[PDF] Analyse Complexe S´eries de Fourier

Qu'est-ce que l'analyse de Fourier ?

L'analyse de Fourier permet de donner des expressions nouvelles pour l'opération de dérivation, et d'en tirer des estimées intéressantes. Ainsi l' inégalité de Wirtinger s'applique à une fonction de classe , -périodique et de valeur moyenne nulle. Elle compare les normes de et de sa dérivée (normes de la convergence en moyenne quadratique) :

Quels sont les coefficients de Fourier ?

La définition des coefficients de Fourier porte sur les fonctions périodiques intégrables au sens de Lebesgue sur une période. Pour une fonction périodique, être de classe Lp implique l'intégrabilité. Ceci comprend en particulier les fonctions continues, ou continues par morceaux, périodiques. On reprend ici les notations du premier paragraphe.

Qu'est-ce que la théorie des séries de Fourier ?

Au-delà du problème de la décomposition, la théorie des séries de Fourier établit une correspondance entre la fonction périodique et les coefficients de Fourier. De ce fait, l'analyse de Fourier peut être considérée comme une nouvelle façon de décrire les fonctions périodiques.

Comment la série de Fourier converge-t-elle vers la fonction ?

Sur une des zones de « plateau », en dehors d'un voisinage de la discontinuité, cependant, la série de Fourier converge uniformément vers la fonction (elle en est indiscernable sur le dernier graphique). Au niveau du point de discontinuité, subit une forte oscillation, une sorte de « sursaut ».