1.3 Les méthodes directes
1.3.2 Méthode de Gauss méthode LU. Soit A ∈ Mn(IR) une matrice inversible La factorisation LU de la matrice découle immédiatement de l'algorithme de Gauss.
Algorithme de la résolution par le pivot de Gauss dun système 3x3
20 oct. 2015 Algorithme de la résolution par le pivot de Gauss d'un système 3x3. 1 La méthode. 1.1 Un exemple. Le but est d'éliminer successivement l ...
Cours 1: Autour des systèmes linéaires Algorithme du pivot de
Une méthode pour inverser une matrice : Pivot de Gauss. L'algorithme général. Remarque importante. Il existe des applications qui n'admettent pas d'inverse
1 Méthode de Gauss et factorisation LU
(c) Résoudre le système (1) par l'algorithme de Gauss avec pivot partiel. (d) Calculer la factorisation ¯L¯U de PA (où P est la matrice produit des matrices de
Cours 1: Autour des systèmes linéaires Algorithme du pivot de Gauss
Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéaires. But de l'algorithme. Opérations autorisées. Un exemple avant la "théorie". Mécanismes
Étape A : processus délimination de Gauss
Dans chaque cas on écrira les étapes de la méthode sous forme matricielle. 2. (algo) Soit M ∈ Mn(R) une matrice carrée inversible et soit b ∈ Rn un
Résolution des syst`emes linéaires Méthode de Gauss
Cet algorithme permet ainsi de calculer rapi- dement
Analyse Numérique
L'algorithme de Gauss Si A est une matrice symétrique définie positive alors la méthode de Gauss-. Seidel converge (la méthode de Jacobi pas forcément).
Informatique en CPGE (2018-2019) Résolution dun système
méthode de Gauss. S. B.. Lycée des EK. 12 mars 2019. S. B. Le principe de l'algorithme du pivot de Gauss est d'exécuter des tâches répétitives qui ...
Algorithme du Pivot de Gauss
Le but de ce cours est l'étude de la résolution de systèmes linéaires. Nous nous intéresserons tout particulièrement à la méthode du pivot de Gauss déjà
Algorithme de la résolution par le pivot de Gauss dun système 3x3
20 oct. 2015 Algorithme de la résolution par le pivot de Gauss d'un système 3x3. 1 La méthode. 1.1 Un exemple. Le but est d'éliminer successivement ...
Résolution des syst`emes linéaires Méthode de Gauss
Méthode de Gauss. Méthodes numériques 2003/2004 - D.Pastre licence de mathématiques et licence MASS Cet algorithme permet ainsi de calculer rapi-.
Étape A : processus délimination de Gauss
Dans chaque cas on écrira les étapes de la méthode sous forme matricielle. 2. (algo) Soit M ? Mn(R) une matrice carrée inversible et soit b ? Rn un
Cours 1: Autour des systèmes linéaires Algorithme du pivot de Gauss
Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéaires. Cours 1: Autour des systèmes linéaires. Algorithme du pivot de Gauss. Clément Rau.
Informatique en CPGE (2018-2019) Résolution dun système
12 mars 2019 Algorithme du pivot de Gauss. Utilisation de NumPy. Informatique en CPGE (2018-2019). Résolution d'un système linéaire inversible: méthode ...
Cours 4 : Gauss et LU
par des méthodes directes : Gauss LU
Méthode du pivot de Gauss
Méthode du pivot de Gauss. On veut écrire un algorithme qui: 1. Renvoie l'unique solution de AX = B si A est inversible.
Cours 1: Autour des systèmes linéaires Algorithme du pivot de
Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéaires. Introduction aux matrices. Cours 1: Autour des systèmes linéaires. Algorithme du
S54MA2M7 : Informatique 2 Le pivot de Gauss et al.
5 mars 2019 ? A est triangulaire supérieure. Avec l'algorithme de solution des systèmes triangulaires donne une méthode pour résoudre (A
[PDF] Méthode du pivot de Gauss
La méthode du pivot permet d'associer `a tout syst`eme linéaire un syst`eme facile équivalent Elle consiste `a sélectionner une équation qu'on va garder
[PDF] Algorithme du Pivot de Gauss - CPGE du Lycée Montesquieu
Le but de ce cours est l'étude de la résolution de systèmes linéaires Nous nous intéresserons tout particulièrement à la méthode du pivot de Gauss déjà
[PDF] Résolution des syst`emes linéaires Méthode de Gauss - Normale Sup
Méthode de Gauss Méthodes numériques 2003/2004 - D Pastre licence de mathématiques et licence MASS Cet algorithme permet ainsi de calculer rapi-
[PDF] Chapitre V La méthode du pivot de Gauss et ses applications
- Intervertir deux équations : - Intervertir l'ordre des inconnues - Remplacer une équation par La technique du pivot : On décrit l'algorithme qui permet
[PDF] METHODE DU PIVOT DE GAUSS - Toutes les Maths
METHODE DU PIVOT DE GAUSS La méthode du pivot de Gauss permet la résolution générale des systèmes d'équations linéaires à n équations et p inconnues
[PDF] Cours 1: Autour des systèmes linéaires Algorithme du pivot de Gauss
Méthode par substitution Méthode par addition 3 Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéaires But de l'algorithme
[PDF] Algorithme de la résolution par le pivot de Gauss dun système 3x3
20 oct 2015 · Algorithme de la résolution par le pivot de Gauss d'un système 3x3 1 La méthode 1 1 Un exemple Le but est d'éliminer successivement
[PDF] Chapitre 2 Résolution des Systèmes Linéaires Ax=b Méthodes
Soit un système linéaire Ax = b l'algorithme de Gauss sans pivotation est la méthode classique de substitution La matrice d'origine A est d'abord
[PDF] 13 Les méthodes directes
La factorisation LU de la matrice découle immédiatement de l'algorithme de Gauss Voyons comment sur l'exem- ple précédent
[PDF] XI Algorithme de Gauss-Jordan - Emmanuel Morand
Algorithme de Gauss-Jordan 1 Opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice Définition 1 On définit trois types d'opérations élémentaires sur les
Comment faire la méthode de Gauss ?
La méthode du pivot de Gauss est une méthode pour transformer un système en un autre système équivalent (ayant les mêmes solutions) qui est triangulaire et est donc facile à résoudre. Les opérations autorisées pour transformer ce système sont : échange de deux lignes. multiplication d'une ligne par un nombre non nul.Quelle est la formule du pivot de Gauss ?
La méthode du pivot permet d'associer `a tout syst`eme linéaire un syst`eme facile équivalent. ? 2x + 3y + z = 1 ?7y + 7z = 1 ?7y ? 3z = ?2. on résout le syst`eme dérivé (par combinaison linéaire) et on conclut avec l'équation facile.Qu'est-ce qu'un pivot maths ?
Définition - Une matrice est échelonnée si le nombre de 0 au début de chaque ligne est strictement croissant quand on passe d'une ligne à la suivante. Le premier élément non nul de chaque ligne dans une matrice échelonnée s'appelle le pivot.- La transformation de Gauss-Jordan consiste à transformer ce système en un système équivalent dont le bloc gauche est l'identité, c'est-à-dire qu'il faut modifier la matrice (A I) pour qu'elle devienne de la forme (I A ? 1) en utilisant les propriétés de l'algorithme.
S54MA2M7 : Informatique 2
Le pivot de Gauss et al.
Luigi Santocanale
LIS, Aix-Marseille Université
5 mars 2019
PlanLa méthode du pivot de Gauss
Implémentation en Python
Notions de calcul numérique
Pour terminer : Gram-Schmidt ortho-normalisation
Moralité
La carte du jour :deux algorithmes d"algèbre linéaire : pivot de Gauss, Gram-SchmidtAussi, réflexions autourdu calcul numérique
de l"informatique dans l"apprentissage/enseignements des maths Beaucoup de matériel est tiré de :le(s) cours de Matthieu Moy : Autre source :https://www.math.ust.hk/~mamu/courses/231/Slides/CH06_2A.pdf
3/40 PlanLa méthode du pivot de Gauss
Implémentation en Python
Notions de calcul numérique
Pour terminer : Gram-Schmidt ortho-normalisation
4/40Solutions des systèmes d"équations
Système d"equations :
couple(A;b)avecA2M(n;m)etb2Rn.Solution :x2Rmtel que Ax=b:C"est-à-dire :
j=1;:::;ma i;jxj=bi;pour touti=1;:::;n;avecA= (ai;jji=0;:::;n1;j=0;:::;m1).On pense à(A;b)comme une matrice(A;b)2M(n;m+1).On se focalisera sur le casA2M(n;n)(m=n)
5/40 Solution des systèmes avecnumpyimportnumpy a snp def test(n):A= np .random.random([n, n])b= np .random.random([n])x= np .linalg.solve(A, b)b_computed=np .dot(A, x)
err_max abs (b b_computed) max()returnerr_max for i in range 1 1000):print("Size {}, error : {}".format(i, test(i))) 6/40
Erreurs avec les flottants arrondis
ipdb> p x10.3333333333333333ipdb> p x20.25ipdb> p x30.08333333333333331
ipdb> p x40.9999999999999998ipdb> p x5-2.220446049250313e-16 7/40Systèmes triangulaires
On supposen=m.Aest une matrice triangulaire supérieure.De la forme
a1;1x1+a1;2x2+:::+a1;nxn=b1
a2;2x2+:::+a2;nxn=b2
a n;nxn=bn Solution calculée récursivement (substitution en arrière) : x n=bna n;n;xi=1a i;i(biå iPivot de Gauss
Méthode pour transformer un système(A;b)en un système(A0;b0)tel que : IAx=bssiA0x=b0,
IA0est triangulaire supérieure.Avec l"algorithme de solution des systèmes triangulaires, donne une méthode pour résoudre(A;b).On supposeraA2M(n;n), mais on peut généraliser àA2M(n;m). 9/40Opérations élémentaires
Principe :SiC2M(n;n)est inversible, alors
Ax=bssiCAx=Cb:(A;b)i: ligneidu système(A;b)Opérations élémentaires sur les lignes :Échange :(A;b)i;(A;b)j (A;b)j;(A;b)i
Transvection :(A;b)i (A;b)i+l(A;b)j
Ces opérations s"expriment comme multiplication par une matrice inversible : (A;b) C(A;b): 10/40Exemple, avec n=3
240:930 :74 0:540:86
0:150 :80 0:940:66
0:21 0:15 0:060:143
5 240:930 :74 0:540:86
0:00 0:68 0:860:52
0:210 :15 0:060:143
5 240:93 0:74 0:540:86
0:000 :680 :860:52
0:000:020:060:053
5 240:93 0:74 0:540:86
0:00 0:68 0:860:52
0:00 0:000:030:043
5 11/40Mise en forme triangulaire
Définition
SoientA2M(n;n)et 1`n.
Aest`-triangulaire siai;j=0,
pour touti;jtels quej`eti>j.Exemple : 1-triangualaire, pas 2-triangulaire. 240:93 0:74 0:54
0:00 0:68 0:86
0:000:020:063
5Remarque
SiA2M(n;n)estn1-triangulaire, alors elle est
n-triangulaire.ToutAest 0-triangualaire.12/40Algorithme
On itère la procédure suivante avec`=1;:::;n1. Entrée :(A;b)2M(n;n+1)tel queAest`1-triangulaire.Sortie :(A0;b0)2M(n;n+1)tel queA
0est`-triangulaire,(A0;b0)a le même ensemble de solutions.(faire une copie deA)
siai;`=0, pour touti> `: retournerAsinon :soitip`tel queaip;`6=0# choix du piv ot(A;b)`;(A;b)ip (A;b)ip;(A;b)`pour touti> `:(A;b)i (A;b)il(A;b)`avecl=ai;`a
`;`retourner A 13/40Précision
Pour soucis de précision avec les arrondis
on chosit, dans la procedure, un pivot de valeur absolu maximum. Entrée :(A;b)2M(n;n+1)tel queAest`1-triangulaire. Sortie :(A0;b0)2M(n;n+1)tel quesiai;`=0, pour touti> `: retournerAsinon :soitip`tel quejaip;`j jai;`j, pour`in(A;b)`;(A;b)ip (A;b)ip;(A;b)`pour touti> `:(A;b)i (A;b)il(A;b)`avecl=ai;`a
`;`retourner A 14/40Complexité
On itère la procéduren1 fois.On suppose les operations sur les lignes coûtentO(1).On itère la boucle de la procédure
i=`+1;:::;n1=å i=1;:::;n`1=(n`)(n`+1)2 fois.Coût de la mise en forme triangulaire : `=1;:::;n1(n`)(n`+1)2 i=1;:::;n1i(i+1)2 (n1)n(n+1)2 =O(n3)Coût de resoudre un système triangulaire :O(n2)Coût total :O(n3)+O(n2) =O(n3). 15/40 PlanLa méthode du pivot de Gauss
Implémentation en Python
Notions de calcul numérique
Pour terminer : Gram-Schmidt ortho-normalisation
16/40Les opérations sur les lignes
import numpy as np def swap_lines (A, i, j): """Echange les lignes i et j danas la matrice A""" tmpA[i, :]
copy()A[i, :]
A[j, :]
A[j, :]
tmp returnA def transvection_ lines (A, i, j, x): """A_j <- A_j + xA_j """A[j, :]
A[j, :]
xA[i ,:]
returnA Que se passe t"il si on remplace
tmp = A[i, :].copy()partmp = A[i, :]? 17/40Choix du pivot
def pivot_index (A, l): """Etant donnee une matrice A et un indice l,retourne l"indice i >= l t.q. abs(A_{i,l}) est maximum""",! n A shape[ 0 ]# nombre de lignes i l for k in range (l 1 , n):ifabs (A[k, l])> abs (A[i, l]): i k return i 18/40Mise en forme triangulaire
def gauss (A, b): A1 A copy()# pour ne pas detruire A b1 b copy() n len (b)# on pourrait aussi la taille de aforl in range (n- 1 ): ipiv pivot_ index(A,l) if ipiv l: # echangesswap_lines(A1, l, ipiv) tmp b1[ip iv] b1[ipiv] b1[l] b1[l]= tmp for k in range (l 1 , n):# pivotage factorA1[k, l]
A1[l, l] transvection_lines(A1, l, k, factor)
b1[k] b1[ k] b1[l] factor returnA1, b1 19/40Solutions
def solve_triangu lar (A, b): n len (b) xquotesdbs_dbs44.pdfusesText_44[PDF] hamlet texte anglais
[PDF] parties prenantes internes et externes du groupe bic
[PDF] parties prenantes adidas
[PDF] hannah arendt condition de l'homme moderne chapitre 4
[PDF] résolution des triangles quelconques
[PDF] parties prenantes coca cola
[PDF] sncb billet week end jour férié
[PDF] billet shopping sncb 2016
[PDF] prix billet weekend sncb
[PDF] billet shopping sncb 2017
[PDF] ticket weekend sncb prix
[PDF] hannah arendt etat
[PDF] projet de résolution définition
[PDF] exemple de préambule
