dé?nition Dé?nition 1
Condition de cyclicité des
(Z/nZ)×Émile Séguret
Pour les leçons :104, 108, 110, 120, 121
Références :en partie le Cours d"Algèbre de Perrin Prérequis.On admet le fait suivant : sipest premier, alors le groupe(Z/pZ)×est cyclique.Théorème.Pourn≥1,
(Z/nZ)×est cyclique??n= 1,2,4,pαou2pα,avecp≥3premier etα≥1.Démonstration.On commence par décomposernen produits de nombres premiersn= 2kpα11···pαrraveck,r≥0,αi≥1,pi≥3premiers. On fait une preuve en deux étapes. La première permet de se
restreindre à des valeurs particulières den, que l"on traite ensuite dans la seconde étape. Étape 1.Discuter suivant les valeurs deketr. Pour cela on établit d"abord un lemme. Lemme 1.Sin=n1n2avec pgcd(n1,n2)= 1et pgcd(?(n1),?(n2))≥2, alors(Z/nZ)×n"est pas cyclique. Preuve.Par le théorème Chinois, on a l"isomorphisme d"anneauxZ/nZ?Z/n1Z×Z/n2Zqui induit l"isomorphisme de groupes(Z/nZ)×?(Z/n1Z)××(Z/n2Z)×=G1×G2. Soitm=ppcm(?(n1), ?(n2)) Applications.1. Sir≥2, alors(Z/nZ)×n"est pas cyclique,
2. Sik≥2etr≥1, alors(Z/nZ)×n"est pas cyclique.
Preuve.Pour le premier point on écritn=pα11pα22mavecp1etp2premiers avecm. On noten1=pα11etn2=pα22mde sorte quen=n1n2vérifie les conditions du lemme 1. En effetn1etn2sont premiers
entre eux et?(n1) =pα1-11(p1-1)et?(n2) =pα2-12(p2-1)?(m)sont tous les deux pairs. Le résultats
du lemme 1 conclut.On fait de même pour le second point en écrivantn= 2kpα11m, avecmimpair non divisible parp1. Si
n1= 2ketn2=pα11malors?(n1) = 2k-1et?(n2) =pα1-11(p1-1)?(m)sont pairs.
Conséquence :Il nous reste les casn= 2k(k≥0),n=pαetn= 2pα(α≥1,p≥3premier).
1Étape 2.Traiter ces cas.
Casn= 2k(k≥0).
D"abord(Z/1Z)×et(Z/2Z)×sont triviaux et(Z/4Z)×={1mod4,3mod4} ?Z/2Z. Ensuite (Z/8Z)×={1mod8,3mod8,5mod8,7mod8} ?(Z/2Z)2est non cyclique.Soient maintenantk≥3etf:xmod2k??
Z/2kZ?
×?→xmod8?(Z/8Z)×morphisme de groupe
surjectif. Si, par l"absurde,?Z/2kZ?
×était cyclique engendré pargalors(Z/8Z)×serait cyclique engendré parf(g). Impossible.Casn=pα(α≥1,p≥3premier).
Rappelons que Card((Z/pαZ)×) =?(pα) =pα-1(p-1). Notre but est de trouver un élément d"ordre
p α-1et un d"ordrep-1dans(Z/pαZ)×, pour ensuite considérer le produit. Lemme 2.?k?N,?λk?Npremier avecp,(1 +p)pk= 1 +λkpk+1.Preuve.Par récurrence surk.
Pourk= 0:(1 +p)p0= 1 +λ0p, avecλ0= 1.
Supposons le résultat vrai au rangk≥0et montrons le au rangk+ 1. On a (1 +p)pk+1=? (1 +p)pk?p=?1 +λkpk+1?p= 1 +λkpk+2+p-1?
j=2? p j? j kpj(k+1)+λp kpp(k+1).Dans la somme précédente,pdivise?p
j? etj(k+1)≥k+2. Enfinp(k+1)≥k+3, puisquep≥3(cela est faux sik= 0etp= 2). On peut donc trouver un entierutel que(1+p)pk+1= 1+λkpk+2+upk+3=1 +λk+1pk+2avecλk+1=λk+uppremier àp.
Conséquence :l"élémenta= 1 +pmodpαest d"ordrepα-1dans(Z/pαZ)×. En effet : -(1 +p)pα-2= 1 +λα-2pα-1?≡1modpα(carpne divise pasλα-2), doncβ=α-1.Il nous reste à trouver un élément d"ordrep-1. Pour cela on considère (encore)f:xmodpα?
(Z/pαZ)×?→xmodp?(Z/pZ)×=1modp=f(1modpα) =f(hd) =f(h)d=gd.
Doncp-1 =ord(g) divised. Il existe doncb?Casn= 2pα(α≥1,p≥3premier).
On utilise simplement le théorème Chinois et le cas précédent :(Z/2pαZ)×?(Z/2Z)××(Z/pαZ)×?
(Z/pαZ)×cyclique.Remarques :
- pour une preuve du fait que(Z/pZ)×est cyclique, voir le Cours d"Algèbre de Perrin page 74, - pourk≥3, on a montré que?Z/2kZ?
×n"est pas cyclique, plus précisément, on a l"isomorphisme?Z/2kZ?
×?Z/2Z×Z/2k-2Z.
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