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De mˆeme come f(x)cos(kx)estpairealorsparlaRemarque7 1 1 ak = 2 ? Z ? 0 f(x)cos(kx)dx Il en d´ecoule que fˆ k = 1 2 ak = 1 2 a k = fˆ k et que les coecients de Fourier complexes sont r´eels et sym´etriques en k Lafonctionen dents de scie de l’Exemple 7 1 2 b) est de ce type Voyons un autre cas Exemple 7 1 3 f(x)= x ? 2 est

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Analysecomplexe

CoursdeL3,ENSL yon,autom ne2014

Jean-ClaudeSikorav

versionÞnale

1Pr "eliminaires:notations,point`alÕinÞni,fonctions "e l"ementaires....................1

1.1Lesde uxpoint sdevuesurC

1.2Notati ons

1.3Poin t`alÕinÞni,sph `erede Riemann

1.5Fonct ionsrationnelles

1.6Fonct ionsalg"ebriques,foncti onspuissances.................................................3

1.7Expon entielle

1.8Logarith me

1.9Fonct ions"el"ementaires.....................................................................4

2Fon ctionsholomorphesdÕunevar iablecomplexe......................................5

2.1Fonct ionsC-d"erivables,fonctionsholomorphes

2.2Exem plesdefonctionsholomorphes........................................................6

2.3Exem plesdefonctionsnonholomorphes ...................................................7

3For muleetrepr"esentat ionint" egralesdeCauchy.......................................8

3.1Int" egraledÕunefonctionlelongdÕu nchemin,dÕunlac et

3.2Int" egralesurleborddÕundomainecom pact..............................................10

3.3Formu leint"egraledeCauchy .............................................................11

3.4Repr "esentationint"egraledeCauchy.......................................................14

3.5Analyt icit"edesfonctionsholomorphes

3.6R"ec iproquedelarepr"esentationdeCauchy ...............................................16

3.7Caract "erisationdesfonctionsholomorphesparlaformul edeCauchy (th"eor`emedeMorera)17

4Z" eros,principedumaxim um,th"eor`emedeLiouville................................18

4.1Z"er osdesfonctionsholom orphes,degr "eenunpoint

4.2Prolon gementanalytique.................................................................19

4.3Prin cipedumaximum....................................................................20

4.4Th"e or`emedeLiouville

5D" eriv"ees,int"egrales,suitesdefonct ionsholomorphes...............................22

5.1Repr "esentationint"egraledesd"eriv"eesetholomorph iedÕuneint"egrale`aparam`et re

5.2Esti m"eedeCauchysurlesd"eriv "ees.......................................................23

5.3Suit esdefonctionsholomorph es

5.4S"er ies,produits..........................................................................24

5.5Famil lessommables,sommationparp aquets..............................................26

5.6Quel quesexemplesclassiques.............................................................27

6S" eriesdeLaurent,singular it"esi sol"ees.................................................30

6.1S"er iesdeLaurent

6.2Singu larit"esisol"ees.......................................................................31

6.3Singu larit"eslevables

6.5Fonct ionsm"eromorphes..................................................................33

6.6Fonct ionsm"eromorphessurunouv ertdeC

6.7Lafonc tion Gamma......................................................................34

6.8Singu larit"esessentielles...................................................................36

7For muledesr"esidus.....................................................................37

7.1R"es iduenunpoint

7.2Formu ledesr"esidus

7.3Prin cipedelÕargument...................................................................38

8Pr opri"et"eslocalesdesfonctionsholomorphe s........................................40

8.1Ouve rturedÕunefonctionholomorphe

8.2Th"e or`emedÕinversionlocale

8.3Repr "esentationconforme.................................................................41

8.4Forme normalelocale dÕunefonctionholom orphe

8.5Th"e or`emedesfonctionsimplicites........................................................42

9In dice,cycles,formuledeC auchyg"en"erale...........................................44

9.1Homotopi edelacets

9.2Indi cedÕunlacetparrapport` aunpoint

9.4Indi ceduborddÕundomainep arrapport `aunpoint......................................47

9.5Formu lesdeCauchyetdesr"esi dusg"e n"erales

10R" egionssimplementconne xes........................................................49

10.1R"egi onssimplementconnex esethomologiquementtriviales

10.2Lemm edeSchwarz......................................................................50

10.3Automor phismesdudisqueoududemi-plan

10.4Th"e or`emederepr"esentationconforme deRiem ann.......................................51

11M" etriquehyperbolique................................................................53

11.1Lemme deSchwarz-Pic k

11.2M"et riqueetdistancehyperboliques ur

11.3Courb uredÕunem"etriqueconf orme......................................................55

Analysecomplexe11

1Pr "eliminaires:notations,point`alÕinÞni,foncti ons" el"ementaires

1.1Les deuxpoints devuesurC

Lecor psCdesnombres complexespeutsevoir dedeuxfaüconsdi⌦"erentes,alg"ebro-analytique oug" eom"etrique: ¥ExtensionducorpsRparajout dÕuneracinecar r"eede1;c orps alg"ebriqueme ntclos,muni dÕunenormeleren dantcomplet. ¥Planvector ieleuclidienorient"emuni dÕunebase(1,i).Oni dentiÞ ealorslenombrecomplexe z=x+iyaveclepoint(x,y).Unevar iantede cetteinterpr"etati onestde voirtoutnombrecomp lexe nonnulc ommeunesi militudevect orielledi rectedÕunplanvectorieleuclidien :lamultiplication pariestlequart detourau tourdelÕorigin edansle senstrigonom "etrique,la propri" et"ei 2 =1 exprimelefaitquedeuxqu artsde toursdonnen tundemi-t our.Eng"en"e ral,lenombrecompl exe a+ib=re i estlasimi litude derapportretdÕangl e.

1.2Notation s

Siz 0 ⌦Cetr⌦]0,+#[,onnote (z 0 ,r)le disque ouvert(z 0 ,r)={z⌦C:|zz 0 |0}ledemi-plansup"erieur,app el"eaussidemi-plandePoincar"e (ouparfoi sdeLoba tchevski). SiI,Jsontdesint ervallesde R,onn oteI+iJlerec tangle{x+iy:x⌦I,y⌦J}.En particu lier, R+iIestuneband ehorizontale ,I+iR,un ebandevert icale. Unouv ertdeCnonvide etconnexepararc ssera appel"euner"egion.

1.3Point `alÕinÞni,s ph`ere deRiemann

Ilests ouventcommo dedÕajouter`aCunpoint`alÕinÞn inot"e#.LÕe nsembleC%{#}estappel"e sph`eredeRiemann.Nou slenote ronsC. *Remarque.Dupoin tdevuedelag" eom"etr iealg"ebr ique,i lestnot "eP 1 (C)et appel"e droiteprojective complexe*. StructuredÕespacetopologique.Ond"eÞ nitunetopologiesurCendisan tqueUestouverts i

¥U&Cestunouver tdeC

Propri"et"es(exercice)

1)CÕest bienunetopolo gie.

2)Onal es"equival ences suivan tes:

¥pourunesuite denombresc omplexes:lim

n⌦# z n =#(lim n⌦# 1 z n =0.

¥pourunefoncti ond"eÞnie auvoisinagedez

0 ⌦C:lim z⌦z0 f(z)=#(lim z⌦z0 1 f(z) =0.

¥pourunefoncti ond"eÞnie pour|z|>r:lim

z⌦# f(z)=w 0 ⌦C(lim z⌦0 f 1 z =w 0 ,lim z⌦# f(z)= #(lim z⌦0 f 1 z $1 =0

3)LÕappl icationz⌦C)*

2z |z| 2 +1 |z| 2 1 |z| 2 +1 ,#)*(0,0,1)estlÕin versedelaprojectionst"er "eogra- phique(x 1 ,x 2 ,x 3 )⌦S 2 \{(0,0,1)})* x 1 +ix 2 1x 3 ,(0,0,1))*#,etd onn eunhom"eomorphi smede

Analysecomplexe12

Csurlasph` ereunit "eS

2 ={(x 1 ,x 2 ,x 3 )⌦R 3quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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