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Analyse complexe
Cours et exercices corriges
Andre Giroux
Departement de mathematiques et statistique
Universite de Montreal
2013Introduction
L'analyse est l'etude approfondie du calcul dierentiel et integral. Ce cours porte sur le calcul dierentiel et integral des fonctions complexes d'une va- riable complexe. Il s'agit d'un premier cours sur le sujet ou les proprietes des nombres complexes et l'extension aux fonctions de ces nombres des fonctions elementaires d'une variable reelle sont tout d'abord presentees. On developpe ensuite leur calcul dierentiel et integral et on etudie les proprietes supplementaires de ces fonctions qui en decoulent. Quelques applications aux series et aux integrales de Fourier sont enn exposees. L'etudiant est repute ^etre familier avec les methodes de l'analyse ( les et les) et bien conna^tre les proprietes des fonctions elementaires d'une va- riable reelle (polyn^omes et fonctions rationnelles, exponentielle et logarithme, fonctions trigonometriques directes et inverses, fonction gamma). Le cours contient des demonstrations rigoureuses et completes de tous ses theoremes (certains calculs sont laisses au lecteur a titre d'exercice) et l'etudiant serieux devrait fournir des solutions de m^eme calibre aux problemes proposes a la n de chaque chapitre. Le style est deliberement informel; c'est ainsi, par exemple, qu'il n'y a pas de denitions formelles : la premiere fois qu'unterme nouveauappara^t, il est ecrit en caractere gras et sa denition est contenue dans la phrase qui le contient.Table des matieres
1 Les nombres complexes
91.1 Proprietes algebriques
101.2 Proprietes topologiques
121.3 L'inni en analyse complexe
181.4 Exercices
202 Les fonctions complexes
232.1 Fonctions continues
232.2 Polyn^omes et fonctions rationnelles
272.3 La fonction exponentielle
292.4 Application aux series de Fourier
322.5 Exercices
343 Les fonctions holomorphes
373.1 Derivabilite
373.2 Les equations de Cauchy-Riemann
393.3 Exercices
424 Le calcul integral
454.1 Proprietes des courbes
454.2 Integrales curvilignes
484.3 Les theoremes de Cauchy
504.4 Le logarithme
564.5 Exercices
585 Proprietes analytiques des fonctions holomorphes
615.1 L'analycite
615.2 La propriete des zeros isoles
635.3 La propriete du module maximum
655.4 Exercices
666Table des matieres6 Le calcul des residus69
6.1 Singularites isolees
696.2 Residus
736.3 La propriete de l'application ouverte
756.4 Application aux transformees de Fourier
776.5 Application au calcul d'integrales diverses
796.6 Exercices
847 Proprietes geometriques des fonctions holomorphes
877.1 Transformations conformes
877.2 Les transformations homographiques
897.3 Exercices
938 Les fonctions harmoniques
958.1 L'equation de Laplace
958.2 Proprietes
978.3 Application aux EDP
988.4 Exercices
1029 Solutions des exercices
1059.1 Les nombres complexes
1059.2 Les fonctions complexes
1129.3 Les fonctions holomorphes
1169.4 Le calcul integral
1199.5 Proprietes analytiques des fonctions holomorphes
1259.6 Le calcul des residus
1289.7 Proprietes geometriques des fonctions holomorphes
1339.8 Les fonctions harmoniques
137Table des gures
1.1 Les racines 7
iemede l'unite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1w=z2, les hyperboles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2w=z2, les paraboles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.1 Le sens de parcours positif
484.2 Le theoreme de Cauchy
524.3 Le theoreme de Cauchy, suite
524.4 La formule de Cauchy
536.1 Le theoreme de Laurent
696.2 Une transformee de Fourier
786.3 Une transformee de Fourier
796.4 Un calcul d'integrale
806.5 Un calcul d'integrale
816.6 Un calcul d'integrale
837.1 Angle entre deux courbes
887.2 Une transformation homographique
918.1 Le noyau de Poisson
1008.2 Un probleme de Dirichlet
1029.1 Une spirale
1069.2 Un parallelogramme
1079.3 Un polyn^ome de Tchebychev
1089.4 Un calcul d'integrale
132Chapitre 1
Les nombres complexes
L'ensembleN=f1;2;3;:::gdes entiers naturels est ferme sous l'addi- tionm+net la multiplicationmnmais pour pouvoir resoudre pourxtoute equation du type x+m=n ; m;n2N; il faut passer aux entiers relatifsZ=f0;1;2;:::g. Et pour ^etre capable de resoudre pourxtoute equation de la forme px+q= 0; p;q2Z; il faut aller aux nombres rationnelsQ=fp=qjp;q2Z;q6= 0g. Ce dernier systeme est ferme sous les quatre operations de l'arithmetique mais on ne peut y resoudre pourxtoute equation du type x2=a ; a2Q:
Les nombres reelsRpermettent de resoudre certaines de ces equations mais pas toutes. Ils forment un systeme ferme sous les quatre operations qui est de plus complet au sens ou toute suitefxngn2Nqui satisfait la condition deCauchy
lim m;n!+1jxmxnj= 0 y est convergente mais on ne peut par exemple y obtenir une solution de l'equation x2+ 1 = 0:
Il faut pour cela construire les nombres complexesC.10Chapitre 1. Les nombres complexes1.1 Proprietes algebriques
Si (x;y), (u;v)2R2, soient
(x;y) + (u;v) = (x+u;y+v) et (x;y)(u;v) = (xuyv;xv+yu): Ces operations creent un corps commutatif, le corpsCdes nombres complexes; (0;0) est l'element neutre pour l'addition, (1;0) est l'element neutre pour la multiplication et l'inverse multiplicatif de (x;y)6= (0;0) est xx2+y2;yx
2+y2En identiant (x;0)2R2avecx2Ret en posanti= (0;1),
C=fzjz=x+iyavecx;y2Reti2=1g:
On calcule donc avec les nombres complexes comme avec les nombres reels en remplacant partouti2par1.Exemple. Sin2N0=f0;1;2;:::g, on a
1 +i+i2+i3++in=1in+11i
de telle sorte que1 +i+i2+i3++in=8
>>>:1 sin= 0 mod 4;1 +isin= 1 mod 4;
isin= 2 mod 4;0 sin= 3 mod 4:
Le nombre reelxest lapartie reelledez, le nombre reelysapartie imaginaire, x=2+bz+c= 0
admet toujours deux racines donnees par la formule de Viete : z=8 >>>:bpb24ac2asib24ac >0;
b=2asib24ac= 0; bip4acb22asib24ac <0 (la racine est de multiplicite deux dans le deuxieme cas). On remarque que dans le troisieme cas, les racines sont des nombres complexes conjugues. Exemple. La droite d'equationax+by=cdans le plan correspond a l'ensemble des nombres complexes qui satisfont la relation aib2 z+a+ib2z=c; le cerclex2+y2=r2correspond aux nombres complexes tels que jzj=r et la paraboley=x2a ceux qui sont lies par z2+ 2zz+z
2+ 2iz2iz= 0:
Les nombres complexes, etant des points du plan, admettent uneforme polaire. Siz6= 0, on peut ecrire z=r(cos+isin) ou le nombrer=jzj=px2+y2est le module dezet l'angle
= argz=8 >>>>>>>>:arctan yx +six <0;y0; 2 six= 0;y >0; arctan yx six >0; 2 six= 0;y <0; arctan yx six <0;y <0;12Chapitre 1. Les nombres complexesest sonargument. Donc, par denition,
1.2 Proprietes topologiques
La distance entrez1etz2est
jz1z2j:On a, quelques soientz1;z2etz3,
jz1z2j jz1z3j+jz3z2j:1.2. Proprietes topologiques13?
71Figure1.1 { Les racines 7iemede l'unite
Une suitefzngn2Nde nombres complexes converge vers un nombre complexe zsi limn!+1jznzj= 0:En vertu des inegalites
supfj1i=n! 1 mais arg(1i=n) = arctan1=n! alors que arg(1) =
Il suit du critere de Cauchy qu'une condition susante pour la convergence d'une serie de nombres complexes +1X k=0c k est sa convergence absolue (en module) : +1X k=0jckj<+1:Dans le theoreme suivant,
D(z0;r) =fzj jzz0j< rg
etD(z0;r) =fzj jzz0j rg: Theoreme 1 (Cauchy)Donnee une serie entiere a coecients complexes a k, +1X k=0a kzk; posonsR=1limsup
kjakj1=k (donc0R+1). Alors la serie converge absolument dans le disque D(0;R), de facon uniforme sur tout disqueD(0;r)tel quer < R, et elle diverge sijzj> R. Demonstration. SiR= 0, la serie diverge pour toutz6= 0. En eet, quel que soitz6= 0, il y a un nombre inni d'indiceskpour lesquels jakj1=k>1jzj et la serie +1X k=0a kzk1.2. Proprietes topologiques15ne peut converger puisque que son terme general ne tend pas vers 0.
Si 0< R <+1, soient 0< r < Rarbitraire etjzj r. Pour toutk susamment grand, on a jakj1=k<2R+r donc jakzkj<2rR+r k et la serie,eventuellement majoree par une serie geometrique de raison inferieure a 1, est absolument et uniformement convergente. Sijzj> Rpar contre, il y a un nombre inni d'indiceskpour lesquels jakj1=k>1jzj et la serie diverge pour la m^eme raison que precedemment. SiR= +1enn, le raisonnement sur la convergence du paragraphe precedent s'applique quelques soient les nombresR > r >0 et la serie converge pour toutz2C. C.Q.F.D. Exemple. La serie geometrique converge si et seulement si le module de sa raison est strictement inferieur a 1 : +1X k=0z k=11zsi et seulement sijzj<1: En y separant le reel de l'imaginaire, on en tire les relations +1X k=0r kcosk=1rcos12rcos+r2 et +1X k=1r ksink=rsin12rcos+r2: Un ensembleECestfermesi la limite de toute suite convergente fzngn2Nde points deEest dansE.Exemples. Un disqueD(a;R) est ferme. Un demi-plan
fzjaz+az0g16Chapitre 1. Les nombres complexesest ferme. Toute intersection, toute reunion nie d'ensembles fermes sont des
ensembles fermes. Un ensembleECestouvertsi son complementaireEc=CnEest ferme. Theoreme 2SoitEC. AlorsEest ouvert si et seulement si a chaque z02Ecorrespondr >0tel queD(z0;r)E.
Demonstration.
La condition est necessaire. Si elle n'etait pas satisfaite, on pourrait trouver z02Etel que chaque disqueD(z0;1=n) contienne un pointzn2Ec. Ces points
convergeraient versz0et, commeEcest ferme, on auraitz02Ecce qui est absurde. La condition est susante. Sifzngn2Nest une suite de points deEcqui converge vers un pointz, il faut quez2Ec| s'il etait dansE, un petit disque centre enzne contiendrait que des points deEet la suite donnee ne saurait y converger. C.Q.F.D. Exemples. Un disqueD(a;R) est ouvert. Un demi-plan fzjaz+az >0g est ouvert. Toute reunion, toute intersection nie d'ensembles ouverts sont des ensembles ouverts. Un ensembleECestbornes'il existeR >0 tel queED(0;R). Un ensembleECestcompacts'il est a la fois ferme et borne.Exemples. Les ensembles
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