[PDF] DS: Chaˆ?nes de Markov: Corrigé succint durée 1h30

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Master MIMSE specialite 2 12 novembre 2013

DS: Cha^nes de Markov: Corrige succint

duree 1h30

Exercice 1.(5 points environ)

Un message pouvant prendre deux formes (\A" ou \B") est transmis a traversnintermediaires. On suppose que chaque intermediaire transmet delement le message qu'il recoit avec probabilitep, 0< p <1, et qu'il le deforme en son contraire avec probabilite 1p. On suppose de plus que tous les intermediaires sont independants. On noteXnl'information transmise par len-eme intermediaire etX0 l'information initiale. Pourn1, on poseXn= 1 si len-eme intermediaire transmet \A" etXn= 2 si len-eme intermediaire transmet \B". De m^eme on poseX0= 1 si l'information initiale est \A" etXn= 2 si l'information initiale est \B". On noteraFnl'evenement: \len-eme intermediaire transmet delement l'information qu'il a recue".

1. Donner la denition d'une cha^ne de Markov. Justier (en une phrase)

que (Xn)n0est une cha^ne de Markov homogene. Donner son espace d'etats et calculer sa matrice de transitionP. voir cours pour la denition. Ici l'information transmise au temps n+ 1 ne depend que de l'nformation transmise au tempsn(et pas de toules informations transmises precedemment), donc (Xn)n0est bien une cha^ne de Markov. De plus, le mecanisme de transmission de l'information est independant de l'instantn+1, la cha^ne est donc homogene. De plus on a:

P(Xn+1= 1jXn= 1) =P(Xn+1= 2jXn= 2) =P(Fn+1) =p;

P(Xn+1= 2jXn= 1) =P(Xn+1= 1jXn= 2) =P(Fcn+1) = 1p:

2. Verier que

(1;1)P= (1;1) et que (1;1)P= (2p1)(1;1)

3. On considere que la loi initiale est la loi uniforme (

12 ;12 ). Donner la loi de la cha^ne au tempsn. La question precedente montrer que la loi uniforme est invariante. La loi au tempsnest (12 ;12 1

4. On considere maintenant que la loi initiale est la mesure (

34
;14 ). Donner la loi de la cha^ne au tempsn. (On pourra ecrire (34 ;14 ) =a(12 ;12 b(12 ;12 ) pour certainsa;b2R). Quelle est la loi limite quandn! +1? Un calcul facile donnea= 1 etb= 1=2. Donc la loi au tempsnest donne par: 34
;14 )Pn= (12 ;12 )Pn+12 (12 ;12 )Pn= (12 ;12 ) +12 (2p1)n(12 ;12 Orj2p1j<1, donc quandn!+1la loi au tempsntend vers la mesure invariante ( 12 ;12

Exercice 2.(7 points environ)

On considere la matricePsuivante sur l'espace d'etatsE=f1;2;3;4;5;6g: P:=0 B

BBBBB@0 0 0 1 0 0

1 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

12 a0 0 0 0 0 0 0 14 034
0 012 012 01 C

CCCCCA

1. Donner la valeur deapour quePsoit une matrice de transition.

a= 1=2.

2. Tracer le graphe associe aP.

3. Donner les classes communiquantes. Preciser leur periode et si elles

sont recurrentes ou transientes. f1,2,4gclasse fermee et nie donc recurrente et de periode 1. On a en eet un chemin de lonueur 2 (1!4!1) et 1 de longueur 3 (1!4!2!1) f3gclasse fermee et nie donc recurrente de periode 1. f5,6gclasse non femee et donc transiente et de periode 2.

4. On noteT4:= inffn0;Xn= 4g. CalculerP5(T4<+1).

On cherche la probabilite partant de 5 d'atteindre 4. On remarque queP4(T4<+1) = 1 etP3(T4<+1) = 0. On a P

5(T4<+1) =14

P4(T4<+1) +34

P6(T4<+1)

14 +34
12

P3(T4<+1) +12

P5(T4<+1)

14 +38

P5(T4<+1);

2 et nalement on trouve:P5(T4<+1) =25

Exercice 3.(8 points environ)

On etudie une le d'attente a un guichet. Le temps de service d'un client est constant et est pris comme unite de temps. On notenle nombre de clients arrivant pendant lan-eme periode de temps. On suppose que les variables aleatoires (n)n1sont independantes et de m^eme loi. On suppose de plus que(0) =P(1= 0)>0 ,(1) =P(1= 1)>0 et(2) =P(1= 2)>0. Un client arrivant dans cette periode ne peut ^etre servi avant l'instant n+ 1 (m^eme si personne ne se trouve au guichet). On noteXnle nombre de clients dans la le d'attente a l'instantn. On suppose que le nombre de clientsX0est independant de la suite (n)n1.

1. Justier que l'on a la relationXn+1=Xn1fXn1g+n+1,n0.

Le nombre de clients dans la lle d'attente estXn+1=n+1=Xn+ n+1siXn= 0 (c'est-a-dire si la le est vide) et il est deXn+1= X n1 +n+1siXn1 (c'est-a-dire si la le n'est pas vide).

2. En deduire que (Xn)n0est une cha^ne de Markov.

X n+1=f(Xn;n+1) avec (n)nsuite de va i.i.d. et independante de X

0donc (Xn)n0est une cha^ne de Markov (homogene).

3. Donner l'espace d'etats et sa matrice de transition.E=N. La matrice

de transition est donnee par:

P(0;k) =P(1=k) =(k);k0;

P(n;n+k) =P(1=k+ 1) =(k+ 1);n1;k 1:

4. Montrer que la cha^ne est irreductible et aperiodique.

Puisque(2)>0,P(n;n+ 1)>0 pourn1.

Puisque(0)>0,P(n;n1)>0 pourn1.

Puisque(1)>0,P(0;1)>0.

On a donc: 0!1!2! !netn!n1! !1!0,

pour toutn. On a donc une seule classe communiquante: la cha^ne est irreductible. On aP(0;0) =(0)>0 donc 0 (et toute la cha^ne) est aperiodique.

5. Donner la denition d'un etat recurrent et d'un etat transient. (voir

cours.)

6. On suppose dans cette question queE[1]>1. Montrer d'abord que

X nX0n+1++n: 3 A l'aide de la loi forte des grands nombres, en deduire que presque s^urementXn!+1et que la cha^ne est transiente. L'inegalite vient du fait qu'on enleve au plus 1 a chaque coup. On ecrit alors: X nX0+n1++nn 1

La loi forte des grands nombres donne que p.s.

1++nn !E[1]>1, doncXn!+1p.s. On en deduit que (partant de 0) le nombre de passage en 0 est ni p.s., donc 0 est transient et la cha^ne est transiente.

7. * On suppose queE[1]<1. En ecrivant

X n=X0+nX i=1 in+n1X i=01 fXi=0g; montrer que l'etat 0 est recurrent. Conclure pour tous les etats de la cha^ne. L'egalite vient du fait qu'a chaque coup, on enleve 1 si et seulement siquotesdbs_dbs4.pdfusesText_7

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