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Université de Marne la Vallée Master IMIS - Math

Lundi 5 janvier 2009 Processus stochastiques 1

Examen : Chaînes de Markov

Durée 3h - Ni calculatrice, ni documents autorisés -Question de cours.

Donner la définition

1. d"une c haînede Mark ovhomog ènerécurren tep ositive 2. d"une c haînede Mark ovhomog ènerécurren ten ulle 3. d"une c haînede Mark ovhomog ènetransien te

Exercice 1.

On considère une chaîne de Markov sur les sommets d"un triangleABC. Cette chaîne est

définie par les règles suivantes : chaque instant on se déplace sur le sommet contigu en sens

trigonométrique avec probabilitépet dans le sens des aiguilles d"une montre avec une probabilité

1p, oùpdésigne un rel tel que0< p <1.

1. T racerle graphe et écrire la ma tricede transition d ecette c haîne. 2. Mon trezque cette c haîneest irré ductible,récur rentep ositive. 3.

Calculez sa proba bilitéin variante.

4.

Calculez

lim 5. P ourquelles v aleursde pla probabilité invarianteest-elle réversible?

Exercice 2.(Algorithme de Métropolis)

SoitEun ensemble d"états fini ou dénombrable etPune matrice de transition irréductible. 1.

Soit une probabilité réversible pourP.

Montrez que, sousP, la loi du chemin(X0;X1;:::;Xn)est la même que celle du chemin en marche arrière(Xn;Xn1;:::;X0). 2. On supp osemain tenantet dans tout la suite d el"exercice quePestsymétriquei.e.

8(x;y)2EE; P(x;y) =P(y;x):

(a) On supp oseEfini. Quelle est la probabilité invariante deP? (b) On supp oseEinfini dénombrable. Une chaîne de Markov de transitionPest-elle récurrente? Récurrente nulle? Rcurrente positive? 3. On su pposeEfini ou dénombrable. Soitune probabilité surEtelle que(x)>0pour toutx2E. On définit alors une nouvelle matrice de transitionQpar

Q(x;y) :=8

>>>:P(x;y)si(y)(x)etx6=y;

P(x;y)(y)(x)si(y)< (x);

1X z6=xQ(x;z)siy=x: 1 (a)Mon trezque Qest bien une matrice de transition. (b) Mon trezque P(x;y)>0)Q(x;y)>0. En déduire queQest irréductible. (c) Mon trezque est réversible pourQet donc queest invariante pourQ. Note : cet exercice montre comment on peut construire une chaîne de Markov ayant une proba- bilité stationnairefixée l"avance. Exercice 3.Angela possède3parapluies. Chaque jour, elle va au bureau le matin et revient son

domicile le soir. Pour chaque trajet, s"il pleut, elle emporte avec elle un parapluie, à condition

qu"il y ait au moins l"un des trois parapluies sa disposition sur place. Bien entendu elle ne peut pas emporter de parapluie avec elle s"il pleut mais qu"aucun des trois parapluies ne se trouve sa disposition sur place. Elle n"emporte pas de parapluie non plus s"il ne pleut pas. On suppose que la probabilité qu"il pleuve au début de chaque trajet est de13 et que celle-ci est indépendante de la météo (pluie / beau temps) de tous les trajets antérieurs.

SoitXnle nombre de parapluies qu"Angela possède l"endroit où elle se trouve avant de débuter

len-ime trajet. 1. Mon trerque (Xn)n0est une chaîne de Markov et donner sa matrice de transition. 2. Quelle est la nature d ecette c haîne?(Irréductible?T ransiente?Récu rrente?) 3. Quelle est la pro babilité,asymptotiquemen tau b outd "ungrand nom brede v oyages,qu"An- gela ne dispose pas de parapluie sur place au moment de partir? 4. Quelle est la probabilité asymptotiq uequ"elle se fasse mouill erb êtement,c"est-dire q u"elle n"ait pas de parapluie sa disposition alors qu"il pleut lors de son départ?

Exercice 4.(Compagnie d"assurance)

A Gotham City, la compagnie d"assurance LUTHORSUR a instauré une formule de primes

de risque base sur les sinistres enregistrés de ses clients. Si aucun accident ne s"est produit au

cours des deux dernières années, la prime est de400gothams (la monnaie locale). Si un accident

s"est produit pendant les deux dernières années la prime monte750gothams, et si l"assuré a eu

deux accidents pendant les deux dernières annes, la prime culmine1200gothams. On suppose de

plus qu"un assuré ne peut avoir, au maximum, qu"un accident par an. Les analyses basées sur les

statistiques de sinistres des dix dernières années indiquent que : Si un acciden ts"est pro duitl "annéep asse,il y a 12% de c hancesd"a voirun acciden tcette anne. Si aucun accide ntn"a t enregistré l"an dernier, il y a seulemen t4% de c hancesd"a voirun accident cette année. 1. Mo déliserce problème pa rune c haînede Mark ov.Donner sa matric ede transition. 2. Quelle est la prime mo yennepa yéec haqueannée par un clien tla compagnie d"Alex Luthor ? 2quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7

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