[PDF] Algorithme de la résolution par le pivot de Gauss dun système 3x3

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DERNIÈRE IMPRESSION LE20 octobre 2015 à 17:28

Algorithme de la résolution

par le pivot de Gauss d"un système 3x3

1 La méthode

1.1 Un exemple

Le but est d"éliminer successivement l"inconnuexpuisy. Prenons comme exemple le système 3 x 3 suivant en numérotant les lignes : ?2x-y=1L1 -x+2y-z=2L2 -y+2z=3L3

•On diviseL1par 2 ce qui donne la ligneL?1

•On fait la combinaisonL2-(-1)L?1qui donneL?2

•On fait la combinaisonL3-0L?1qui donneL?3inchangée

On obtient alors le système :

?x-1

2y+0z=12L?1

0x+3

2y-z=52L?2

0x-y+2z=3L?3

•On diviseL?2par32ce qui donne la ligneL??2

•On fait la combinaisonL?1-?

-12? L ??2qui donneL??1 •On fait la combinaisonL?3-(-1)L??2qui donneL??3

On obtient alors le système :

?x+0y-1

3z=43L??1

0x+y-2

3z=53L??2

0x+0y+4

3z=143L??3

PAULMILAN1CLASSES LYCÉE

•On diviseL??3par43ce qui donne la ligneL???3

•On fait la combinaisonL??1-?

-13? L ???3qui donneL???1

•On fait la combinaisonL??2-?

-23? L ???3qui donneL???2

On obtient alors le système :

?x+0y+0z=5

2L???1

0x+y+0z=4L???2

0x+0y+z=7

2L???3

On obtient alors comme solution

?5

2; 4 ;72?

1.2 Un exercice

Par la même méthode, résoudre

?x+2y+3z=4L1

5x+6y+7z=8L2

9x+10y+9z=8L3

On trouve alors comme solution :(0 ;-1 ; 2)

1.3 Le cas général

Soit le système?????a

11x+a12y+a13z=b1

a

21x+a22y+a23z=b2

a

31x+a32y+a33z=b3

On forme alors la matrice(3×4)suivante :A=((C

1C2C3 L

1a11a12a13b1

L

2a21a22a23b2

L

3a31a32a33b3))

On teste les coefficients de la colonneC1:

•Sia11?=0 on divise la ligneL1para11sinon passe au suivanta21, •sia21?=0 on échange la ligneL1etL2et on divise la nouvelle ligneL1para21 sinon on passe au suivanta31 •sia31?=0 on échange la ligneL1etL3et on divise la nouvelle ligneL1para31 sinon tous les coefficient de la colonneC1sont nuls, le système n"admet pas de solution unique.

On obtient alors la matriceA=((C

1C2C3 L

11a?12a?13b?1L2a21a22a23b2

L

3a31a32a33b3))

PAULMILAN2CLASSES LYCÉE

2. ALGORITHME

On effectue alors sur les lignesL2etL3, les combinaisons linéaires suivante :

•L2-a21L1sur la ligneL2

•L3-a31L1sur la ligneL3

On obtient alors la matriceA=(((C

1C2C3 L

11a?12a?13b?1

L

20a?22a?23b?2

L

30a?32a?33b?3)))

On effectue alors les mêmes opérations sur les colonnesC2etC3. On obtient alors, si le système admet une solution unique, la matrice :

A=(((1 0 0b???1

0 1 0b???2

0 0 1b???3)))

la solution est alors(b???1;b???2;b???3)

2 Algorithme

•On doit d"abord rentrer les coeffi-cients du système dans la matrice [A] •On effectue les tests sur les coeffi-cients des colonne 1,2 et 3. •On permute éventuellement leslignesLIetLJgrâce à l"instruction sur la Ti : "permutLigne([A],I,J)" •On effectue alors les combinaisonslinéaires des deux autres lignes L

K-aKJLJgrâce à l"instruction Ti

"?ligne+(-[A](K,I),[A],J,K)"

•On transforme alors la 4ecolonne en

listeL1grâce à l"instruction Ti "Matr?liste([A], 4 ,L1)"

•On affiche alors la listeL1qui corres-

pond à la solution du système.

Variables:I,J,Kentiers

[A]matrice,L1liste

Entrées et initialisation

Rentrer la matrice[A]

Traitement

pourJde 1 à 3faire

J→I

tant queaIJ=0faire

I+1→I

siI=4alors

Afficher "Pas de solution

unique" stop fin fin

PermuterLIetLJ

Diviser la ligneJparaJJ

pourKde 1 à 3faire siK?=Jalors

LK-aKJLJ→LK

fin fin fin

Transformer la colonne 4 en listeL1

Sorties: AfficherL1

Remarque :On peut éventuellement avoir la solution du système en fraction en remplaçant la dernière ligne du programme par :

DispL1(1)?Frac,L1(2)?Frac,L1(3)?Frac

PAULMILAN3CLASSES LYCÉE

On teste le programme avec les deux exemples.On peut éventuellement inverser la 1reet la 3e ligne au premier exemple pour tester si le pro- gramme permute bien les lignes : ?-y+2z=3

2x-y=1

-x+2y-z=2

On trouve alors : { 2.5 4 3.5 }

On peut aussi tester le programme avec un sys-

tème qui n"admet pas de solution unique, par exemple le système : ?x+2y+3z=4 x-y+z=5

2x+y+4z=9

On remarquera que l"on a ajouté l"instruction

"stop", sinon le programme testea4J=0 et se met alors en erreur de dimension car la ma- triceAn"a pas 4 lignes.

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