[PDF] 6 Chaînes de Markov - Etude dune classe particulière de processus

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ChaînesdeMarkov

ArthurCharpentier

-nepasdiffuser,nepasciter-

1Quelquesmotivations

1.1Lasentinelledelatourcarrée

n désignela transition, P= /N//E//S//O/ N E S O

01/201/2

1/201/20

01/201/2

1/201/20

P= p00001-p p00001-p

0p0001-p

00p001-p

000p01-p

0000p1-p

Proportion par classe en fonction de n, p=90%

0.0

Proportion par classe en fonction de n, p=80%

0.0 k =P(N=k)=e k /k!,k?N,et p k =p 0 +...+p k P= p 0 p 1 p 2 p 3 p 4 1-p 4 p 0 0p 1 p 2 p 3 1-p 3 0p 0 0p 1 p 2 1-p 2 00p 0 0p 1 1-p 1 000p 0 01-p 0 0000p 0 1-p 0

Proportion par classe en fonction de n, 10%

0.0

Proportion par classe en fonction de n, 35%

0.0

1.3Laruined'unjoueur

0 etY 0 ,etlejeus'arrêtelorsqu'un joueurn'aplusd'argentpourpayer. 0 +Y 0 }.SilejoueurXpossède unefortuneX n =kàladaten,àladaten+1 X 0 +Y 0 •safortuneresteenX 0 +Y 0 avecprobabilité1sik=X 0 +Y 0

1.4Lemodèlesteppingstone

1 1

0'!#!(!$!

Le moldèle Stepping stone, Etape 0

0'!#!(!$!

Le moldèle Stepping stone, Etape 10 000

0'!#!(!$!

Le moldèle Stepping stone, Etape 1 000 000

1.5Uneapplicationéconomique

AAAAAABBBBBBCCCdéfaut

1.6Applicationslexicographiques

P=

12,8%87,2%

66,3%33,7%

consonnesrespectivement.

1.7Diffusiond'ungazeturne

denomsdefamille.

1.8ChaînesdeMarkovetjeuxdecartes

mémentaléatoiredescartes. Urne d'Ehrenfest, étape 0Urne d'Ehrenfest, étape 1 Urne d'Ehrenfest, étape 2Urne d'Ehrenfest, étape 10 000

Figure6:L'urned'Ehrenfest.

Urne d'Ehrenfest, étape 0Urne d'Ehrenfest, étape 1 Urne d'Ehrenfest, étape 2Urne d'Ehrenfest, étape 10 000

Figure7:L'urned'Ehrenfest.

1#($)%*&+,-R

9,-.'#($)%*8

R'#($)%*&+,D

V-.'#($)%*&9

Figure8:Lebattagedecartes.

1#($)%*&+,-R

5'#($%*&+,-R

3)'#$%*&+,-R

9()'#$%*&,-R

4+()'#%*&,-R

9$()'#%*&,-R

2+$()'%*&,-R

4#+()'%*&,-R

Figure9:Lebattagedecartes.

1.9ChaînesdeMarkovetADN

exemplegactgaactctgag... decg. SoitX 1 a c g t où a =P(X 1 =a),λ c =P(X 1 =c),λ g =P(X 1 =g)etλ t =P(X 1 =t), avecλ a c g t =1etλ a c g t ≥0. n n?N n'estpasindépen- pourlevecteurX= a c g t estP=

18,0%27,4%42,6%12,0%

17,1%36,8%27,4%18,8%

16,1%33,9%37,5%12,5%

7,9%35,5%38,4%18,6%

P=

30,0%20,5%28,5%21,0%

32,2%29,8%7,8%30,2%

24,8%24,6%29,8%20,8%

17,7%23,9%29,2%29,2%

1.10ApplicationaujeudeMonopoly

"allezenprison"). zoneorangel'emportesurlazonerouge.

0.0!"#!"$!"%!"&'"!

Probabilité de gagner un jeu au tennis

Probabilité de gagner une balle

/012324546789:8;3;<:08=<8>:=

1.11Modélisationd'unepartiedetennis

lejeus'ilatteint50. (0,50)(15,50)(30,50) (0,40)(15,40)(30,40) (0,30)(15,30)(30,30)(40,30)(50,30) (0,15)(15,15)(30,15)(40,15)(50,15) (0,0)(15,0)(30,0)(40,0)(50,0)

1.12Lesprocessusdefiled'attente

n lenombredeclientsprésents danslafileàladaten.(X n n?N estunechaînedeMarkov.

Unprocessus(X

t t?T

ω?Ω,lasuite(X

t (ω))seraappeléeunetrajectoire.

Parmilesprocessususuels,ondistinguera

•lecasoùTestcontinu(RouR

0)'!')#!

File d'attente p>q

Date ?1@20:89A=3;:0B8930#!$!%!&!'!!

Modèle de file d'attente p>q

Dates ?1@20:89A=B3;:0B893Figure11:Evolutiondelafiled'attente,p>q.

0)'!')#!

File d'attente p>q

Date ?1@20:89A=3;:0B8930#!$!%!&!'!!

Modèle de file d'attente p>q

Dates ?1@20:89A=B3;:0B893Figure12:Evolutiondelafiled'attente,p>q.

0)'!')#!

File d'attente p=q

Date ?1@20:89A=3;:0B893Modèle de file d'attente p=q Dates ?1@20:89A=B3;:0B893Figure13:Evolutiondelafiled'attente,p=q.

0)'!')#!

File d'attente p Date ?1@20:89A=3;:0B893Modèle de file d'attente p Dates ?1@20:89A=B3;:0B893Figure14:Evolutiondelafiled'attente,p Trajectoire d'une chaîne de MarkovTrajectoire d'une chaîne de Markov Trajectoire d'une chaîne de MarkovTrajectoire d'une chaîne de Markov

2468'!

4 2

Trajectoire d'une série temporelle

2468'!

4 2

Trajectoire d'une série temporelle

02468'!

Trajectoire d'un processus de comptage

02468'!

Trajectoire d'un processus de comptage

02468'!

4 2

Trajectoire d'un processus stochastique

02468'!

4 2

Trajectoire d'un processus stochastique

2Quelquespetitsrappelsdeprobabilité

n+1 sachantX n =x n

2.1Laloiconditionnelle

RappelonslaformuledeBayes:P(A|B)=

P(A∩B)

P(B)

Aussi,P(X

n+1 =x n+1 |X n =x n P(X n =x n ,X n+1 =x n+1 P(X n =x n

Laformuledesprobabilitéstotales:si(B

k k?K formeunepartitiondeE,alors P(A)= kK

P(A∩B

k kK P(A|B k )×P(B k

Aussi,P(X

n+1 =x n+1 xn?E P(X n+1 =xquotesdbs_dbs7.pdfusesText_13

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