[PDF] ANALYSE NUMERIQUE Chapitre 3 Intégration numérique résumé

View - Download ANALYSE NUMERIQUE Chapitre 3 Intégration numérique résumé

Previous PDF

Next PDF

EPUUniversit´e de ToursDI3`emeann´ee

D´epartement Informatique2007-2008

ANALYSE NUMERIQUE

Chapitre 3

Int

´egration num´eriquer´esum´e du cours

1 Introduction

Il s"agit d"une mani´ere g´en´erale de d´eterminer, le mieux possible, pour l"essentiel, une valeur approch´ee de l"int´egrale au sens de Riemann I=? b af(x)dx(1) o`uaetbsont des r´eels. Les probl`emes de quadrature (int´egration) num´erique se rencontrent lorsque la fonctionfest continue mais n"a pas de primitive explicite connue, ou lorsque Une id´ee importante consiste `a utiliser les m´ethodes d"interpolation polynomi- ale, puisque les primitives des fonctions polynˆomes sont faciles `a calculer. On a fr´equement recours `a ces techniques de quadrature num´erique pour obtenir des solutions approch´ees d"´equations diff´erentielles (E.D.O. et E.D.P.).

2 Int´egration de type interpolation

[a,b] un intervalle, on note (xi)iune subdivision ordonn´ee : a=x0< x1< ... < xn=b

2.1 G´en´eralit´es

D´efinition .1Une formule d"int´egration `an+ 1points pour calculer une valeur approch´ee deIest une relation de la forme J n(f) =k=n? k=0A nkf(xk) REMARQUE : Les coefficientsAnkne d´ependent bien sˆur pas def, ils servent pour tous les calculs d"int´egrales relatifs `a cet intervalle et `a ces points de subdivision.0 Jean Fabbri Cours d"Analyse Num´erique -version 3.0 janvier 2008 1 Polynˆome d"interpolation de LagrangeLorsquefest connue au moins en n+1 points(distincts) de subdivision et est de classeCn+1, on ´ecrit facilement le polynˆome d"interpolation de LagrangePndefet l"erreure, f(x) =Pn(x) +e(x) =i=n? i=0L avecLi(x) =j=n? j= 0 j?=ix-xjx i-xjetL(x) =? Ainsi l"int´egrale du polynˆome de Lagrange donne : b aPn(x)dx=i=n? i=0(? b aLi(x)dx)f(xi) =Jn(f) D´efinition .2La formuleJn(f)est une formule de quadrature de type inter- polation pour (1) On mesure la pr´ecision des quadratures num´eriques `a l"aide des notions : D´efinition .3•L"erreur d"int´egrationest le r´eelE(f) =I-Jn(f) •Une formule de quadrature est diteexacte sur Fs.e.v. deC0[a,b], si ?g?F E(g) = 0 •Une formule de quadrature a undegr´e de pr´ecisionp?INsi elle

E(xp+1)?= 0.

Ces d´efinitions sont reli´ees entre elles ! Proposition .1L"erreur d"int´egration, pour une formule de type interpolation peut se calculer en

E(f) =f(n+1)(θ)(n+ 1)!?

b aL(x)dx pour un certainθ,lorsque le polynˆomeLreste de signe constantsur [a,b]. Th´eor`eme .1Une formule de quadrature `an+ 1points est exacte surIPnsi et seulement si elle est de type interpolation. REMARQUE : Les ´enonc´es ci-dessus peuvent aussi s"´ecrire avec un "poids d"int´egration"μ≥0 sur [a,b], pour des valeurs approch´ees de? b aμ(x)f(x)dx. 2

2.2 Quadratures simples

On retrouve les formules classiques (FAIRE DES FIGURES!): M´ethode des rectangles :on utilise la valeur defen un seul point, voici deux exemples

I= (b-a)f(a) +(b-a)22

f?(θ) = (b-a)f(b) +(b-a)22 f?(˜θ) M´ethode des trap`ezes :formule de quadrature `a 2 points

I= (b-a)f(a) +f(b)2

-(b-a)312 f(2)(ˆθ) Ces formules (illustrer par quelques figures) s"obtiennent, par exemple, par la m´ethode des coefficients ind´etermin´es (pour les coefficientsAnk), et en util- isant la Proposition ci-dessus ou un d´eveloppement de Taylor judicieux (pour l"erreur)...en supposant la r´egularit´e ad´equate des fonctionsf.

2.3 Formules de Newton-Cˆotes

Ce sont des formules de quadrature de type interpolationavec subdivision r´eguli`ere. •Si les deux extr´emit´es de l"intervalle sont des points d"interpolation il s"agit de Newton-Cˆotes ferm´e (m´ethodes des trap`ezes, de Simpson...) •Si les deux bornes de l"intervalle d"int´egration ne sont pas des points d"interpolation il s"agit de Newton-Cˆotes ouvert (m´ethode de Poncelet...) La r´egularit´e de la subdivision permet d"obtenir des formules qui sont tr`es g´en´erales. Th´eor`eme .2Pour une subdivision r´eguli`ere ennparties de l"intervalle[a,b], la formule g´en´erale de Newton-Cotes ferm´e pour? b af(x)dxest : I n(f) = (b-a)j=n? j=0B n,jf(a+jh)avech=b-an o`u les coefficients sont B n,j=(-1)n-jj!(n-j)!n? n 0? k?=j(t-k)dt=Bn,n-j Proposition .2Dans les formules de Newton-Cˆotes ferm´e de pash= (b- a)/n, le degr´e de pr´ecision estn+ 3sinest pairn+ 2sinest impair. CONSEQUENCE : si on a le choix une formule avec un nombre impair de points (c"est `a dire une formule "centr´ee") est pr´ef´erable. 3

2.4 Noyau de Peano

Pour ´evaluer l"erreur de quadratureE(f) d"une m´ethode d"ordren, on com- mence par en donner une repr´esentation int´egrale. D´efinition .4xr´eel de[a,b], on notex?→(x-t)+la fonction qui vautx-t si ce r´eel est positif et0sinon, etE((x-t)n+)l"erreur de quadrature li´ee `a sa puissance n-i`eme. Le noyau de Peano de la m´ethode de quadrature est la fonction

K(t) =1n!E((x-t)n+)

Pour des fonctions assez r´eguli`eres, grace `a un d´eveloppement de Taylor, on montre que

Th´eor`eme .3Sif?Cn+1[a,b]alorsE(f) =?

b af(n+1)(t)K(t)dt EXEMPLE : Calcul de l"erreur dans la formule de Simpson sur [-1,1] (formule de Newton-Cˆotes ferm´e `a 3 points)

On aI(f) =?

1 -1f(x)dxet par SimpsonJ3(f) =13 [f(-1) + 4f(0) +f(1)] AinsiE(f) =I(f)-J3(f), et en particulier le noyau de Peano est

K(t) =16

E((x-t)3+) =16

1 -1(x-t)3+dx-13 ((-1-t)3++(4(-t)3++(1-t)3+)] 1 -1K(t)dtintervient dans l"expression de l"erreur pour n"importe quelle fonc- tion de classeCn+1...on peut donc faire apparaˆıtre ce terme en r´ealisant le calcul de l"erreur pour la fonction particuli`ereφ:x?→xn+1 Proposition .3Avec les hypoth`eses et notations pr´ec´edentes

E(φ) = (n+ 1)!?

b aK(t)dt C"est une cons´equence du pr´ec´edent Th´eor`eme. Pourn= 3, on ´evalue doncE(φ) =E(x?→x4).

E(φ) =?

1 -1x4dx-13 ((-1)4+ 4(0)4+ (1)4) =-415 Ce qui permet d"´ecrire la formule de Simpson sous la forme 1 -1f(x)dx=13 [f(-1) + 4f(0) +f(1)]-190

2.5 Formules composites (g´en´eralis´ees)

Comme pour augmenter la pr´ecision de la quadrature approch´ee on augmente le nombre de points...les calculs se compliquent. Aussi on pratique plutˆot des m´ethodescompositesqui reposent sur l"utilisation de formules simples, de degr´e de pr´ecisionq(1, 2 ou 3), sur des sous-intervalles r´eguliers de [a,b] li´es `a une subdivision r´eguli`ere de pash(avecNh=b-a). 4

METHODE COMPOSITE DES TRAPEZES (q= 1)

I=h(12

f(a) +i=N-1? i=1f(xi) +12 f(b)) +ε(N,f) (2) maxx?[a,b]|f"(x)|.

METHODE COMPOSITE DE SIMPSON (q= 2) etN= 2p

I=h3 (f(a) + 4i=p-1? i=1f(x2i-1) + 2i=p? i=1f(x2i) +f(b)) +E(N,f) (3) maxx?[a,b]|f(4)(x)|.

3 Autres m´ethodes d"int´egration num´erique

3.1 Formules de Gauss

On suppose icifconnue pour toutx?[a,b], on cherche s"il existe un choix continue et positivewfixe, b aw(x)f(x)dx=i=n? i=1α if(xi) (4) pour tout polynˆomefde degr´e inf´erieur ou ´egal `am-ce nombre ´etant le plus grand possible. Autrement dit, on recherche un "bon choix" desxiqui rende la formule (4) exacte surIPm(Bien sˆur,m > n). L"id´ee est d"utiliser des polynˆomes orthogonauxPkpour le produit scalaire < f,g >=? b aw(x)f(x)g(x)dx. Th´eor`eme .4Pour tout entiern >0fix´e, il existenr´eels positifsαietn r´eelsxitels que ?Q?IP2n-1? b aw(x)Q(x)dx=i=n? i=1α iQ(xi) De plus le choix desxiet celui desαiest le seul possible : lesxisont les racines dunemepolynˆome orthogonalPn. La preuve se d´ecompose en 4 parties : existence, positivit´e desαi, unicit´e et exactitude du degr´e de pr´ecision 2n-1. On utilise l"interpol´e de Lagrange en lesxideQ. Lesxisont donn´es `a priori puisque ce sont les racines du polynˆome orthogonalPn. Selon l"intervalle et le poids, on utilise les polynˆomes de Tchebychev, Legendre, Laguerre

EXEMPLES de POLYN

ˆOMES ORTHOGONAUX

On donne ici, dans quelques cas usuels, le produit scalaire qui d´efinit la norme 5 hilbertienne et deux caract´erisations de la suite de polynˆomes orthogonaux associ´es dont un proc´ed´e it´eratif constructif (voir dtails en TD).

1)LEGENDRE : pour le produit scalaire sur [-1,1] d´efini par:

< f,g >=? 1 -1f(x)g(x)dx P n(x) =12 nn!d ndx n(x2-1)n avecP0(x) = 1. P n(x) =2n-1n xPn-1(x)-n-1n

Pn-2(x)

2)LAGUERRE : pour le produit scalaire sur [0,+∞[ d´efini par< f,g >=?+∞

0e-xf(x)g(x)dx

L n(x) =exdndx n(e-xxn) L n(x) = (2n-x-1)Ln-1(x)-(n-1)2Ln-2(x)

3)TCHEBYCHEV : pour le produit scalaire sur [-1,1] dfini par :

< f,g >=? 1 -11⎷1-x2f(x)g(x)dx

Tn(x) = cos(narccosx)

3.2 M´ethode de Romberg

Il s"agit d"appliquer `a la formule des trap`ezes une m´ethode g´en´erale d"acc´el´eration

de la convergence . Principe g´en´eral : la m´ethode de Richardson On combine plusieurs d´eveloppements de Taylor d"une fonctionvau voisinage de 0 pour d´eterminer au mieuxv(0). EXEMPLE : Siv(h) =v(0) +c1h+O(h2), on a aussi pour un r´eelr?]0,1[ fix´e (souventr= 0.5)v(rh) =v(0) +c1rh+O(h2), et alors v(rh)-rv(h)1-r=v(0) +O(h2) autrement dit cette combinaison lin´eaire simple offre une meilleure valeur ap- proch´ee dev(0). Ce qui s"am´eliore encore avec des d´eveloppements d"ordres plus ´elev´es. Application au calcul int´egralOn initialise le proc´ed´e `a partir des approx- imationsThde l"int´egrale defpar la m´ethode composite des trap`ezes (2) pour les pash,h/2,h/4... et de la formule d"Euler-MacLaurin qui permet d"´ecrire l"erreur de quadrature sous la forme: Proposition .4Sif?C2m+2[a,b], il existe des constantesc2ktelles que c 0=? b af(x)dx=Th+k=m? k=1c

2kh2k+O(h2m+2) (5)

6 On cherche ici une "bonne" v.a. dec0. (5) s"´ecrit sous la forme T h=c0-c2h2-c4h4+...-c2mh2m+ 0(h2m+2) On met alors en oeuvre le proc´ed´e de Richardson avecr= 0.5. La m´ethode de Romberg d´ebute par le calcul des approximations int´egrales de fpour les pash2 ,h4 ,h8 ,... que l"on dispose dans une colonne. On remarque que l"on passe facilement deT?`aT?2 (o`uN?=b-a) en rajoutant les images des abscisses interm´ediaires situ´ees au milieu ds intervalles de subdivision: T ?2 =12 [T?+M?] o`uM?=?(f(a+?2 ) +f(a+3?2 ) +...+f(a+(2N-1)?2 Le tableau de la m´ethode de Romberg s"´edifie `a partir de sa premi`ere colonne dont les ´el´ements sont not´es :T00=Th,T10=Th2 ... et de la r´ecurrence T m,n+1=Tm,n+Tm,n-Tm-1,n4 n+1-1 ce qui donne T 00 T 11 T 10T22 T 21T33
T 20T32 T 31
T 30
D"apr`es ce qui pr´ec`ede on obtient avecT33une valeur approch´ee deI=c0`a la pr´ecisionh8au moins.

3.3 Int´egration sur un intervalle infini

On retient deux m´ethodes:

a) Le calcul approch´e suppose que l"int´egrale g´en´eralis´ee est convergente, on d´ecompose donc af(x)dx=? A af(x)dx+?

Af(x)dx

avecAchoisi de sorte que|?

Af(x)dx|<ε2

... puis on utilise une des formules de quadratures num´eriques vues ci-dessus dans l"intervalle born´e [a,A] pour une pr´ecisionε2 b) Dans les situations o`u on connait une famille de polynˆomes orthogonaux (ceux de Laguerre, par exemple pour le poidsw(x) =e-xsur [0,+∞[), on utilise les formules de Gauss. 7

4 Int´egrations num´eriques sp´ecifiques

4.1 Int´egrales de fonctions non born´ees

Il s"agit d"une situation diff´erente du cas d"un intervalle non born´e. lorsque Φ est born´e, Φ(a)?= 0. Les conditions ci-dessus garantissent bien l"existence de cette int´egrale mais pas son calcul. Deux m´ethodes sont envisageables : la premi`ere correspond un d´ecoupage de l"intervalle en [a,a+η] et [a+η,b] comme dans la partie

pr´ec´edente on utilise dans la m´ethode g´en´eralis´ee des trap`ezes pour la partie

r´eguli`ere. Une autre voie est d"un emploi plus simple si la fonction Φ admet un d´eveloppement de Taylor au voisinage dea

Φ(x) = Σnk=0Φk)(a)(x-a)kk!+...

en notantPn(x) ce polynˆome, l"´ecriture Φ = Φ-Pn+Pnpermet le calcul int´egral

I(f) =?

b aΦ(x)(x-a)μdx=? b aΦ(x)-Pn(x)(x-a)μdx+? b aP n(x)(x-a)μdx et sous cette forme la derni`ere int´egrale devient b aP n(x)(x-a)μdx= (b-a)1-μΣnk=0Φk)(a)(b-a)kk!(1 +k-μ) alors que la premi`ere n"est pas singuli`ere enaet peut s"´evaluer via une m´ethode composite quelconque.

Exemple : Int´egrale de Fresnel?

1

0cosx⎷x

dx

4.2 Int´egrales multiples

On envisage des domaines Ω deIR2de bords r´eguliers et pour une fonctionF d´efinie sur l"adh´erence de Ω, le calcul approch´e de?

F(x,y)dxdy.

Un tel calcul d´epend de la "forme" du domaine et de sa param´etrisation.

Cas simple :

Ω "normal" par rapport aux abscissesI=?

b a?

Ψ(x)

Φ(x)F(x,y)dxdyon emboite

deux formules d"int´egration approch´ee

G(x) =?

Ψ(x)

Φ(x)F(x,y)dyetI=?

b aG(x)dx et pour chacun des calculs, une m´ethode num´erique simple.

Cas des g´eom´etries polygonales :

Pour un rectangle, on peut utiliser une interpolation bidimensionnelle, obtenue par le produit des polynˆomes de Lagrange en chacune des variables, si la fonc- tion `a int`egrer est connue aux noeuds d"un r´eseau rectangulaire r´egulier. Pour un domaine polygonal quelconque. C"est important pour les calculs li´es aux triangulations admissibles des m´ethodes d"´el´ements finis utilis´ees dans la

r´esolutions approch´ee d"´equations aux d´eriv´ees partielles... voir cours ult´erieurs.

8quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

[PDF] Lire PDF Cours de mathématiques, tome 5 : Analyse 3 : Cours et

[PDF] Analyse - Exo7

[PDF] ANALYSE ABC

[PDF] Analyse des affiches de propagande Plan de leçon - Musée

[PDF] Airbnb en France - Le blog - Bnblord

[PDF] ANTIGONE

[PDF] lecture et analyse des articles scientifiques - Moodle Fribourg

[PDF] Calcul asymptotique

[PDF] 123 La balance des paiements, outil d 'analyse

[PDF] LE BILAN FONCTIONNEL - APPROFONDISSEMENT Objectif(s) : o

[PDF] Analyse, modélisation et simulation de l impulsion au sol dans les

[PDF] Etude des facteurs biomécaniques de non performance au saut en

[PDF] ANALYSE PHYSICO-CHIMIQUE

[PDF] Apprendre ? enseigner : Analyse Cognitive des Représentations

[PDF] Aux frontières de l 'action publique Ce que les politiques du - Hal