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UFR de MathématiquesLicence sciences et technologies A - S2 MASS Université de Lille 1Analyse 2 - Résumé du Cours

Volker MayerTable des matières

Partie I : Intégration 2

1. Introduction : Premières remarques sur les primitives et l"intégrale indéfinie 2

2. Fonctions Riemann intégrables 4

3. Classes de fonctions R-intégrables 5

4. Propriétés élémentaires de l"intégrale de Riemann 6

5. Primitives et Théorèmes fondamentaux du Calcul 7

6. Techniques d"intégration 7

7. Intégration par parties 8

8. Intégration de fractions rationnelles 8

Partie II : Formule de Taylor et développements limités 11

1. Rappels : Fonctions de classeCpetC111

2. Formules de Taylor 11

3. Quelques DL enx0= 0de fonctions usuelles. 13

4. Quelques techniques pour déterminer des DL 14

Partie III : Équations différentielles 16

1. Introduction et définition 16

2. Equations différentielles du premier ordre de typey0=f(x;y)17

3. Résolution d"équations particulières 18

Partie IV : Courbes paramétrées 22

1. Étude locale d"une courbe 22

2. Courbes rectifiables et longueur d"une courbe 23

1 2

Partie I : Intégration

1.Introduction : Premières remarques sur les primitives et l"intégrale indéfinie

Au premier semestre nous avons étudié les fonctions dérivables et associé à une telle fonctionF

la fonction dérivéef=F0. Associer à une fonctionfune primitive est, lorsque cela est possible,

le procédé inverse car la définition d"une primitive est la suivante. Définition 1.1.Une fonctionF: [a;b]!Rest une primitive def: [a;b]!RsiFest dérivable et siF0=f.

Une conséquence immédiate du théorème des accroissement finis est qu"une primitive, toujours

dans le cas ou elle existe, est unique à une constante additive près. Plus précisément, on a la

propriété suivante. Proposition 1.2.SiF1etF2sont toutes les deux des primitives d"une fonctionfsur un intervalle IR, alors il existe une constantec2Rtelle queF2=F1+csurI. Remarques et notations :Comme la différence de deux primitives d"une fonction est constante on travaille souvent dans la pratiqueà une constante additive prés. Si la fonctionfadmet des primitivesF+c,c2R, alors la famille de ces primitives est généralement notéeZ f(t)dt=F(x) +c

et appelél"intégrale indéfiniedef. Il est à noter queRf(t)dtest une fonction dex, c"est la raison

(1) pourquoi on trouve parfois la notationRxf(t)dtet (2) pourquoi ici la variable sous l"intégrale est une lettre autre quexPar hasard le choix s"est porté surtmais toute autre lettre convient également. On appelle cette variabletmuette. Souvent on prends quand même la lettrex, cad. on écritRf(x)dx. Mais il ne faut pas confondre cette variable muette avec la variablexdex7!F(x)... Exemple 1.3.On n"a pas oublié que la dérivée dep(x) =xn,n0, estp0(x) =nxn1. Par conséquent,P(x) =1n+1xn+1est une primitive dep. Par ailleurs, siFest une primitive quelconque dep, alors, il existe une constantec2Rtelle que,

F=P+c ;i.e.F(x) =P(x) +cpour toutx2R:

En termes d"intégrale généralisée ceci devientZ p(x)dx=xn+1n+ 1+c ; c2R: Ainsi, pour beaucoup de fonctions usuelles on connait les primitives. Voici quelques exemples (utiles à savoir!). Par exemple, on déduit de la deuxième ligne du tableau queZdxx 2=1x ;Zpxdx=23 px

3etZdxpx

= 2px

sur des intervalles appropriés. On remarque également qu"il est important de connaitre les dérivées

des fonctions usuelles, en particulier des fonctions trigonométriques réciproques! Plus tard nous allons voir des techniques d"intégration qui permettent, à partir de primitives

connues comme celles du tableau, trouver des primitives de fonctions plus élaborées. Voici déja

quelques exemples.

Exemple 1.4.L"opération qui associe à une fonctionfsa dérivéef0estlinéaire(cf. Algèbre 2).

Ceci signifie que, pour toutes fonctions dérivablesf1;f2;fet pour tout2R, (f1+f2)0=f01+f02et(f)0=f0: Par conséquent, siFiest une primitive defi,i= 1;2, alors

F=F1+F2est une primitve def1+f2:

3

Table 1.Un "petit" tableau de quelques primitives usuellesFonctionfUNE primitiveFdefDomaine de définition deFconstconstxR

x a,a6=11 a+1xa+18 :Rsia2N ] 1;0[et sur]0;1[si a=2;3;::: ]0;1[pour tout autrea2Rn f1g1=xlnjxjsur] 1;0[et sur]0;1[.e xe xR cos(x)sin(x)R sh(x)ch(x)R ch(x)sh(x)R 1

1 +x2arctan(x)R

1p1x2arcsin(x)]1;1[etc.

Il est alors façile de déterminer les primitives d"une fonction comme f(x) = cos(x) +ex: De même, siFest une primitve def, alorsFest une primitive def. Cette propriété servira déja dans le prochain exemple (avec=52 Exemple 1.5.SiF=uvavecu;vdes fonctions dérivables, alorsF0=u0v v0. Par conséquent, si on est en présence d"une fonctionfde la formef=u0v v0alors on connait les primitives. Par exemple, considérons f(x) = 5xex2; x2R: En prenantu0(y) =eyet en remarquant queReydy=ey+c,c2R, on a f(x) =u0(x2)5x=52 u0v(x)v0(x)avecv(x) =x2: Par conséquent, il existe une constantec2Rtelle queZ f(x)dx=uv(x) +c=ex2+c ; x2R: Nous allons approfondir cette technique très utile dans la Section 6.1Changement de variables. Une autre technique très importante est l"intégration par parties. Elle repose sur la simple formule(uv)0=u0v+uv0. Voici l"enoncé exact. On verra beaucoup d"applications en TD. Théorème 1.6.Soientf;g: [a;b]!Rdes fonctionsC1. Alors, on aZ f(x)g0(x)dx=f(x)g(x)Z f

0(x)g(x)dx

à une constante additive près.

4

2.Fonctions Riemann intégrables

Nous allons maintenant aborder la théorie de l"intégrale de Darboux - Riemann. Voici quelques motivations. - Quelle est la signification géométrique de l"intégrale? - Quelles fonctions admettent des primitives?

- Approfondir les techniques d"intégration afin de pouvoir déterminer les primitives de fonctions

plus complexes.

Dans la suite,

-I= [a;b]désigne un intervalle fermé et borné deRet -f:I!Rest une fonction bornée, i.e. on suppose qu"il existe une constanteK >0telle que

Kf(x)Kpour toutx2I :

Définition 2.1.Une partition deIest un ensembleZ=fx0;x1;:::;xngde nombres réels tels que x

0=a < x1< ::: < xn=b. Le pas de la partitionZest le nombre(Z) =max1jnjxjxj1j.

SoitZ=fx0;x1;:::;xngune partition deI. Lasomme de Darboux inférieuredefassociée àZ est S (f;Z) =nX j=1(xjxj1)inffj[xj1;xj]: Lasomme de Darboux supérieuredefassociée àZest S +(f;Z) =nX j=1(xjxj1)supfj[xj1;xj]:Figure 1.Representation graphique de la somme de Darboux inférieure Lemme 2.2.Pour toutes partitionsZ1etZ2deIon aS(f;Z1)S+(f;Z2):

Conséquence immédiate de ce lemme : si

M =fS(f;Z);Zpartition deIget siM+=fS+(f;Z);Zpartition deIg alors, pour toute partitionZ0(par exemple pourZ0=fa;bg), S (f;Z0)est un minorant deM+et S +(f;Z0)est un majorant deM.

Ceci permet de définir

I (f) = supM= supfS(f;Z)getI+(f) = infM+= inffS+(f;Z)g:

Exercice 2.3.Vérifier queI(f)I+(f)!

5 Définition 2.4.Une fonction bornéef: [a;b]!Rest intégrable au sens de Riemann (ou, plus simplement R-intégrable) siI(f) =I+(f). Dans ce cas, la valeur communeI(f) :=I(f)I+(f) est l"intégrale de Riemann defsur[a;b]que l"on note Z b a f(x)dxouZ I f(x)dx ouZ I f(u)du

Théorème 2.5(Critére d"intégrabilité de Riemann).Soitf:I!Rune fonction bornée. Alors,

fest R-intégrable si et seulement si pour tout" >0il existe une partitionZdeItelle que (1)S+(f;Z)S(f;Z)< " :

Remarque 2.6.Comme pour toute partitionZdeIon a

S (f;Z)I(f)I+(f)S+(f;Z); il résulte du critére de Riemann que pour tout" >0il existe une partitionZdeItelle que "+S(f;Z)I(f)S+(f;Z) +" pourvu quefest intégrable. On dira que= (1;:::;n)estsubordonnéà la partitionZ=fx0;:::;xngsij2[xj1;xj]pour toutj= 1;:::;n. On définit la somme de Riemann

S(f;Z;) :=nX

j=1(xjxj1)f(j): Clairement, pour toute partitionZet toutsubordonné, on a S (f;Z)S(f;Z;)S+(f;Z): Théorème 2.7.Soitf: [a;b]!Rune fonction intégrable. Pour toute suiteZ(N)de partitions de[a;b]de pasN=(Z(N))tendant vers0et pour toute suite de points(N)= ((N)

1;:::;(N)n)

subordonnés àZ(N), les sommes de Riemann

S(f;Z(N);(N))!Z

b a f(x)dxlorsquen! 1: (admis) Exemple 2.8.Il est trés naturel de considérer la subdivision équidistanteZ(n)=fxj=a+jn (b a) ;j= 0;:::;ng. Le pas de cette partition estn=1n (ba). Avecj=a+jn (ba),j= 1;:::;n, on a pour toute fonction R-intégrablef: [a;b]!Rque ban f a+ban +f a+ 2ban +:::+f a+nban !Z b a f(x)dx si n! 1: Pour être plus concret, prenonsf(x) =pxet[a;b] = [0;1]. Comme on le verra, cette fonction est bien intégrable (car monotone et aussi car elle est continue). Dans ce cas (cf. l"Exercice 2.7) : lim n!11n f1n +f2n +:::+fnn = lim n!11n r1 n +r2 n +:::+rn n =Z 1 0 f(x)dx=23

3.Classes de fonctions R-intégrables

L"exemple standard d"une fonction qui n"est pas R-intégrable est la fonction de DirichletQ: R!Rdéfinie parQ(x) = 1six2QetQ(x) = 0sinon. Elle n"est pas R-intégrable sur aucun intervalle[a;b]car pour toute partitionZd"un tel intervalle on aS(Q;Z) = 0etS+(Q;Z) = 1. Proposition 3.1.Toute fonction monotonef: [a;b]!Rest R-intégrable. Proposition 3.2.Toute fonction continuef: [a;b]!Rest R-intégrable. 6 Lemme 3.3.Soitd2[;][a;b]et soitf: [a;b]!Rune fonction. (1)Sifest R-intégrable sur[a;b]alors est l"est aussi sur[;]. (2)Sifest R-intégrable sur[a;d]et sur[d;b], alors elle l"est aussi sur[a;b]. Proposition 3.4.La sommef+get le produitfgde deux fonctions R-intégrables est R-intégrable. Si2Retfest R-intégrable, alorsfl"est également.

4.Propriétés élémentaires de l"intégrale de Riemann

Dans la proposition suivante et dans la suite on utilise la notation Z a b f(x)dx:=Z b a f(x)dxsia < b : Proposition 4.1(Relation de Chasles).Soitf: [;]!Rune fonction R-intégrable et soit a;b;c2[;]. AlorsZc a f(x)dx=Z b a f(x)dx+Z c b f(x)dx : Proposition 4.2(Linéarité).Soientf;g: [a;b]!Rdes fonctions R-intégrables et soit2R. Alors Z b a f(x)dx=Z b a f(x)dx et Z b a (f(x) +g(x))dx=Z b a f(x)dx+Z b a g(x)dx : Proposition 4.3(Positivité et Monotonie).Soientf;g: [a;b]!Rdes fonctions R-intégrables. (1)Sif0, alorsZ b a f(x)dx0. (2)Sifg, alorsZ b a f(x)dxZ b a g(x)dx. (3) Z b a f(x)dx Z b a jf(x)jdx.

En conséquence directe de (2) de la Proposition précédente on obtient l"estimation importante

(ba)inf(f)Z b a f(x)dx(ba)sup(f):

Une fois établi cette inégalité on en déduit en employant le théorème des valeurs intermédiaires les

deux formules de la moyenne : Corollaire 4.4(Premier Théorème de la moyenne).Sif: [a;b]!Restcontinue, alors il existe c2[a;b]tel que 1baZ b a f(x)dx=f(c): Corollaire 4.5(Deuxième Théorème de la moyenne).Sif: [a;b]!Restcontinueet sig: [a;b]!Restpositive, alors il existec2[a;b]tel que Z b a f(x)g(x)dx=f(c)Z b a g(x)dx : 7

5.Primitives et Théorèmes fondamentaux du Calcul

Théorème 5.1.Sif: [a;b]!Rest une fonction R-intégrable, alors la fonction x7!Z x a f(t)dt est continue sur[a;b]. Théorème 5.2.Sif: [a;b]!Rest une fonction R-intégrable et sifet continue enx02[a;b], alors la fonction x7!Z x a f(t)dt est dérivable enx0. Rappelons la définition suivante déja rencontrée dans le premier paragraphe. Définition 5.3.Une fonctionF: [a;b]!Rest une primitive def[a;b]!RsiFest dérivable et siF0=f.

Rappelons également que le théorème des valeurs intermediaires implique qu"une primitive est

unique à une constante additive près, i.e. siF1etF2sont toutes les deux des primitives d"une fonctionf, alors il existe une constantec2Rtelle queF2=F1+c. Un corollaire immédiat du Théoréme 5.2 est le résultat suivant : Théorème 5.4(Premier Théorème du Calcul).Sif: [a;b]!Rest une fonction continue, alors la fonction

F(x) =Z

x a f(t)dt est dérivable sur[a;b]etF0=f. Autrement dit,Fest une primitive def. Théorème 5.5(Second Théorème du Calcul).Sif: [a;b]!Rest une fonction R-intégrable et sifadmet une primitiveF, alors la fonction

F(b)F(a) =Z

b a f(x)dx:

On notera bien que dans ce dernier résultat l"une des hypthéèses est quefadmet une primitive.

Ce n"est pas le cas pour toute fonction R-intégrable!

6.Techniques d"intégration

6.1.Changement de variables.Un outil très important pour la détermination de primitives est

lechangement de variables. Théorème 6.1.Soitf: [c;d]!Rune fonction continue et soit': [a;b]![c;d]une application C

1. AlorsZb

a f('(x))'0(x)dx=Z '(b) '(a)f(u)du :

Exemple 1 :Avecu=x2et doncdu= 2xdxon a

Z 2

0x1 +x4dx=12

Z 2

02xdx1 +x4=12

Z 4

0du1 +u2=12

arctan 4:

Dans cet exemple on connaît une primitive def(u) =11+u2et on en déduit la valeur de l"intégrale

de départ. Souvent on utilise ce procédé dans l"autre sens afin de déterminerR f(u)du. Mais dans ce cas, l"application': [a;b]![c;d]du changement de variablesdoit être une bijection. 8 Théorème 6.2.Soit': [a;b]![c;d]une applicationC1bijective et soitf: [c;d] ='([a;b])!R une fonction continue. Alors, pour tout;2[c;d]on a Z f(x)dxZ '1()

1()f('(t))'0(t)dt :

Exemple 2 :Soitf(x) =1p1x2,jxj<1, et cherchons une primitive def. Pour ce faire on considère': [=2;=2]![1;1],'(t) = sin(t). Avecx='(t)on ap1x2= cos(t)(ok?) et dx='0(t)dt= cos(t)dt. DoncZ f(x)dx=Z1cos(t)cos(t)dt=Z

1dt=t+c ; c2R:

Le problème restant est que le résultat est une fonction de la variabletet non pas dex. Hereusement

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