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Analyse Complexe - Université de Genève
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Chapitre 7 S´eries de Fourier - Université Laval
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Analyse Complexe
FrançoisDEMARÇAY
Département de Mathématiques d"Orsay
Université Paris-Saclay, France"Celui qui enseigne une chose la connaît rarement à fond, car s"il l"étudiait à fond afin de
l"enseigner, il n"aurait alors plus assez de temps disponible pour l"enseigner.»Jacques-HenriD"AGUESSEAU.z
2v 0 20;"0z+
0 1v 0 1 0 2 z 1 w u0 2u0 1 z 0 0 0 0 0 0 0 z ;"z 2v 0 20;"0z+
0 1v 0 1 0 2 z 1 w u0 2u0 1 z 0 0 0 0 0 0 0 z 2Méthodologie de travail
FrançoisDEMARÇAY
Département de Mathématiques d"Orsay
Université Paris-Saclay, France
Polycopié de cours.Des chapitres constituant un polycopié en cours d"élaboration sont distribués
régulièrement. Chaque étudiant est invité à collecter les fautes typographiques et autres défauts, puis
à les présenter à l"enseignantaprèsl"examen terminal. De nombreux exercices d"assimilation sont
inclus.Lecture régulière du polycopié.Afin de réussir sa formation au métier merveilleux de mathé-
maticien -métier qui exige une grande capacité de lire, en solitaire, des textes mathématiques
écrits-, chaque étudiant doit lire et étudier le polycopié. Le travail de lecture peut s"effectuer
occasionnellement, même sur des courtes périodes d"une dizaine de minutes, à la maison, à la bi-
bliothèque ou dans les transports en commun.C"est en lisant qu"on devient vraiment intelligent,car on absorbe les intelligences variées d"autres personnes sans rester confiné en soi-même, voire
infiniment pire : confiné à l"abrutissement total du tripotage crétinisant de smartphone! Tous les
mathématiciens professionnels sont de grands lecteurs et savent mettre à distance la technologie
ludique envahissante.Assiduité au cours.Il est vrai que lire des mathématiques peut s"avérer ardu, d"autant plus que
d"assez nombreux textes écrits sous-entendent beaucoup de choses et ne parviennent pas véritable-
ment à transmettre les intuitions fondamentales. Orc"est principalement le cours oral au tableauqui permet de transmettre les idées informelles et les intuitions importantes. Aussi, lecture du po-
lycopié et présence au cours sont-ellesdeux activités complémentaires et indispensables pour une
préparation optimale au métier de mathématicien. De plus,on lit beaucoup plus facilement le po-
lycopié après avoir écouté le professeur.De toute façon, une bonne prise de notes manuscrites
personnelles a plus de valeur que le polycopié. Prise de notes pendant les séances de cours.L"existence d"un polycopié ne dispense absolu-ment pas de prendre des notes manuscrites complètes et soignées, car ces notes, relatives au cours
intuitif, viendront compléter la lecture du polycopié écrit.Au tableau apparaîtront de nombreuses
figures qui seront absentes du polycopié.Il faut donc être très respectueux des figures, qui sont de
la pensée intuitive très élaborée. 4Table des matières
I. Fonctions holomorphes, Fonctions analytiques .............. 81. Introduction.................................................... 8
2. Nombres complexes et similitudes complexes..................... 9
3. Convergence.................................................... 12
4. Sous-ensembles du plan complexeC............................. 13
5. Exhaustion d"ouverts deCpar des compacts ..................... 17
6. Fonctions holomorphes dans le plan complexeC.................. 20
7. Fonctions holomorphes comme applicationsR2!R2........... 24
8. Géométrie infinitésimale de l"holomorphie ....................... 30
9. Séries entières .................................................. 32
10. Fonctions analytiques et fonctions holomorphes .................. 41
11. Principe des zéros isolés pour les fonctions analytiques............ 42
12. Intégration le long de courbes
C............................. 45
13. Pathologies "réelles» ........................................... 50
14. Exercices ....................................................... 52
II. Théorèmes de Cauchy et applications...................... 621. Introduction.................................................... 62
2. Théorème de Goursat........................................... 63
3. Existence locale de primitives et théorèmes de Cauchy dans des
4. Contours élémentaires .......................................... 69
5. Exemples de calculs d"intégrales réelles par la méthode complexe . 76
6. Formule de représentation intégrale de Cauchy .................. 79
7. Analyticité des fonctions holomorphes et principe d"unicité ....... 82
8. Inégalités de Cauchy et principes du maximum................... 86
9. Théorème de Morera et convergence uniforme sur des compacts .. 93
10. Principe de symétrie de Schwarz ................................ 97
11. Théorème d"approximation de Weierstrass complexe dans un
12. Théorème de Runge rationnel ................................... 102
513. Théorème de Runge polynomial ................................. 109
14. Approximation polynomiale sur des ouverts à complémentaire
connexe ........................................................11015. Exercices ....................................................... 113
III. Homotopies, Séries de Laurent, Fonctions méromorphes... 1191. Introduction.................................................... 119
2. Carré .......................................................... 119
3. Concept d"homotopie ........................................... 126
4. Zoologie singulière.............................................. 129
5. Fonctions méromorphes locales.................................. 130
6. Théorèmes de Laurent .......................................... 133
7. Singularités illusoires, polaires, essentielles....................... 137
8. Fonctions méromorphes globales : Théorème de Mittag-Leffler ... 141
9. Ouverts simplement connexes ................................... 145
10. Exponentielle complexe et logarithme complexe .................. 146
11. Ouverts holomorphiquement simplement connexes............... 152
12. Exercices ....................................................... 154
IV. Théorème des résidus et applications...................... 1561. Introduction.................................................... 156
2. Raison d"être des résidus........................................ 156
3. Calculs pratiques de résidus : recettes diverses ................... 158
4. Théorème des résidus pour les contours de Jordan ............... 160
5. Exemples de calculs d"intégrales par la méthode des résidus ...... 163
6. Indices de courbes par rapport à un point........................ 168
7. Théorème des résidus homologique .............................. 171
8. Théorème des résidus sans connexité simple...................... 174
9. Dénombrement de zéros et de pôles.............................. 177
10. Caractérisation de la connexité simple en termes d"indices........ 181
11. Synthèse intermédiaire : connexité simple et holomorphie......... 184
12. Exercices ....................................................... 184
V. Contours de JordanC1pmet Théorème de Cauchy-Jordan.... 1861. Introduction.................................................... 186
2. Connexité du complémentaire d"un arc de JordanC1pmdansC.... 186
3. Théorème de Jordan pour les contoursCde classeC1pm....... 193
4. Démonstration par l"argument de saut d"indice .................. 197
65. Théorème de Cauchy-Jordan pour les fonctions holomorphes..... 203
6. Exercices ....................................................... 206
VI. Théorème de l"application conforme de Riemann.......... 2071. Introduction.................................................... 207
2. Théorèmes d"inversion locale et globale dansR2.................. 207
3. Inversion holomorphe........................................... 209
4. Forme normale locale d"une fonction holomorphe ................ 212
5. Multiplicités locales et théorème de l"application ouverte ......... 213
6. Fonctions holomorphes injectives : théorème fondamental ........ 215
7. Équivalence entre le disque unitéDet le demi-plan supérieurH... 216
8. Lemme de Schwarz ............................................. 218
9. Automorphismes du disque unité ................................ 219
10. Présentation du théorème de Riemann........................... 221
11. Théorème de Montel pour les familles uniformément bornées et
12. Démonstration du Théorème de Montel.......................... 225
13. Préservation de l"injectivité à la limite ........................... 231
14. Démonstration du théorème de Riemann conforme............... 233
15. Synthèse : sept caractérisations de la connexité simple............ 238
16. Exercices ....................................................... 239
VII. Fonctions entières et produits infinis ..................... 2401. Introduction.................................................... 240
2. Formule de Jensen.............................................. 241
3. Produits infinis ................................................. 246
4. Formule de produit d"Euler pour la fonction sinus................ 252
5. Formule produit d"Euler pour les nombres premiers ............. 255
6. Produits infinis de Weierstrass................................... 257
7. Théorème de factorisation de Hadamard......................... 260
8. Démonstration du lemme-clé .................................... 264
9. Exercices ....................................................... 268
VIII. Fonction Gamma d"Euler et fonction zêta de Riemann ... 2701. Introduction.................................................... 270
2. La fonction(z)................................................ 270
3. La fonction(s)................................................ 279
4. Exercices ....................................................... 284
7 IX. Théorème des nombres premiers ......................... 2851. Introduction.................................................... 285
2. Sept lemmes capitaux ........................................... 285
3. Démonstration du théorème analytique .......................... 292
4. Exercices ....................................................... 295
X. Éléments introductifs sur le Théorème de Dirichlet......... 2971. Introduction.................................................... 297
2. Historique succinct ............................................. 299
XI. Théorème de la progression arithmétique de Dirichlet ..... 3011. Introduction.................................................... 301
2. Arithmétique élémentaire et formule d"Euler..................... 301
3. Présentation des idées de Dirichlet dans un cas simple ............ 305
4. Groupes abéliens finis, caractères, séries de Fourier discrètes ..... 308
5. Présentation des idées de Dirichlet dans le cas général ............ 311
6. Non-annulation ens= 1des fonctionsL(s;).................... 315
7. Exercices ....................................................... 323
XII. Densité des premiers dans les progressions arithmétiques . 3251. Introduction.................................................... 325
2. Exercices ....................................................... 333
XIII. Théorème de Jordan ................................... 3341. Introduction.................................................... 334
2. Théorème de Jordan différentiable .............................. 334
3. Démonstration du théorème des diagonales ...................... 346
4. Ensemble de Cantor ............................................ 346
5. Courbe de Jordan-Cantor-Osgood............................... 353
6. Démonstration du théorème de Jordan continu................... 358
7. Appendices ..................................................... 359
XIV. Examens corrigés....................................... 2961. Examen 1....................................................... 296
2. Corrigé de l"examen 1........................................... 300
3. Examen 2....................................................... 308
4. Corrigé de l"examen 2........................................... 312
5. Examen 3....................................................... 324
6. Corrigé de l"examen 3........................................... 328
7. Examen 4....................................................... 339
88. Corrigé de l"examen 4........................................... 344
9. Examen 5....................................................... 355
10. Corrigé de l"examen 5........................................... 358
11. Examen 6....................................................... 366
12. Corrigé de l"examen 6........................................... 370
13. Examen 7....................................................... 378
14. Corrigé de l"examen 7........................................... 382
2.Nombres complexes et similitudes complexes 9Fonctions holomorphes, Fonctions analytiques
Intégration le long de courbes
FrançoisDEMARÇAY
Département de Mathématiques d"Orsay
Université Paris-Saclay, France
1. Introduction
Ce chapitre commence par un survol rapide des propriétés algébriques élémentaires des nombres complexes, avant de présenter les concepts topologiques fondamentaux concer- nant les sous-ensembles du plan complexeC=R2. Ensuite, on définit précisément la notion-clé defonctionC-différentiable ou holo- morphe, qui est l"analogue complexe de la notion de fonction réelleR-différentiable. On caractérise alors l"holomorphiepar les équations ditesde Cauchy-Riemann, et on démontre que les séries entières convergentes : 1 Xquotesdbs_dbs22.pdfusesText_28[PDF] ANALYSE COMPLEXE 3M266
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