1.3 Les méthodes directes
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Algorithme de Gauss-Jordan 1 Opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice Définition 1 On définit trois types d'opérations élémentaires sur les
Comment faire la méthode de Gauss ?
La méthode du pivot de Gauss est une méthode pour transformer un système en un autre système équivalent (ayant les mêmes solutions) qui est triangulaire et est donc facile à résoudre. Les opérations autorisées pour transformer ce système sont : échange de deux lignes. multiplication d'une ligne par un nombre non nul.Quelle est la formule du pivot de Gauss ?
La méthode du pivot permet d'associer `a tout syst`eme linéaire un syst`eme facile équivalent. ? 2x + 3y + z = 1 ?7y + 7z = 1 ?7y ? 3z = ?2. on résout le syst`eme dérivé (par combinaison linéaire) et on conclut avec l'équation facile.Qu'est-ce qu'un pivot maths ?
Définition - Une matrice est échelonnée si le nombre de 0 au début de chaque ligne est strictement croissant quand on passe d'une ligne à la suivante. Le premier élément non nul de chaque ligne dans une matrice échelonnée s'appelle le pivot.- La transformation de Gauss-Jordan consiste à transformer ce système en un système équivalent dont le bloc gauche est l'identité, c'est-à-dire qu'il faut modifier la matrice (A I) pour qu'elle devienne de la forme (I A ? 1) en utilisant les propriétés de l'algorithme.
Algorithme du Pivot de Gauss
Le but de ce cours est l"étude de la résolution de systèmes linéaires. Nous nous intéresserons tout particulièrement
à la méthode du pivot de Gauss déjà abordée lors du cours de mathématiques. Nous nous intéressons donc aux
équations du type :
AX=B avecA2Mn(R),X2Mn;1(R)etB2Mn;1(R).La plupart des exemples de ce cours sont issus du livre" Introduction à l"analyse numérique matricielle et à
l"optimisation »de Philippe G. Ciarlet.I Exemple d"application
On considère la grille de la figure ci-dessous composée de tiges métalliques1. SoitT1:::T4les températures
aux quatres noeuds intérieurs du quadrillage de la figure. La température en un noeud est à peu près égale à la
moyenne des températures aux quatre noeuds voisins (au-dessus,à gauche à droite et en dessous). La température
aux extrémités est fixée telle qu"indiquée sur la figure.1- Écrire un système d"équations dont la solution donne une estimations des températuresT1;:::;T4.20
o20 o60 o60 o60 o60 o20 o20 o12 34II Stabilité de la résolution de systèmes
Une première question est la résistance des solution à une petite perturbation : que se passe-t-il si les coefficients
de la matrice changent, que se passe-t-il si le vecteur cibleBest un peu modifié? Pour répondre à cette question,
on s"appuie sur un exemple. Á l"aide de la calculatrice résoudre les trois systèmes suivants :0
BB@10 7 8 7
7 5 6 5
8 6 10 9
7 5 9 101
C CA0 B B@u 1 u 2 u 3 u 41C CA=0 B B@32 23
33
311
C CA 0 B
B@10 7 8 7
7 5 6 5
8 6 10 9
7 5 9 101
C CA0 B B@u 1+u1 u 2+u2 u 3+u3 u 4+u41 C CA=0 BB@32:1
22:933:1
30:91
C CA0 B
B@10 7 8:1 7:2
7:08 5:04 6 5
8 5:98 9:89 9
6:99 4:99 9 9:981
C CA0 B B@u 1+u1 u 2+u2 u 3+u3 u 4+u41 C CA=0 B B@32 2333
311
C CA
On remarque donc qu"une modification de l"ordre de10-1des coefficients deBentraîne une multiplication de
certaines valeur de la solution par10, et une modification de l"ordre de10-2des coefficients deAentraîne une
multiplication de certaines valeurs de la solution par plus de100! Problème : ces ordres de grandeur sont parfois
acceptés comme marge d"erreur en sciences expérimentales!1. d"après" Algèbre linéaire et applications »de David Lay (éd. Pearson)
1III. RAPPELS SUR LE PIVOT DE GAUSS
III Rappels sur le pivot de Gauss
L"algorithme du pivot de Gauss se déroule de la façon suivante : on c hoisitun pivotnon nul dans la première colonne, disons sur la lignei; on éc hangela première et la i-ème ligne; on effectue les op érationssuiv antessur les lignes 2kn:Lk Lk-ak1a 11L1; on passe à la colonne su ivante; À la colonnej, on effectue les opérations suivantes : on c hoisitun piv otnon n uldans la colonne jdans une ligne d"indice supérieur () àj; on ramène le piv otsur la ligne jen effectuant éventuellement un échange de lignes; on effectue les op érationssuiv antessur les lignes j < kn:Lk Lk-akja jjLj.Ces opérations ont pour effet de transformer le système en un système triangulaire. Une fois arrivé à un système
triangulaire de la forme :8>>>< >>:a11u1+a12u2++a1nun=b1a22u2++a2nun=b2...
a nnun=bn il suffit d"effectuer les opérations suivantes : u n=bna nn(1) u n-1=1a n-1;n-1(bn-1-an-1;nun)(2) .. (3) u 1=1a11(b1-a12u2--a1nun)(4)
2- Exécuter l"algorithme du pivot de Gauss sur le système suivant :
8< :2x-y-z=4 x-y+z= -1 x-2y-z=0IV Implémentation
Pour implémenter cette méthode, il faut choisir une représention. On choisit de représenter le systèmeAX=B
par la matriceC= [AB](matrice de taillen(n+1)oùAetBsont accolées). On rappelle qu"effectuerune opération sur les lignes revient à multiplier la matrice à gauche par une matrice de transvection ou de
permutation (donc inversible). Une matrice est représentée par un tableau à deux dimensions (par exemple en
Python : une liste de listes). On accèdera au coefficient(i;j)d"une matriceApar l"instructionA[i][j](on
suppose ici que les indices commencent à1). On évaluera la complexité en termes de nombre d"additions, de
multiplications et de divisions.On peut par exemple écrire le pseudo code d"échange des lignesietj:Algorithme 1 :Échange de la ligneiet la lignejdansC.Entrées:Cune matrice,ietjles indices des lignes à échanger
Sorties:La mo dificationde Cse fait en place, on ne renvoie rien n longueur(C[1])/*Renvoie la longueur d"une ligne */ pourk=1àn+1fairet C[i][k]C[i][k] C[j][k]
C[j][k] t
fin3- Justifier la terminaison et la correction de cette fonction. En donner la complexité.4- Écrire la fonction effectuant l"opérationLj Lj+Li. Les entrées seront la matriceC, les indicesietjet
le scalaire.2 Le Bras - Lycée Montesquieu - MPSi - 2013/2014
V. RECHERCHE D"UN PIVOT
5- Justifier sa terminaison et sa correction. En donner la complexité.
À partir de ces deux fonctions, on peut donc écrire l"algorithme du pivot de Gauss :Algorithme 2 :Algorithme du pivot de GaussEntrées:Une matrice Ccarrée de taillen(n+1)
Sorties:La matrice Cest transformée en place en une matrice de partie gauche triangulaire n longueur(C)/*Renvoie le nombre de lignes de C*/ pouri=1ànfairei0 Choisir un pivot non nul parmicii;ci+1;i;:::;cni
Échanger les lignesieti0dansC
pourk=i+1ànfaireEffectuerLk Lk-ckic iiLi fin fin6- Justifier la terminaison et la correction de l"algorithme. Donner sa complexité.7- Écrire l"algorithme de remontée qui permet d"obtenir les solutions d"un système triangulaire.
8- Au final, quelle est la complexité de l"algorithme complet du pivot de Gauss?
9- Évaluer le nombre d"opérations nécessaire à la résolution d"un système en utilisant la méthode de Cramer.
Donner un ordre de grandeur des deux complexités pourn=10. Laquelle vous semble la plus efficace?V Recherche d"un pivot
Dans l"algorithme précédent, il reste un point obscur : le choix du pivot. On sait que le pivot doit être non
nul, mais en dehors de cette contrainte, y"a-t-il une stratégie pour le choisir? Commençons par un exemple.
D"un point de vue algébrique, il n"y a aucune différence. Par contre, d"un point de vue numérique avec les
approximations, cela peut avoir une importance. Commençons par un exemple.On noteSle système exacte suivant :10-4u1+u2=1
u1+u2=2
10- Résoudre exactement le système grâce à la méthode de Cramer.
11- On considère que les calculs se font avec3chiffres significatifs. Résoudre le systèmeSen choisissanta11
comme pivot.12- Toujours avec la même précision de calcul, résoudre le systèmeSen choisissant comme premier pivot le
coefficienta21.13- Que remarquez vous comme différences? Que proposez-vous comme technique de choix du pivot?
Les méthode de choix du pivot connues sont les suivantes : -Méthode du pivot partiel :On choisit sur la colonne le pivot non nul de valeur absolue maximale -Méthode du pivot total :On choisit le pivot de valeur absolue maximale parmi tous les coefficients de la matrice d"indices(k;l)aveckietli.La méthode du pivot total impose un travail sur les colonnes, c"est à dire un renommage des va-
riables.14- Écrire l"algorithme de choix du pivot dans le cadre de la méthode du pivot partiel.
15- Résoudre le système de l"exemple d"introduction.
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