Feuille de TD no 1 4
May 25 2022 1. Une chaine de Markov homog`ene de matrice de transition P est. — absorbante si p = 0 ou q = 0. — irréductible non ...
TD 14 : Convergence de chaînes de Markov Corrigé
TD 14 : Convergence de chaînes de Markov. Corrigé. Mercredi 20 Décembre. Exercice 1 (Une suite de flips). Soit n ≥ 4. On considère un polygone régulier Pn à n
Corrigé dexamen module Sûreté de Fonctionnement (GI 712)
3. Pour une chaine de Markov la durée moyenne d'occupation d'un état peut être définie en quoi: La probabilité d'occuper
U.F.R. de Mathématiques Master 2 ISN 2015-2016 Chaînes de
Chaînes de Markov. Corrigé de l'examen du 3 décembre 2015. Les processus de naissance et de mort sont utilisés pour modéliser l'évolution de la taille d'une
DS: Chaˆınes de Markov: Corrigé succint durée 1h30 Exercice 1. (5
Nov 12 2013 Justifier (en une phrase) que (Xn)n≥0 est une chaıne de Markov homog`ene. Donner son espace d'états et calculer sa matrice de transition P.
Corrigé type dExamen du module SdF (GI712)
Réponse : Non l'établissement d'une chaine de Markov pour un certain système nécessite non seulement la connaissance des ses composants
Corrigé de lexamen du 18 avril 2013 (durée 2h)
Apr 18 2013 a) Pour quelle valeur de α
Examen : Chaînes de Markov
Jan 5 2009 Exercice 1. On considère une chaîne de Markov sur les sommets d'un triangle ABC. Cette chaîne est définie par les règles suivantes : chaque ...
Examen de Probabilités: Chaˆınes de Markov 13h30-15h30
Nov 12 2013 Tracer le graphe orienté associé `a P. (Voir annexe). 2. Montrer que la chaıne de Markov est irréductible et apériodique.
Examen de Probabilités: Chaˆ?nes de Markov 13h30-15h30
12 nov. 2013 Tracer le graphe orienté associé `a P. (Voir annexe). 2. Montrer que la cha?ne de Markov est irréductible et apériodique.
Corrigé de lexamen du 26 avril 2012 (durée 2h)
26 avr. 2012 Les trois parties sont indépendantes. Exercice 1 : On considère une chaîne de Markov (Xn)n?0 sur {1...
U.F.R. de Mathématiques Master 2 ISN 2014-2015 Chaînes de
Corrigé de l'examen du 4 décembre 2014. Ex 1. [15 points]. Soit (Xn)n?0 la chaîne de Markov homogène à valeurs dans N de matrice de transition.
U.F.R. de Mathématiques Master 2 ISN 2015-2016 Chaînes de
Chaînes de Markov. Corrigé de l'examen du 3 décembre 2015. Les processus de naissance et de mort sont utilisés pour modéliser l'évolution de.
Corrigé type dExamen du module SdF (GI712)
Est-ce que l'établissement d'une chaine de Markov pour un certain système nécessite uniquement la connaissance de ses composants ? Expliquer.
Questions de cours Exercices A S B C D
Examen partiel du 19 novembre 2013. Éléments de correction Donner l'énoncé du théorème ergodique pour les chaînes de Markov récurrentes positives.
Chaˆ?nes de Markov avancées
21 déc. 2012 Corrigé Examen de Chaˆ?nes de Markov. Avancées. Partie I : compréhension du processus et simula- tion. 1.(a) Entre 9h00 et 9h08 ...
DS: Chaˆ?nes de Markov: Corrigé succint durée 1h30
12 nov. 2013 Justifier (en une phrase) que (Xn)n?0 est une cha?ne de Markov homog`ene. Donner son espace d'états et calculer sa matrice de transition P.
Mary - TD 12 – Chaînes de Markov (distributions invariantes) (corrigé)
TD 12 – Chaînes de Markov (distributions invariantes) (corrigé). Exercice 1. Proposition utiles. Le but de cet exercice est de démontrer les propriétés
TD 11 : Chaînes de Markov Corrigé
Corrigé. Mercredi 29 Novembre. 1 Chaînes de Markov. Exercice 1 (Markov ou pas Markov ?) Soit (Sn) une marche aléatoire simple sur Z. Lesquels des processus
[PDF] Examen de Probabilités: Chaˆ?nes de Markov 13h30-15h30
12 nov 2013 · Examen de Probabilités: Chaˆ?nes de Markov 13h30-15h30 Exercice 1 (5 points environ) On consid`ere une cha?ne de Markov (Xn)n?0 sur
[PDF] Processus-M1-2012-Examenpdf
26 avr 2012 · Corrigé de l'examen du 26 avril 2012 (durée 2h) Exercice 1 : On considère une chaîne de Markov (Xn)n?0 sur {1 7} de matrice de
[PDF] Examen : Chaînes de Markov
5 jan 2009 · Exercice 1 On considère une chaîne de Markov sur les sommets d'un triangle ABC Cette chaîne est définie par les règles suivantes : chaque
[PDF] CHAÎNES DE MARKOV - ceremade
CHAÎNES DE MARKOV Spécialité : INGENIEUR 1ère année Béatrice de Tilière La partie “Rappels de probabilités” est basée sur des notes écrites en
[PDF] Chaînes de Markov Corrigé de lexamen du 3 décembre 2015
U F R de Mathématiques Master 2 ISN 2015-2016 Chaînes de Markov Corrigé de l'examen du 3 décembre 2015 Les processus de naissance et de mort sont
[PDF] TD 11 – Chaînes de Markov (récurrence/transience) (corrigé) - CNRS
Exercice 2 Chaines de Markov ? Soit (Xn)n?N une chaîne de Markov associée à une matrice de transition P
[PDF] TD 12 – Chaînes de Markov (distributions invariantes) (corrigé)
TD 12 – Chaînes de Markov (distributions invariantes) (corrigé) Exercice 1 Proposition utiles Le but de cet exercice est de démontrer les propriétés
[PDF] CORRIGÉ
Donner la matrice de transition P de la cha?ne de Markov d'ensemble d'états S = {IMR} modélisant la population `a laquelle appartient cet individu
[PDF] Examen Chaînes de Markov - Université Paris-Saclay
Correction P bien définie car l'irréductibilité implique que l'unique mesure stationnaire est strictement positive en tout point x ; le fait que P soit
[PDF] TD 7 : Chaînes de Markov - Dimitri Watel
Écrivez la matrice de transition et le graphe associé ? Correction S = 1Pierre Feuille Ciseau Lézard Spockl dans cet ordre
M1 - Processus Année 2011-2012
Corrigé de l"examen du 26 avril 2012(durée 2h) Tous documents interdits. Soyez concis, mais justifiez scrupuleusement ce que vous faites.Les trois parties sont indépendantes.
Exercice 1 :On considère une chaîne de Markov(Xn)n0surf1;:::;7gde matrice de transitionQ donnée par Q=0 BBBBBBBB@1=2 1=4 0 1=4 0 0 0
1=2 0 0 0 0 0 1=2
0 0 1=8 0 7=8 0 0
1=4 0 0 0 0 0 3=4
0 1=9 7=9 0 0 1=9 0
0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 01
CCCCCCCCA
a)Dessiner le graphe de la c haînede Mark ovasso ciéeen précisan tle sprobabilit ésde transitions
entre les différents états. b) Détermi nerles classes d"états récurren tset transitoires. c)La c haîneest-elle irréductible ?
d)Calcu lerP3(X2= 6)etP1(X2= 7).
Solution de l"exercice1.
a) Graphe :12534761/4
1/21/97/9
1=41=21=43=41/9
17/81/21/8
1b) On déduit du graphe qu"il y a deux classes récurrentes :f1;2;4;7getf6g, et une classe transiente :
f3;5g. c) Non, sinon elle n"admettrait qu"une seule classe. d) Par la formulePx(X2=y) =Q2(x;y) =P zQ(x;z)Q(z;y), on obtient P3(X2= 6) =Q(3;5)Q(5;6) =78
19 =772 ;et P1(X2= 7) =Q(1;2)Q(2;7) +Q(1;4)Q(4;7) =14
12 +14 34=516 1 Exercice 2 :On définit une suite de variables aléatoires(Sn)n0par S
0=x >0p.s.;et pourn1,Sn=Sn1+"nSn1;
où("n)n1est une suite de v.a. indépendantes et identiquement distribuées de loi12 1+121, et où
est un réel tel quejj<1. Soit(Fn)n0la filtration naturelle de(Sn)n0,i.e.Fn=(S0;:::;Sn), pour toutn0. a)Mon trerque (Sn)n0est une(Fn)n0-martingale.
b) Mon trer(par récurrenc e)que p ourtout n0,Sn>0. c) En déduire qu e(Sn)n0converge p.s., quandntend vers+1. d) On p ose,p ourtout n0,Zn= logSn:Montrer queZn=Zn1+ log(1 +"n). e)En déduire qu e
Z n= logx+nX k=1log(1 +"k): f)Calc ulerE(log(1 +"1)), et montrer que
Z nn p.s.!n!112 log(12): g)En déduire a lorsque Snconverge p.s. quandntend vers l"infini, vers une limite à déterminer.
Solution de l"exercice2.
a)(Sn)est clairement adapté par définition de(Fn). Montrons queSnintégrable pour toutn0. S0est intégrable car constante. Supposons par récurrence queSn1est intégrable. Alors comme
jj<1etj"nj 1p.s., on ajSnj 2jSn1j, et doncSnest intégrable. Pour toutn0, on aE(Sn+1jFn) =E(Sn+"n+1SnjFn)
=Sn+SnE("n+1jFn)carSnestFn-mesurable =Sn+SnE("n+1); car"n+1est indépendante deFnpar construction. Comme"n+1est centrée,i.e.E("n+1) = 0, on obtientE(Sn+1jFn) =Sn, et donc(Sn)nest une martingale. b) On a S1=S0(1+"1) =x(1+"1). Or1< <1et"1=1p.s., donc1+"1>0, et comme x >0,S1est positive. Par récurrence, on suppose alorsSn>0. Et commeSn+1=Sn(1+"n+1), par la même preuve que pourS1,Snest positive. c) Comme (Sn)nest une martingale positive, elle converge p.s., car elle est bornée dansL1,i.e. sup nEjSnj<1. d)Zn= logSn= log(Sn1(1 +"n)) = logSn1+ log(1 +"n) =Zn1+ log(1 +"n). e)P arrécu rrenceimmédiate ,on obtien tdonc
Z n= logx+nX k=1log(1 +"k): f) Comme 1 +"1>0p.s.,log(1 +"1)est bien définie p.s. et intégrable. On a alorsE(log(1 +"1)) =12
log(1 +) +12 log(1) =12 log(12): Par la loi des grands nombres, appliquée aux v.a. i.i.d. intégrableslog(1 +"i), on a 1n n X k=0log(1 +"k)!E(log(1 +"1));p.s. et comme logxn !0, on obtient bien le résultat demandé. 2 g)Comme jj<1, on a0< 2<1et0<12<1, doncZnconverge p.s. vers1etSn converge p.s. vers 0. Exercice 3 :Soient(Xn)n0,(Yn)n0,(Zn)n0des suites de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, toutes les trois indépendantes entre elles, et de même loi 12 1+12 1. On posen= (Xn;Yn;Zn), etSn=Pn k=1k, avecS0= (0;0;0)p.s. a)Mon trerque (Sn)n0est une chaîne de Markov.
b)Que v autP(Pn
k=1Xk= 0)pournimpair? c)Mon trerque P(P2n
k=1Xk= 0) =Cn2n(12 )2n. d)En déduire q ueP(S2n= (0;0;0)) = (Cn2n(12
)2n)3. e) Donner un équiv alentquan dn! 1deP(S2n= (0;0;0)).On rappelle la formule de Stirling : n!+1nnenp2n. f)Mon trerque (0;0;0)est transitoire.
Solution de l"exercice3.
a) Soients0;:::;sn+12Z3tels queP(S0=s0;:::;Sn=sn)>0. Alors, commeSn+1=Sn+n+1, on a P(Sn+1=sn+1jS0=s0;:::;Sn=sn) =P(Sn+n+1=sn+1jS0=s0;:::;Sn=sn) =P(sn+n+1=sn+1jS0=s0;:::;Sn=sn) =P(sn+n+1=sn+1); par indépendance den+1et deS0;:::;Sn. On obtient de même queP(Sn+1=sn+1jSn=sn) =P(sn+n+1=sn+1);
et donc(Sn)nest une chaîne de Markov. b) CommeXnest à valeurs dansf1;+1gp.s., on ne peut revenir en 0 qu"en un nombre pair de pas, et doncP(Pn k=1Xk= 0) = 0pournimpair. c) Pour queP2n k=1Xk= 0il faut quenvariables soient égales à+1etnvariables soient égales à1. Il y a pour celaCn2npossibilités et comme les v.a.Xnsont i.i.d. on obtientP(P2n k=1Xk= 0) =Cn2n(12 )2n. d) CommefS2n= (0;0;0)g=fP2n k=1Xk= 0;P2n k=1Yk= 0;P2n k=1Zk= 0g, par indépendance desXi, Y i,Zion obtientP(S2n= (0;0;0)) =P
2nX k=1X k= 0 P 2nX k=1Y k= 0 P 2nX k=1Z k= 0 ce qui donne le résultat par la question précédente. e) Par la formule de Stirling, on a quandn! 1, C n2n12 2n (2n)2ne2np4nn2ne2n2n
12 2n 1pn et en passant à la puissance 3, on obtientP(S2n= (0;0;0))1(n)3=2:
f) L"espérance du nombre de retour en(0;0;0)N0estE(N0) =EX
n0? fS2n=0g =X n0P(S2n= (0;0;0)) et commeP(S2n= (0;0;0))1(n)3=2qui est sommable, on aE(N0)<1. Le nombre de retour en (0;0;0)est donc fini p.s., c"est-à-dire que(0;0;0)est transitoire. 3quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7[PDF] temperature pdf
[PDF] la chambre des officiers résumé film
[PDF] la chambre des officiers questionnaire reponse
[PDF] la chambre des officiers contexte historique
[PDF] la chambre des officiers clemence
[PDF] procédure de délogement d'un client
[PDF] comment satisfaire un client ayant été délogé subitement
[PDF] délogement interne ou externe
[PDF] overbooking hotel definition
[PDF] lancement d'une entreprise module 1
[PDF] lancement d'une entreprise module 7
[PDF] lancement d une entreprise module 4
[PDF] présenter une entreprise dans un mémoire
[PDF] exemple de présentation d'entreprise pour rapport de stage