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Probabilités et statistiques

Denis Vekemans

Table des matières

1 Combinatoire5

1.1 Analyse combinatoire sans répétition . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Cardinal de l"ensemble des applications dedans. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2 Cardinal de l"ensemble des injections dedans. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.3 Cardinal de l"ensemble des bijections dedans. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.4 Cardinal de l"ensemble des parties de. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Analyse combinatoire avec répétition . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Statistique descriptive8

2.1 Série statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Série statistique classée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Caractéristiques des séries statistiques . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4 Série statistique double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Espaces probabilisés15

3.1 Expérience aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Evénements, événements élémentaires . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3 Ensemble fondamental, référentiel . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.4 Algèbre des événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 15

3.4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 15

3.4.2 Propriétés diverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 16

3.5 Probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 17

3.5.1 Le schéma d"urne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 17

3.5.2 La loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 17

3.5.3 Calcul de la probabilité d"un événement . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.6 Les axiomes du calcul de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.6.1 Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 22

3.6.2 Conséquences et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.6.3 Lien entre la probabilité de l"union et celle de l"intersection de deux événements . . . . . . . . . 23

3.6.4 Formule du crible ou formule de Poincaré . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.7 Probabilité conditionnelle, indépendance . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.7.1 Probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

?Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France

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3.7.2 Propriété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 25

3.7.3 Indépendance en probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.7.4 Le théorème de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 27

3.7.5 Indépendance mutuelle d"un nombre fini d"événements .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.7.6 Indépendance deux à deux d"un nombre fini d"événements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.7.7 Pas d"implication entre les notions d"indépendance mutuelle et deux à deux d"un nombre fini

d"événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 28

3.7.8 Indépendance totale d"un nombre fini d"événements . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.8 Epreuves répétées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.8.1 Epreuves répétées non exhaustives . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.8.2 Epreuves répétées exhaustives . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4 Variables aléatoires réelles30

4.1 Notion de variable aléatoire réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 31

4.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 31

4.4 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 31

4.5 Convergence en probabilité d"une variable aléatoire . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5 Variables aléatoires réelles discrètes31

5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 31

5.1.1 Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 31

5.1.2 Cas particulier d"un vecteur de variables aléatoiresréelles discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.2 Lois de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.2.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 32

5.2.2 Loi d"un vecteur de variables aléatoires réelles discrètes et loi marginale . . . . . . . . . . . . . 32

5.2.3 Loi conditionnelle, indépendance de deux variables aléatoires réelles discrètes et indépendance

devariables aléatoires réelles discrètes . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 33

5.3 Fonction de répartition ou cumulative . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.3.1 Exemple -suite du 5.2.1.- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 33

5.4 Les moments d"ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.5 L"espérance mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.5.1 Exemple -suite du 5.2.1.- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 34

5.5.2 Propriétés de l"espérance mathématique . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.5.3 Variable centrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 36

5.5.4 Espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.6 Variance et écart-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.6.1 Exemple -suite du 5.2.1.- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 37

5.6.2 Propriétés de la variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.6.3 Variable réduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 38

5.6.4 Variance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.7 Covariance, régression et corrélation . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.7.1 Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 39

5.7.2 Droite de régression et corrélation . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

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5.7.3 Covariance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.8 Les fonctions génératrices de moments . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.9 Inégalité de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 49

5.10 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.11 Enonçé de la loi faible des grands nombres . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6 Lois discrètes usuelles50

6.1 La loi constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 50

6.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 50

6.1.2 Caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 50

6.2 La variable de Bernoulli (ou loi de Bernoulli) . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 50

6.2.2 Caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 51

6.2.3 Exemples typiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 51

6.3 La loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 51

6.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 51

6.3.2 Caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 51

6.3.3 Exemples typiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 52

6.3.4 La loi binomiale des fréquences relatives . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.3.5 Additivité de deux variables aléatoires binomiales indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.4 La loi hypergéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 53

6.4.2 Caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 53

6.4.3 Exemples typiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 55

6.4.4 Approximation de la loi hypergéométrique par la loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.5 La loi géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 56

6.5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 56

6.5.2 Caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 56

6.5.3 Exemples typiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 57

6.6 La loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 57

6.6.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 57

6.6.2 Caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 57

6.6.3 Approximation de la loi de Poisson par la loi binomiale .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.6.4 Additivité de deux variables aléatoires de Poisson indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.7 La loi binomiale négative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.7.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 60

6.7.2 Caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 60

6.7.3 Exemples typiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 60

7 Variables aléatoires réelles continues61

7.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 61

7.1.1 Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 61

7.2 Lois de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7.3 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

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7.4 Les moments d"ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7.5 L"espérance mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7.5.1 Propriétés de l"espérance mathématique . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7.5.2 Variable centrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 64

7.6 Variance et écart-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7.6.1 Propriétés de la variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 64

7.6.2 Variable réduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 64

7.7 Inégalité de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 66

7.8 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

7.9 Enonçé de la loi faible des grands nombres . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

8 Lois continues usuelles67

8.1 La loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 67

8.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 67

8.1.2 Caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 67

8.2 La loi de Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 68

8.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 68

8.2.2 Caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 68

8.3 La loi de Laplace-Gauss (ou loi normale) . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

8.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 70

8.3.2 Caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 70

8.3.3 La loi normale centrée réduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8.3.4 Valeurs remarquables pour(). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

8.3.5 Additivité de deux lois normales indépendantes . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

8.3.6 Approximation de la loi binomiale par la loi normale ou théorème de De Moivre-Laplace . . . . 72

8.3.7 Le théorèmecentral limit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

8.4 La loi de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 74

8.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 74

8.4.2 Caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 74

9 Statistiques inférentielles75

9.1 Echantillonnage et estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

9.1.1 Echantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 75

9.1.2 Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 76

9.2 Tests de validité d"hypothèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

9.2.1 Comparaison à une norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 78

9.2.2 Comparaison de deux échantillons . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 80

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1 Combinatoire

1.1 Analyse combinatoire sans répétition

1.1.1 Cardinal de l"ensemble des applications dedans

Soitun ensemble de cardinaletun ensemble de cardinal. On note()l"ensemble des applications de dans. On a #() =p

1.1.2 Cardinal de l"ensemble des injections dedans

Soitun ensemble de cardinaletun ensemble de cardinal. On note()l"ensemble des injections de dans. On a #() =pn=(?1)(?+ 1) =! On appelle-arrangement de(ensemble de cardinal), toute application injectivede[[1]]dans. En identifiantau-uplet(1)(2)(), un-arrangement apparaît comme une suite ordonnée deéléments distincts de. Le nombre des-arrangements deest doncpn.

1.1.3 Cardinal de l"ensemble des bijections dedans

Soitun ensemble de cardinaletun ensemble de cardinal. On note()l"ensemble des bijections de dans. On a #() =nn=! On appelle permutation detoute bijection dedans. Le nombre de permutations deest!.

1.1.4 Cardinal de l"ensemble des parties de

Soitun ensemble de cardinalet soitun entier tel que0.

Le nombre de parties dede cardinalest

pn= On appelle-combinaison de(ensemble de cardinal), toute partie dede cardinal. Le nombre des- combinaisons deest doncpn.

Propriétés depn:

-pn=npn; -pn=p n1+p1 n1. Formule du binôme de Newton : étant donnés deux réelsetet un entier naturel, on a (+)n=n p=0 pnpnp -5/83-Mathématiques

PLC1Probabilités et statistiques2010

1.2 Analyse combinatoire avec répétition

Soitun ensemble de cardinalet soient12rentiers naturels tels querk=0k=. On appelle(12r)-permutation (avec répétition) detoute application dedans[[1]]telle que #1() =k. Le nombre des(12r)-permutation (avec répétition) deest n1,n2,...,nr=!

1!2!r!

Formule du multinôme : étant donnésréels1,2,,ret un entier naturel, on a (1+2++r)n= n

1+n2+...nr=n

n1,n2,...,nrn11n22nrr Exercice 1[9, exercice 1, p. 7] Soitun ensemble de cardinal, montrer que#() = 2n.

Exercice 2[9, exercice 2, p. 7] Soitune application d"un ensemblede cardinaldans lui même. Montrer

que est injectiveest surjectiveest bijective

Exercice 3[9, exercice 4, p. 8] Soitn=np=0pn(où0n= 1) le nombre total des arrangements d"un ensemble

de cardinal. Montrer quenest la partie entière de!. Exercice 4[9, exercice 5, p. 8] Soient4individus,,et. De combien de manières peut-on les classer - en supposant qu"il n"y ait pas d"ex aequo? - en supposant qu"il puisse y avoir0,1ou plusieursex aequo?

Exercice 5[9, exercice 8, p. 10] Soitun ensemble àéléments. Quel est le nombre de couples de parties()

detelles que?

Généralisation. Soitun ensemble àéléments. Quel est le nombre de-uplets de parties(12p)de

telles que12p? Exercice 6[9, exercice 10, p. 11] Démontrer les identités suivantes

1.0n+2n+4n+=1n+3n+5n+= 2n1[[1[[.

2.00n+ 22n+ 44n+= 11n+ 33n+ 55n+[[2[[.

3.0n?1

21n+132n?143n+=1n+1[[1[[.

Exercice 7[9, exercice 12, p. 12] Soitr() = 1r+ 2r++r. Montrer que r k=0 kr+1k() = (+ 1)r+1?1

Calculer0() 1() 2() 3().

Exercice 8[9, exercice 13, p. 12]Calculer les3sommes

1.1=0n+3n+6n+;

-6/83-Mathématiques

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2.2=1n+4n+7n+;

3.3=2n+5n+8n+.

Exercice 9[9, exercice 14, p. 13] Soit= [[1]].

1. Quel est le nombre de parties dede cardinaldont deux éléments quelconques ne sont pas consécutifs?

2. Quel est le nombre demotsde longueurformé des deux lettresetet dans lequel deux lettresne se suivent

pas?

Exercice 10[9, exercice 15, p. 14]

1. Étant donnés des entiers naturels,et, montrer que

na+b=n k=0 kank b

2. En déduire les identités

n2n=n k=0 kn 2

2n2n=n

k=0kn 2

Exercice 11[9, exercice 18, p. 16] De combien de manières peut-on rangerbilles indiscernables dansboîtes?

Exercice 12[9, exercice 19, p. 16] Soientetdes entiers supérieurs ou égaux à1. Quel est le nombre de vecteurs

(12n)Nnsolutions de l"équation 1.

1+2++n=?

2.

1+2++n?

Exercice 13[9, exercice 20, p. 16] Pour tout entier[[1[[, on note()la somme des chiffres de l"écriture de

dans le système de numération décimale.

1. Étant donnésNet[[19]], combien y a-t-il de nombres entierstels que

0 10ket() =?

2. Étant donnésN, combien y a-t-il de nombres entierstels que

110ket() = 10 ?

Exercice 14[9, exercice 21, p. 17] Soit= [[1]]et= [[1]].

1. Quel est le nombre des applications strictement croissantes dedans?

2. Quel est le nombre des applications croissantes au sens large dedans?

-7/83-Mathématiques

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Exercice 15[9, problème 24, p. 18] Soit=12n.

1. (a) SoitΓune permutation de. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes:

i.Γkest sans point fixe pour[[1?1]]etΓn=. ii.[[1]] =Γk(i)[[0?1]]. iii.[[1]] =Γk(i)[[0?1]]. iv. Il existe une permutationdetelle que

Γ(i) =(i+1)pour[[1?1]]etΓ(n) =(1)

Lorsque l"une de ces propositions est vraie, on dit queΓest unepermutation circulairede. (b) Montrer que le nombre de permutations circulaires deest(?1)!.

2. Soitnle nombre de permutations sans point fixe (ou dérangements) de.

(a) Montrer que pour[[3[[ n= (?1)(n1+n2)avec1= 0et2= 1. (b) Montrer par récurrence que n=n k=0(?1)k! En déduire que lorsquetend vers l"infini,nest équivalent àn! e.

2 Statistique descriptive

2.1 Série statistique

-= (1p). Lesisont appelées lesobservations. -(ii) [[1]]. Lesisont appelées leseffectifset si=p i=1i, lesi=ni nsont appelées lesfréquences.

Fonction de répartition.

:RR; itel quexixiest une fonction en escalier, croissante de0à1, continue à droite.

2.2 Série statistique classée

C"est le cas lorsquei= [ii+1[etiest appelée uneclasse. Lesiforment une suite croissante. Il est une

hypothèse usuelle de répartition homogène à l"intérieur dechaque classe.

Ensuite,() =i=φi

αi=νinαisi[ii+1[;() = 0si 1;() = 0sip+1

-iest l"effectif de la classe[ii+1[; -i=νi nest lafréquence de la classe[ii+1[; -i=i+1?iest l"amplitudede la classe[ii+1[.

Histogramme.

On appelle histogramme la représentation graphique de:RR;().

Fonction de répartition.

Φ :RR;x

()est une fonction croissante de0à1, continue, affine par morceaux, telle queΦ(i) = jPLC1Probabilités et statistiques2010

2.3 Caractéristiques des séries statistiques

Quelques éléments caractéristiques de position. -Le mode: toute valeur (respectivement classe) telle quei(respectivementi) soit maximum. -La médiane. Dans le cas de série non classée : toute valeurtelle que x iμin 2et x iμin2; dans le cas de série classée : l"ensemble des valeurstelles queΦ() = 05. -Le premier quartile1. Dans le cas de série non classée : toute valeurtelle que x iμin 4et x iμi n

4; dans le cas de série classée : l"ensemble des valeurstelles queΦ() = 025.

-Le troisième quartile3. Dans le cas de série non classée : toute valeurtelle que x iμi3n 4et x iμi3n

4; dans le cas de série classée : l"ensemble des valeurstelles queΦ() = 075.

- On définirait de façon analogue les déciles (1,,9). -La moyenne . Dans le cas de série non classée :p i=1ii; dans le cas de série classée : Quelques éléments caractéristiques de dispersion.

-L"étendue. Dans le cas de série non classée :maxii?minii; dans le cas de série classée :p+1?p.

-L"intervalle interquartile:3?1(si plusieursicorrespondent, on prend la moyenne de ceux qui corres- pondent). -L"intervalle interdécile:9?1(si plusieursicorrespondent, on prend la moyenne de ceux qui corres- pondent). -L"écart moyenm. Dans le cas de série non classée :p i=1ii? ; dans le cas de série classée : -La variancexet l"écart-typex. Dans le cas de série non classée :x=p i=1i(i?)2; dans le cas de série classée :x= )2(). Dans tous les cas,x=x. Quelques éléments caractéristiques de forme. Soitkle moment d"ordre. Dans le cas de série non classée :k=p i=1ik i; dans le cas de série classée : k= k(). Soitkle moment centré d"ordre. Dans le cas de série non classée :k=p i=1ii? k; dans le cas de série classée :k= )k(). -Coefficient d"asymétrie:μ3

σ3x.

-Coefficient d"applatissement:μ4

σ4x.

2.4 Série statistique double

C"est le cas lorsquei= (ii)etiest appelée un couple.

Quelques éléments propres aux séries statistiques doubles. On restreint ici au cas non classé.

-La covariance:(y,z)=p i=1i(i? )(i?). -L"ajustement affine:=+avec=Cov(y,z)

Vy,=?; et(y,z), le coefficient de corrélation

(y,z)=Cov(y,z)

σyσz.

Cet ajustement est basé sur la minimisation de la somme des carrés des écarts en ordonnée entre le nuage de

quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

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