[PDF] Chapitre 4 - Séries numériques (résumé de cours)

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Chapitre 4

Séries numériques (résumé de cours)

Algèbre et analyse fondamentales - Paris 7 - O. Bokanowski - Octobre 2015

4.1 Généralités

Soit(un)n0une suite deRou deC. On définit les sommes partielles par S n=nX k=0u k=u0+u1++un; et on s"intéresse à la limite deSnlorsquen! 1.

Definition. 4.1.1.On dira que la sériePunest :

convergente (CV) silimn!1Snexiste, et on note alorsP n0uncette limite, divergente (DIV) sinon, absolument convergente (AC) siP n0junjest convergente. On dira aussi que la série converge simplement (CS) si elle converge mais pas absolument. On peut définir de même la notion de convergence de la sérieP npunsiunn"est définie qu"à partir du rangp:X nn0u n=up+up+1+up+2+ La modification d"un nombre fini de termes de la série ne change pas sa nature (CV,AC,DIV,CS). Théorème. 4.1.2.(Critère de Cauchy) Pour toute série à valeur dansRouC,

Pun)AC)(Pun)CV

Série géométrique :un:=can, avecc6= 0. La série(Pun)est convergente ssijaj<1, et la somme

vaut alors c1a(somme partielle, poura6= 1:Sn:=c1an+11a). Série télescopique :un:=anan+1. La somme partielleSnvauta0an+1. La série converge ssi limanexiste, et la somme vaut alorsa0liman.

Exemple :un=1n(n+1), pourn1, on aun=1n

1n+1et doncP

n1un= 1.

Proposition. 4.1.3.(Pun)CV)un!0.

Démonstration.En remarquant queun=SnSn1pourn1.Exemple : pourn0,1n ne tend pas vers0(qdn! 1), doncP n11n est divergente. 1

4.2 Séries à termes positifs

Dans cette section on suppose queun0.

Théorème. 4.2.1.Soitun0. AlorsPunCV,Punbornée. Definition. 4.2.2.Pourun;vnsuites à valeurs complexes, t.q.vn6= 0(a partir d"un certain rang) on utilisera la notationunvn, et on dira queunest équivalent àvnquandn! 1, si lim n!1u nv n= 1:

Théorème. 4.2.3.

(Comparaison.) On supposeun0etvn0.

Si0unvnalorsPvnCV)PunCV.

Siunvn)Pun,Pvnde même nature.

Exercice.* 4.2.4.. Soitun0,vn0, telles quevnunetPn k=0uk!+1. AlorsPn k=0vk!+1 et de plus nX k=0v kn!1nX k=0u k:

Démonstration.Le fait quePn

k=1vk!+1est une conséquence du précédent théorème. Soit >0. Commeunvn, il existe un rangpt.q.8np,vn=un(1 +)(on suppose queunest non nulle à partir d"un certain rang). Alorsvn(1 +)un, et n X k=0v k=p1X k=0v k+nX k=pv k(4.1) p1X k=0v k+ (1 +)nX k=pu k(4.2) p1X k=0(vk(1 +)uk) + (1 +)nX k=0u k;(4.3) et donc P n k=0vkP n k=0ukP p1 k=0(vk(1 +)uk)P n k=0uk+ (1 +)(4.4)

Orlimn!1Pn

k=0uk=1, et donc (pourpfixé),9N0,8nN,P p1 k=0(vk(1+)uk)P n k=0uk. Ainsi on en déduit que pour toutnn1:=max(N;p), on a P n k=0vkP n k=0uk1 + 2:(4.5) De la même manière on peut démontrer qu"il existe unn2t.q.8nn2, P n k=0vkP n k=0uk12:(4.6)

Ce qui démontre quelimn!1P

n k=0vkP n

k=0uk= 1.Exercice.* 4.2.5.On suppose quelimn!1xn=`, avec` >0. Montrer, à partir du résultat précédent,

quelimn!11n P n k=1xk=`. (Note : en fait le résultat, connu sous le nom de "Théorème de Césaro", reste vrai même si`2R). 2 Démonstration.Il suffit de considérervn=xnetun=`. Si` >0,Pn k=1`=n`est divergente. Les séries

étant à termes positifs au moins à partir d"un certain rang (carxn!` >0), on peut utiliser le fait que

x n`pour conclure à nX k=1x knX k=1`=n`;

d"où le résultat désiré après division parn. (On rappelle que sianbn, alors pour toute suitecn,

a ncnbncn.Exercice.* 4.2.6.Soitun0,vn0, telles quevnunet(Pun)converge. Montrer quePvk converge et que les restes des séries sont équivalents : 1 X k=nv kn!11X k=nu k: Démonstration.On pourra procéder comme à l"exercice 4.2.4.Exercice.* 4.2.7.Montrer que1 +12 ++1n n!1log(n):

Proposition. 4.2.8.

Règle de d"Alem bert.On supposeun>0etlimn!1u

n+1u n=`.

Si` <1, la série converge.

Si` >1, la série diverge.

Si`= 1, on ne peut conclure.

Démonstration.On suppose` <1. Soitt.q.` < <1. Commelimn!1u n+1u n=`, on sait que9n0,

8nn0,un+1u

n. Donc pournn0:unun12un2 nn0un0=Cn(avec

C=un0=n0). Par le critère de comparaison avec une série géométrique convergente, on en déduit la

convergence de la série. Le cas` >1se traite de manière analogue en minorant la suiteunpar une suite

géométrique à somme divergente.

On verra plus loin des exemples de typeun=1n

(série de Riemann), avec une limite`= 1mais où

la série peut être convergente (si >1) ou divergente (si1).Exemple : Etudier la série de terme généralun:=nen,n1, pour2R. On montre queun+1u

n!

1=e <1, et on a bienun>0, donc par la règle de Cauchy la sérieP

n1unconverge. On pourra démontrer à titre d"exercice, de maniere analogue le résultat suivant.

Proposition. 4.2.9.

(Règle de d"Alem bert,v ariante).On supposeun>0. Siun+1u n`à partir d"un certain rang, avec` <1, la série converge. Siun+1u n`avec` >1, à partir d"un certain rang, la série diverge. De manière analogue à la règle de d"Alembert, on démontre la proposition suivante :

Proposition. 4.2.10.

Règle de Cauc hy.On supposeun0etlimn!1npu

n=`.

Si` <1, la série converge.

Si` >1, la série diverge.

Si`= 1, on ne peut conclure.

Exercice. 4.2.11.Sinpu

n`à partir d"un certain rang, avec` <1, la série converge; sinpu n`à partir d"un certain rang, avec` >1, la série diverge.

4.3 Comparaison avec une intégrale

Supposonsun=f(n), avecfdécroissante. Alors

Z n+1 n f(t)unZ n n1f(t)dt: 3

D"où, par exemple :

Zn+1 1 f(t)nX k=1u ku1+Z n 1 f(t)dt: Théorème. 4.3.1.Siun=f(n)(pourna), avecf: [a;1[!R+, décroissante, alors X n1u nCV,Z 1 a f(t)dt CV

Corollaire. 4.3.2.

Séries de Riemann :X

n11n

CV, >1.

Séries de Bertrand :

X n21n log(n)CV,( >1ou= 1et >1). A titre d"exemple, on pourra démontrer le résultat suivant : Proposition. 4.3.3.Soitf:R+!R+continue, décroissante, positive. Alors u n=nX k=1f(k)Z n 0 f(t)dtconverge quandn!+1 (On pourra vérifier queunest décroissante et minorée).

Application :9

2R, 1 + 12 ++1n =log(n) + +o(1); n! 1

La constante

est appelée constante d"Euler.

4.4 Séries alternées

On appelle série alternée toute série(Pun)de la forme u n= (1)nan;avecan0.

Théorème. 4.4.1.

Séries alternées.

On suppose quePunest une série alternée :

u n= (1)nan;8n0; avec a n0,an&etliman= 0.

On noteS=P

k0ukla somme de la série (si elle existe),Sn=Pn k=0uk(sommes partielles) et R n=P knuk(le reste de la série). (i)La série de terme généralunconverge (doncSetRnsont bien définis). (ii)S2ndécroissante,S2n+1croissante, et S

2n+1SS2n;8n:

(iii)Rnest de même signe que(1)n, et Rn =anan+1+an+2 an;8n: 4

Attention une série peut etre alternée à partir d"un certain (ou définie à partir d"un certain rang). Par

exmpleP n1(1)n+1an=a1a2+a3a4+(avecan0,andécroissante vers0). Le résultat de

convergence s"applique encore (puisque cela revient à modifier qu"un nombre fini de termes par rapport

à une série alternée à partir du rangn= 0, par exemple). AussijRnj an, mais les autres inégalités

peuvent etre décalées.

Exemple :

X n0(1)nn+ 1,X n1(1)nn avec >0, ...

4.5 Convolution de séries

Definition. 4.5.1.SoitPanetPbndeux séries à terme généralan;bn2C. On appelle série convolée

dePanparPbn(ou "série produit"), la série de terme généralcn=Pn k=0akbnk. (On note parfois c=ab). Théorème. 4.5.2.(i)Sian;bn0,PanetPbnCV alorsPcnCV etPcn= (Pan)(Pbn). (ii)SiPanetPbnsont AC alorsPcnest aussiAC, avecPjcnj (Pjanj)(Pjbnj), et on a encore l"égalitéXc n= (Xa n)(Xb n):

Théorème. 4.5.3.

La fonction exp onentiellecomplexe ez.Pour toutzdansC, on pose e z=X n0z nn!:

1) La série est AC pour toutz2C.

2) Pour touty;z2C:ey+z=eyez

3) Pour toutz2C:jezj ejzj

4) Pour toutx;yréels :jeiyj= 1, etjex+iyj=ex>0.

On peut alors définircos(x) =Re(eix)etsin(x) =Im(eix)et retrouver les formules de trigonométrie

classiques. Le nombrepeut être défini comme le plus petit réel>0t.q.cos(=2) = 0.

4.6 Complément* : transformation d"Abel

Il s"agit typiquement de la transformation suivante, pourp < q: q X n=pa n(bn+1bn) =qX n=p+1b n(an1an) +aqbq+1apbp: C"est un analogue discret de l"intégration par parties : Z b a u(x)v0(x)dx=Z b a u0(x)v(b) +u(b)v(b)u(a)v(a)

Théorème. 4.6.1.

(Règle d"Ab elp our

Panun.)On supposeAn=Pn

i=0aibornée,un!0etP n0jun+1unjconvergente. AlorsPanunconverge. Corollaire. 4.6.2.SiAnbornée,unréelle, positive, décroissante vers0, alorsPanunconverge.

Exercice. 4.6.3.Montrer queP

n1enin est AC pour tout >1, et CV pour tout2]0;1]et6= 0[2] (pour2]0;1]on pourra utiliser la règle d"Abel). 5

4.7 Compléments* : moyenne de Césaro, comparaison des cri-

tères.

Exercice (moyenne de Césaro).Sixn!`, alors1n

P n i=1xi!`.

Exercice.Montrer que siun>0etlimun+1u

n=`, alorslimnpu n=`. En particulier, la règle de Cauchy implique la règle de d"Alembert (puisqu"elle nécessite une hypothèse plus faible).

4.8 Compléments* : sommes de Riemann

Théorème. 4.8.1(Sommes de Riemann).Soitfcontinue par morceau :[a;b]!RouC. Pourn1 on définitai=a+iban et(xi)tels quexi2[ai;ai+1]. Alors u n=ban f(x0) ++f(xn1) n!1!Z b a f(t)dt

On pourra démontrer en exercice le résultat dans le cas oùfest Lipschitzienne :jf(x)f(y)j Ljxyj

pour toutx;y. Dans ce cas,junRb af(t)dtj 12

L(ba)2=n.

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